Silniki cieplne i chłodziarki: zadania z rozwiązaniami krok po kroku
Inaczej: sprawność Carnota · pompa ciepła · silnik Carnota
Darmowe zadania z tematu Silniki cieplne i chłodziarki z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: pierwsza zasada dla cyklu, granica Carnota, chłodziarki i pompy ciepła.
Darmowe zadanieŁatwy
Pompa ciepła o współczynniku wydajności 2,9 dostarcza do domu 17 kW ciepła. Wyznacz strumień ciepła Q̇L pobieranego przez nią z powietrza zewnętrznego.
Naucz się tematu Silniki cieplne i chłodziarki od zera
1Czym jest silnik cieplny
Silnik cieplny zamienia ciepło na pracę. Silnik samochodowy, turbina parowa w elektrowni i silnik odrzutowy to wszystko silniki cieplne.
Każdy silnik cieplny działa tak samo. Pobiera ciepło QH z czegoś gorącego, zamienia jego część na pracę W, a resztę QC oddaje czemuś zimnemu.
Gorące i zimne miejsca nazywamy zbiornikami ciepła: płomień, kocioł, powietrze na zewnątrz, rzeka. Są tak duże, że ich temperatury się nie zmieniają.
Silnik pracuje w cyklu: po każdym obiegu wraca do tego samego stanu. Energia nie może więc gromadzić się w jego wnętrzu. To, co wchodzi, musi wyjść:
QH = W + QC
Samosprawdzenie Silnik pobiera w jednym cyklu 100 kJ ciepła i wykonuje pracę 40 kJ. Ile ciepła oddaje?
140 kJ
2,5 kJ
40 kJ
60 kJ
Odpowiedź: 60 kJ. Energia wchodząca równa się energii wychodzącej: QC = QH − W = 100 − 40 = 60 kJ. Dodanie ich (140 kJ) traktuje pracę jako energię wejściową.
2Sprawność i granica Carnota
Sprawność cieplna to część dostarczonego ciepła, która zamienia się w pracę:
η = W / QH = 1 − QC / QH
Żaden silnik nie może zamienić całego ciepła na pracę. Zawsze trzeba oddać część ciepła. To drugie prawo termodynamiki.
Najlepszym możliwym silnikiem pracującym między dwiema temperaturami jest idealny silnik Carnota. Jego sprawność zależy tylko od temperatur zbiorników, podanych w kelwinach:
ηmax = 1 − TC / TH
Zawsze najpierw zamień na kelwiny: T(K) = T(°C) + 273,15. Ze stopniami Celsjusza wzór daje bezsens.
Silnik rzeczywisty zawsze ma η < ηmax. Silnik, który rzekomo przekracza granicę Carnota, jest niemożliwy.
Samosprawdzenie Jaka jest największa możliwa sprawność silnika pracującego między 327 °C a 27 °C?
100%
50%
8,3%
91,7%
Odpowiedź: 50%. W kelwinach: 600,15 K i 300,15 K, więc ηmax = 1 − 300,15/600,15 = 50%. Wstawienie wartości w °C do wzoru daje 1 − 27/327 = 91,7%, co jest błędne.
3Chłodziarki i pompy ciepła
Chłodziarka to silnik pracujący „odwrotnie”. Dostarczasz pracę W, a ciepło jest przepompowywane ze strony zimnej na gorącą.
Pompa ciepła to ta sama maszyna używana do ogrzewania: pobiera ciepło z zimnego powietrza na zewnątrz i oddaje je do ciepłego domu. Bilans energii nadal wynosi QH = W + QC.
Zamiast sprawności używamy współczynnika wydajności (COP): tego, co chcesz uzyskać, podzielonego przez pracę, za którą płacisz. Zwykle jest on większy od 1.
COPR = QC / W COPHP = QH / W = COPR + 1
Granice Carnota, ponownie z temperaturami w kelwinach:
Samosprawdzenie Pompa ciepła dostarcza do domu 6 kW ciepła, zużywając 2 kW energii elektrycznej. Ile ciepła pobiera z powietrza na zewnątrz?
12 kW
3 kW
4 kW
8 kW
Odpowiedź: 4 kW. QC = QH − W = 6 − 2 = 4 kW. Jej COP wynosi 6/2 = 3, więc 3 kW to COP, a nie strumień ciepła.
4Metoda krok po kroku
Naszkicuj urządzenie między jego dwoma zbiornikami ciepła i narysuj strzałki dla QH, QC i W. Zdecyduj, czy jest to silnik, czy chłodziarka / pompa ciepła.
Zapisz bilans energii QH = W + QC. Obowiązuje on dla każdego urządzenia, idealnego lub nie. Moce w kW traktuje się tak samo jak ilości energii w kJ.
Jeśli podano temperatury, zamień je na kelwiny.
Użyj właściwej miary: η = W/QH dla silnika, COPR = QC/W dla chłodziarki, COPHP = QH/W dla pompy ciepła.
Dla najlepszego możliwego urządzenia użyj wzoru Carnota. Wtedy szukane ciepło lub pracę wyznaczysz z bilansu energii.
Słowa „największa praca”, „najwyższa możliwa sprawność”, „minimalna moc dostarczona” i „odwracalny” wskazują na granicę Carnota.
5Przykład krok po kroku
Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.
Przykład krok po kroku
Silnik cieplny pracuje między gorącym zbiornikiem o temperaturze 500 °C a zimnym o temperaturze 25 °C. W jednym cyklu pobiera 3000 kJ ciepła. Znajdź największą pracę, jaką może wykonać. Wynalazca twierdzi, że uzyskuje 2000 kJ na cykl: czy to możliwe?
1
Narysuj silnik
Największą pracę daje idealny silnik Carnota pracujący między tymi samymi dwoma zbiornikami.
2
Zamień na kelwiny
TH = 500 + 273,15 = 773,15 K
TC = 25 + 273,15 = 298,15 K
3
Sprawność Carnota
ηmax = 1 − 298,15 / 773,15 = 1 − 0,3856 = 0,614
W najlepszym przypadku 61,4% ciepła może zamienić się w pracę.
4
Największa praca
Wmax = ηmax · QH = 0,6144 · 3000 = 1843 kJ
5
Sprawdź wynik
Idealny silnik oddaje QC = 3000 · 298,15/773,15 = 1157 kJ. Wtedy W + QC = 1843 + 1157 = 3000 kJ, co zgadza się z dostarczonym ciepłem.
6
Oceń twierdzenie
2000 kJ to więcej niż 1843 kJ, które mógłby dać nawet doskonały silnik. Twierdzenie łamie drugie prawo termodynamiki, więc jest niemożliwe.
Odpowiedź
Wmax ≈ 1843 kJ na cykl (ηmax ≈ 61,4%), więc twierdzenie o 2000 kJ jest niemożliwe.
6Typowe błędy
Wstawianie temperatur w °C do wzorów Carnota. Zawsze używaj kelwinów.
Mylenie dwóch współczynników COP. Chłodziarka liczy QC (ciepło odebrane), a pompa ciepła QH (ciepło dostarczone).
Używanie sprawności Carnota dla silnika rzeczywistego, gdy podano ilości ciepła. Wtedy η = W/QH z rzeczywistych liczb.
Zapominanie, że praca jest w chłodziarce także oddawana jako ciepło: QH = QC + W, więc kuchnia dostaje więcej ciepła, niż lodówka odbiera.
Zapisanie sprawności jako 61,4 zamiast 0,614 w obliczeniach.
Samosprawdzenie Jaki jest największy możliwy COP chłodziarki utrzymującej we wnętrzu 0 °C w kuchni o temperaturze 27 °C?
0,91
0
10,1
11,1
Odpowiedź: 10,1. COPR,max = TC/(TH − TC) = 273,15/27 = 10,1. Wstawienie TH w liczniku daje wartość dla pompy ciepła, 11,1, a użycie 0 °C wprost daje 0.
7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne
Łatwe: pierwsza zasada dla cyklu. Na podstawie dwóch spośród QH, W i QC znajdź trzecią wielkość lub sprawność. Warianty dotyczą elektrowni (MW) oraz chłodziarek i pomp ciepła o danym COP.
Średnie: granica Carnota. Znajdź ηmax lub Wmax na podstawie temperatur zbiorników. Inne zadania pytają o sprawność drugiej zasady (η/ηmax), temperaturę zimnego zbiornika silnika odwracalnego lub ciepło oddawane przez chłodziarkę odwracalną.
Trudne: chłodziarki i pompy ciepła na granicy Carnota: znajdź COPmax lub minimalną moc dostarczoną. Inne łączą dwa urządzenia albo pytają o entropię wytworzoną przez silnik rzeczywisty.
Dla minimalnej mocy dostarczonej: najpierw COPmax z temperatur, potem Wmin = QH/COPHP,max lub QC/COPR,max.
