Siła tnąca i moment zginający: zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Inaczej: wykresy sił wewnętrznych · wykres momentów zginających · siły przekrojowe

Darmowe zadania z tematu Siła tnąca i moment zginający z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: siła skupiona, obciążenie ciągłe na całej rozpiętości, siła skupiona + obciążenie ciągłe.

Darmowe zadanieŁatwy
P = 60 kNAB2,5 m2,5 m

Belka swobodnie podparta przenosi jedną siłę skupioną P. Wyznacz siłę tnącą Vx tuż na prawo od siły. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5 mP = 60 kN w 2,5 m
kN
Następne zadanie →
Ćwicz za darmo: Siła tnąca i moment zginającyĆwicz teraz: Siła tnąca i moment zginający5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Co ćwiczysz

  1. Łatwysiła skupiona
  2. Średniobciążenie ciągłe na całej rozpiętości
  3. Trudnysiła skupiona + obciążenie ciągłe

Jak rozwiązywać zadania: Siła tnąca i moment zginający

  1. Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
  2. Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
  3. Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
  4. Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Typowe błędy

  • Uwzględnianie obciążeń z obu stron przekroju.
  • Użycie złej konwencji znaków dla momentów dodatnich i ujemnych.
  • Podanie siły tnącej, gdy pytanie dotyczy momentu zginającego.

Najważniejsze wzory

Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8

Naucz się tematu Siła tnąca i moment zginający od zera

Wcześniej: Reakcje podpór belek

1Co dzieje się wewnątrz belki

W lekcji o reakcjach wyznaczałeś siły działające na belkę z zewnątrz. Teraz spójrz do środka: co musi przenieść materiał w jednym punkcie belki?

Wyobraź sobie, że przecinasz belkę na dwie części w jakimś punkcie. Każda połowa spadłaby. Aby ją utrzymać, druga połowa musi ją podtrzymywać dwoma wewnętrznymi oddziaływaniami:

  • siła poprzeczna V, która nie pozwala jednej stronie przesunąć się w górę lub w dół względem drugiej (w kN);
  • moment zginający M, który nie pozwala jednej stronie obracać się względem drugiej (w kN·m).
PAB2 m2 m2 m

Belka, która wygina się jak uśmiech, z rozciągniętym dołem, jest zginana dodatnio (ugina się w dół). Belka, która wygina się jak smutna mina, jak balkon, jest zginana ujemnie (wygina się ku górze).

Inżynierowie potrzebują M, bo naprężenie zginające w belce rośnie wraz z nim, oraz V, bo belka nie może ulec ścięciu w pobliżu podpór.

Samosprawdzenie Belka swobodnie podparta jest obciążona w dół. Która strona belki jest rozciągana?
  1. Dolna: belka ugina się w dół
  2. Górna: belka wygina się ku górze
  3. Obie jednakowo
  4. Żadna, belka tylko się skraca

Odpowiedź: Dolna: belka ugina się w dół. Belka na dwóch podporach wygina się jak uśmiech pod obciążeniem skierowanym w dół. Włókna dolne się wydłużają (rozciąganie), a górne skracają (ściskanie).

2Metoda przekrojów

Aby znaleźć V i M w odległości x od A, przetnij belkę w tym miejscu i zachowaj tylko część po lewej stronie przekroju. Ta część jest sama w równowadze.

RA​VMAx

Zwykłe reguły znaków: siła skierowana w górę działająca na lewą część daje dodatnią siłę poprzeczną, a moment zginający rozciągający dolne włókna jest dodatni. Dają one dwa krótkie przepisy:

  • Siła poprzeczna: V = RA minus wszystkie obciążenia skierowane w dół po lewej stronie przekroju.
  • Moment zginający: M = RA·x minus, dla każdego obciążenia po lewej stronie przekroju, wartość obciążenia razy jego odległość od przekroju.

Obciążenie ciągłe równomierne po lewej stronie przekroju działa jako jedna siła w·ℓ w swoim własnym środku, tak samo jak w lekcji o reakcjach.

Możesz zamiast tego zachować prawą część. Otrzymasz te same V i M, co jest przydatnym sprawdzeniem.

Samosprawdzenie RA = 10 kN. Pierwsze obciążenie jest 5 m od A. Jaki jest moment zginający w x = 3 m?
  1. 10 kN·m
  2. 13 kN·m
  3. 3,3 kN·m
  4. 30 kN·m

Odpowiedź: 30 kN·m. Po lewej stronie przekroju nie ma żadnego obciążenia, więc M = RA·x = 10·3 = 30 kN·m. 10 kN to tam siła poprzeczna, a nie moment.

3Wykresy i maksymalny moment

Jeśli obliczysz V i M w każdym punkcie x, otrzymasz wykres sił poprzecznych i wykres momentów zginających. Ich kształty podlegają prostym regułom:

  • Między siłami skupionymi V jest stałe, a M jest linią prostą.
  • Pod obciążeniem ciągłym równomiernym V maleje liniowo, a M jest krzywą (parabolą).
  • Siła skupiona powoduje skok V o wartość tej siły.
  • M jest największy tam, gdzie V zmienia znak, przechodząc przez zero.

Dwa wyniki pojawiają się tak często, że warto je znać:

  • Siła skupiona P w połowie rozpiętości: Mmax = P·L / 4
  • Obciążenie ciągłe równomierne w na całej rozpiętości: Mmax = w·L² / 8
Samosprawdzenie Belka swobodnie podparta o rozpiętości 6 m jest obciążona na całej długości obciążeniem ciągłym równomiernym 4 kN/m. Jaki jest największy moment zginający?
  1. 12 kN·m
  2. 144 kN·m
  3. 18 kN·m
  4. 36 kN·m

Odpowiedź: 18 kN·m. Mmax = wL²/8 = 4·36/8 = 18 kN·m w połowie rozpiętości. Wartość 36 wynika ze wzoru /4 (reguła dla siły skupionej); 12 kN to reakcja wL/2.

4Metoda krok po kroku

  1. Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
  2. Przetnij belkę w przekroju x i zachowaj lewą część.
  3. Siła poprzeczna: V = RA minus wszystkie obciążenia skierowane w dół na lewej części.
  4. Moment zginający: M = RA·x minus każde obciążenie na lewej części razy jego odległość od przekroju.
  5. Aby znaleźć maksymalny moment: znajdź miejsce, gdzie V = 0, i oblicz tam M.

Narysuj lewą część jako mały, osobny szkic. Od razu widać wtedy, które obciążenia uwzględnić.

5Przykład krok po kroku

Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.

Przykład krok po kroku

Belka swobodnie podparta o rozpiętości 6 m jest obciążona na całej długości obciążeniem ciągłym równomiernym 4 kN/m. Wyznacz siłę poprzeczną V i moment zginający M w x = 2 m od A.

1

Przyjrzyj się belce

w = 4 kN/mABRA​RB​2 m4 m
2

Reakcje podpór

Całkowite obciążenie wynosi 4 · 6 = 24 kN, w środku. Ze względu na symetrię każda podpora przenosi połowę:

RA = RB = 12 kN
3

Zachowaj lewą część

w = 4 kN/m12 kNVMA2 m

Obciążenie ciągłe na lewej części wynosi 4 · 2 = 8 kN. Działa w swoim środku, 1 m od przekroju.

4

Siła poprzeczna

V = 12 − 8 = 4 kN
5

Moment zginający

M = 12 · 2 − 8 · 1 = 16 kN·m

Jest dodatni, więc belka ugina się tu w dół.

6

Sprawdź wynik

Użyj zamiast tego prawej części: ma 4 m długości, RB = 12 kN i obciążenie ciągłe 16 kN w odległości 2 m od przekroju.

M = 12 · 4 − 16 · 2 = 16 kN·m

Pełny wykres jest parabolą ze szczytem wL²/8 = 18 kN·m w połowie rozpiętości. Wartość 16 kN·m w x = 2 m pasuje do niego.

1618 kN·mMx = 2x = 3
Odpowiedź

V = 4 kN i M = 16 kN·m (rozciągane dolne włókna).

6Typowe błędy

  • Uwzględnianie obciążeń po obu stronach przekroju. Użyj tylko części, którą zachowałeś.
  • Mierzenie ramienia siły od A zamiast od przekroju. W M każda odległość jest liczona od obciążenia do przekroju.
  • Podanie V, gdy pytają o M, lub odwrotnie. Sprawdź jednostkę: kN czy kN·m.
  • Branie całego obciążenia ciągłego zamiast tylko jego części po lewej stronie przekroju.
  • Mieszanie reguł znaków. Przy zwykłych regułach belka swobodnie podparta pod obciążeniem skierowanym w dół ma wszędzie momenty dodatnie (rozciągane dolne włókna).
Samosprawdzenie Belka swobodnie podparta o długości 4 m jest obciążona siłą 20 kN w połowie rozpiętości, więc RA = 10 kN. Ile wynosi M w x = 1 m?
  1. 0 kN·m
  2. 10 kN
  3. 10 kN·m
  4. 20 kN·m

Odpowiedź: 10 kN·m. Po lewej stronie przekroju jest tylko RA: M = 10·1 = 10 kN·m. Wartość 0 błędnie odejmuje obciążenie, które jest po prawej stronie przekroju. 20 kN·m to PL/4, maksimum w połowie rozpiętości. 10 kN to siła poprzeczna.

7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne

  • Łatwe: jedna siła skupiona. Wyznacz M pod obciążeniem lub V tuż obok niego. Warianty używają wspornika, w którym M jest największy przy utwierdzeniu.
  • Średnie: obciążenie ciągłe równomierne na całej rozpiętości, jak w przykładzie. Wyznacz V lub M w danym x albo maksymalny moment.
  • Trudne: siła skupiona razem z obciążeniem ciągłym lub obciążenie ciągłe na części rozpiętości. Wyznacz M w przekroju lub maksymalny moment tam, gdzie V = 0.

Niektóre wersje używają belki z wysięgiem poza podporę. