Reakcje podpór belek: zadania z rozwiązaniami krok po kroku
Inaczej: reakcje podporowe · wyznaczanie reakcji · belki statycznie wyznaczalne
Darmowe zadania z tematu Reakcje podpór belek z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: 1 siła skupiona, 2 siły skupione, siła skupiona + obciążenie ciągłe.
Darmowe zadanieŁatwy
Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory RA.
Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.
Typowe błędy
Mierzenie ramienia momentu od złego punktu.
Zapominanie o zamianie obciążenia ciągłego na wypadkową.
Pomylenie, która podpora przenosi którą reakcję.
Najważniejsze wzory
Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d
Naucz się tematu Reakcje podpór belek od zera
1Czym są reakcje podporowe
Belka to długi prosty element przenoszący obciążenia nad przerwą, jak półka, belka stropowa czy mały mostek.
Belka spoczywa na podporach. Gdy obciążenia naciskają belkę w dół, podpory naciskają w górę. Te siły skierowane w górę to reakcje podporowe.
Tu obciążenie 10 kN działa dokładnie pośrodku. Z symetrii każda podpora przenosi połowę: RA = RB = 5 kN.
Gdy obciążenie nie jest pośrodku, bliższa podpora przenosi więcej. Dokładne znalezienie, ile, jest tematem tej lekcji.
Reakcje są potrzebne najpierw prawie w każdym innym zadaniu o belkach: siła tnąca, moment zginający, naprężenie i ugięcie.
Samosprawdzenie Belka na dwóch podporach przenosi 10 kN dokładnie w połowie rozpiętości. Jaka jest reakcja na każdej podporze?
10 kN
2,5 kN
20 kN
5 kN
Odpowiedź: 5 kN. Obie reakcje razem muszą przenieść całe 10 kN, a z symetrii są równe: 10/2 = 5 kN. 10 kN na każdej podporze przeniosłoby obciążenie dwa razy.
2Podpory, momenty i równowaga
Każdy rodzaj podpory może naciskać z powrotem na swój sposób.
Podpora przesuwna (wałek) (B na rysunku) może naciskać tylko prostopadle do powierzchni, po której się toczy. Daje jedną reakcję pionową.
Podpora przegubowa (A) zatrzymuje ruch belki w każdym kierunku. Daje reakcję pionową i poziomą. Przy samych obciążeniach pionowych reakcja pozioma wynosi zero.
Utwierdzenie, takie jak ściana, zatrzymuje też obrót belki. Daje siłę pionową i moment reakcji.
Moment to obrotowe działanie siły względem punktu. Jest to siła razy jej prostopadła odległość od tego punktu:
M = F · d
Belka w spoczynku się nie porusza i nie obraca. Spełnione są więc trzy równania równowagi:
ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0
Równanie momentów obowiązuje względem dowolnego punktu. Wybierz jako ten punkt podporę: jej reakcja ma zerowe ramię, więc wypada z równania.
Samosprawdzenie Siła 6 kN działa w odległości 2 m od punktu A. Jaki jest jej moment względem A?
12 kN·m
3 kN·m
6 kN·m
8 kN·m
Odpowiedź: 12 kN·m. M = F·d = 6·2 = 12 kN·m. Dzielenie (3) lub dodawanie (8) siły i odległości to zwykłe pomyłki.
3Obciążenia rozłożone
Niektóre obciążenia są rozłożone wzdłuż belki, jak ciężar stropu lub śniegu. Obciążenie równomiernie rozłożone (UDL) ma tę samą wartość w na każdym metrze, w kN/m.
Dla reakcji możesz zastąpić UDL jedną siłą. Jej wielkość to obciążenie na metr razy długość obciążonego odcinka, a działa w środku obciążonej części:
W = w · ℓ
Na rysunku ℓ = 3 m, więc W = 4 · 3 = 12 kN. Działa w środku obciążenia, w x = 1 + 1,5 = 2,5 m od A.
Wspornik jest utwierdzony tylko z jednej strony, jak balkon. Ściana daje siłę w górę i moment. Dla obciążenia na końcu P w odległości L: RA = P i MA = P·L.