Dla entropii wytworzonej w jednym cyklu: Sgen = QC/TC − QH/TH, co musi być równe zeru lub dodatnie.
Pompa ciepła o współczynniku wydajności 5 dostarcza do domu 4 kW ciepła. Wyznacz strumień ciepła Q̇L pobieranego przez nią z powietrza zewnętrznego.
COPHP = 5Q̇H = 4 kW
Oblicz Q̇L(kW)
Pokaż podpowiedzi
Efektem użytecznym pompy ciepła jest dostarczone ciepło: COPHP = Q̇H/Ẇ.
Bilans energii obiegu: Q̇L = Q̇H − Ẇ.
Ẇ = 0,8 kW.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
Moc pobierana
Ẇ = Q̇H/COP = 4/5 = 0,8 kW
Ciepło pobrane z zewnątrz
Q̇L = Q̇H − Ẇ = 4 − 0,8 = 3,2 kW
Odpowiedź
Q̇L = 3,2 kW
Przykład 2Średni
Odwracalny silnik cieplny (Carnota) pobiera w każdym cyklu 3100 kJ ciepła ze zbiornika o temperaturze 625 °C i oddaje 977 kJ. Wyznacz temperaturę TL zbiornika chłodnego w °C.
TH = 625 °CQH = 3100 kJQL = 977 kJ
Oblicz TL(°C)
Pokaż podpowiedzi
W obiegu odwracalnym ciepła mają się do siebie jak temperatury bezwzględne: QL/QH = TL/TH.
Użyj temperatur bezwzględnych: K = °C + 273,15.
TH = 898,1 K.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
Temperatura bezwzględna źródła
TH = 625 + 273,15 = 898,1 K
Stosunek ciepeł w obiegu odwracalnym
TL = TH·QL/QH = 898,1·977/3100 = 283,1 K = 9,912 °C
Odpowiedź
TL = 9,912 °C
Przykład 3Trudny
Pompa ciepła utrzymuje w domu 20 °C, gdy na zewnątrz jest 2 °C, dostarczając do domu 14 kW ciepła. Wyznacz minimalną moc napędową Ẇmin.
TH = 20 °CTL = 2 °CQ̇H = 14 kW
Oblicz Ẇmin(kW)
Pokaż podpowiedzi
COP pompy ciepła to dostarczone ciepło podzielone przez pracę: COP = QH/W. Granica odwracalna to TH/(TH − TL).
Użyj temperatur bezwzględnych: K = °C + 273,15.
COP = 16,29.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Ograniczenia z drugiej zasady: żaden obieg pracujący między zbiornikami o temperaturach bezwzględnych TH i TL nie przewyższy obiegu odwracalnego (Carnota): ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) i COPHP,max = TH/(TH − TL). Energia jest zawsze zachowana: QH = W + QL.
Najmniej pracy potrzebuje maszyna odwracalna, która ma największy COP.
Ẇmin = Q̇H/COP = 14/16,29 = 0,8596 kW
Odpowiedź
Ẇmin = 0,8596 kW
Pytania i odpowiedzi
Silniki cieplne i chłodziarki: co to jest?
Każdy silnik cieplny działa tak samo. Pobiera ciepło QH z czegoś gorącego, zamienia jego część na pracę W, a resztę QC oddaje czemuś zimnemu.
Gorące i zimne miejsca nazywamy zbiornikami ciepła: płomień, kocioł, powietrze na zewnątrz, rzeka. Są tak duże, że ich temperatury się nie zmieniają.
Silniki cieplne i chłodziarki: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
Silniki cieplne i chłodziarki: jakie błędy są najczęstsze?
COP = Q<sub>H</sub>/W daje pracę; ciepło z zewnątrz to wtedy Q<sub>L</sub> = QH − W.
To praca doprowadzona. Ciepło z zewnątrz to Q<sub>L</sub> = Q<sub>H</sub> − W.
W obiegu odwracalnym Q<sub>L</sub>/Q<sub>H</sub> = T<sub>L</sub>/T<sub>H</sub> zachodzi tylko dla temperatur bezwzględnych. Najpierw przelicz na kelwiny, potem z powrotem na °C.
Silniki cieplne i chłodziarki: co ćwiczysz?
Łatwy: pierwsza zasada dla cyklu
Średni: granica Carnota
Trudny: chłodziarki i pompy ciepła
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Jak wygląda ćwiczenie
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.