W tym wsporniku RA = 5 kN i MA = 5 · 3 = 15 kN·m.
Samosprawdzenie UDL o wartości 4 kN/m działa od x = 1 m do x = 4 m. Jaka pojedyncza siła je zastępuje i gdzie?
12 kN w x = 1,5 m
12 kN w x = 2 m
12 kN w x = 2,5 m
4 kN w x = 2,5 m
Odpowiedź: 12 kN w x = 2,5 m. W = 4·3 = 12 kN w środku obciążenia, 1 + 1,5 = 2,5 m od A. 1,5 m mierzy się od początku obciążenia, a nie od A. 2 m to środek całej rozpiętości, a nie obciążonej części.
4Metoda krok po kroku
Narysuj belkę i zastąp każdą podporę jej reakcjami: RA na podporze przegubowej i RB na przesuwnej.
Zastąp każde UDL pojedynczą siłą w·ℓ w środku obciążonej części.
Weź momenty względem A. RA wypada, więc od razu dostajesz RB: RB·L = Σ(każde obciążenie × jego odległość od A).
Użyj ΣFy = 0: RA = (całkowite obciążenie) − RB.
Kontrola: weź momenty względem B. Powinno to dać to samo RA.
Reguła znaków dla kroku 3: reakcja RB obraca belkę w jedną stronę względem A, obciążenia skierowane w dół obracają ją w drugą. Ich momenty muszą się równoważyć.
5Przykład krok po kroku
Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.
Przykład krok po kroku
Belka swobodnie podparta o rozpiętości 6 m przenosi P1 = 12 kN w odległości 2 m od A i P2 = 6 kN w odległości 4 m od A. Znajdź RA i RB.
1
Narysuj schemat sił
Podpora przegubowa w A i przesuwna w B dają po jednej reakcji w górę. Są dwie niewiadome, więc dwa równania wystarczą.
2
Momenty względem A
RA przechodzi przez A, więc nie ma momentu względem A. Obciążenia obracają belkę zgodnie z ruchem wskazówek zegara, RB obraca ją przeciwnie:
RB · 6 = 12 · 2 + 6 · 4 = 48
RB = 48 / 6 = 8 kN
3
Równowaga sił pionowych
Obie reakcje razem przenoszą całkowite obciążenie 12 + 6 = 18 kN.
RA = 18 − 8 = 10 kN
4
Sprawdź wynik
Weź zamiast tego momenty względem B. Odległości do B wynoszą 4 m dla P1 i 2 m dla P2.
RA · 6 = 12 · 4 + 6 · 2 = 60 ⇒ RA = 10 kN
Obie drogi dają to samo. RA jest większe, co ma sens: cięższe obciążenie jest bliżej A.
Odpowiedź
RA = 10 kN i RB = 8 kN.
6Typowe błędy
Mierzenie odległości od złego punktu. W równaniu momentów względem A każdą odległość mierzy się od A.
Zamiana reakcji miejscami. Momenty względem A dają RB, a nie RA.
Zapomnienie o zamianie UDL na jedną siłę w·ℓ albo umieszczenie tej siły w środku rozpiętości zamiast w środku obciążenia.
Mylenie kierunków obrotu, przez co obciążenie i reakcja dostają ten sam znak w równaniu momentów.
Brak kontroli. Drugie równanie momentów względem B wyłapuje większość pomyłek w kilka sekund.
Samosprawdzenie Belka o długości 4 m na dwóch podporach przenosi 8 kN w odległości 1 m od A. Ile wynosi RA?
2 kN
4 kN
6 kN
8 kN
Odpowiedź: 6 kN. Momenty względem A: RB·4 = 8·1, więc RB = 2 kN, a RA = 8 − 2 = 6 kN. 2 kN to RB: podpora bliższa obciążeniu przenosi więcej.
7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne
Łatwe: belka swobodnie podparta z jednym obciążeniem skupionym. Znajdujesz RA lub RB.
Średnie: dwa obciążenia skupione, jak w rozwiązanym przykładzie.
Trudne: obciążenie skupione razem z UDL na części lub na całej rozpiętości. Najpierw zastąp UDL siłą w·ℓ w jego środku.
Inne wersje używają tych samych trzech równań: wspornik (znajdź moment utwierdzenia MA), obciążenie ukośne (użyj tylko jego składowej pionowej, P·sin θ), przyłożona para sił, belka wystająca poza podporę albo obciążenie trójkątne (wypadkowa ½·w·ℓ w jednej trzeciej długości od wysokiego końca).
Uważnie przeczytaj wymiary pod belką i zapisz każdą odległość od A, zanim zaczniesz.
Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory RB.
L = 4 mP = 55 kN w 2 m
Oblicz RB(kN)
Pokaż podpowiedzi
Użyj warunków równowagi: ΣFy = 0 i ΣM = 0. Dwie niewiadome, dwa równania.
Weź momenty względem A. RA przechodzi przez A, więc znika i od razu dostajesz RB.
Całkowite obciążenie w dół to 55 kN, więc RA + RB = 55 kN.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.
Schemat sił
Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.
Równowaga
Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.
ΣMA = 0: RB·4 = 55·2
RB = 110/4 = 27,5 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 27,5 = 27,5 kN
Odpowiedź
RB = 27,5 kN
Przykład 2Średni
Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory RB.
L = 6 mP1 = 15 kN w 2 mP2 = 30 kN w 3 m
Oblicz RB(kN)
Pokaż podpowiedzi
Użyj warunków równowagi: ΣFy = 0 i ΣM = 0. Dwie niewiadome, dwa równania.
Weź momenty względem A. RA przechodzi przez A, więc znika i od razu dostajesz RB.
Całkowite obciążenie w dół to 45 kN, więc RA + RB = 45 kN.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.
Schemat sił
Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.
Równowaga
Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.
ΣMA = 0: RB·6 = 15·2 + 30·3
RB = 120/6 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 20 = 25 kN
Odpowiedź
RB = 20 kN
Przykład 3Trudny
Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. W odległości 3 m od A działa siła P nachylona pod kątem 30° do poziomu, a w odległości 2 m od A pionowa siła Q. Wyznacz wartość całkowitej siły reakcji RA w podporze nieprzesuwnej A.
L = 4 mP = 25 kN w 3 m, θ = 30°Q = 25 kN w 2 m
Oblicz RA(kN)
Pokaż podpowiedzi
Rozłóż P na P·cos θ (poziomo) i P·sin θ (pionowo). Podpora przesuwna nie przejmuje siły poziomej.
Wyznacz RB z momentów względem A, potem Ay z ΣFy = 0 i Ax z ΣFx = 0.
Ax = 21,65 kN, Ay = 15,63 kN.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku
Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.
Składowe P
Pv = 25·sin 30° = 12,5 kN
Ph = 25·cos 30° = 21,65 kN
Reakcje
ΣMA = 0: RB·4 = 12,5·3 + 25·2 → RB = 21,88 kN
Ay = 12,5 + 25 − 21,88 = 15,63 kN
Ax = Ph = 21,65 kN
Wypadkowa w A
RA = √(21,65² + 15,63²) = 26,7 kN
Odpowiedź
RA = 26,7 kN
Pytania i odpowiedzi
Reakcje podpór belek: co to jest?
Belka to długi prosty element przenoszący obciążenia nad przerwą, jak półka, belka stropowa czy mały mostek.
Belka spoczywa na podporach. Gdy obciążenia naciskają belkę w dół, podpory naciskają w górę. Te siły skierowane w górę to reakcje podporowe.
Reakcje podpór belek: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.
Reakcje podpór belek: jakie błędy są najczęstsze?
Mierzenie ramienia momentu od złego punktu.
Zapominanie o zamianie obciążenia ciągłego na wypadkową.
Pomylenie, która podpora przenosi którą reakcję.
Reakcje podpór belek: co ćwiczysz?
Łatwy: 1 siła skupiona
Średni: 2 siły skupione
Trudny: siła skupiona + obciążenie ciągłe
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Jak wygląda ćwiczenie
Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.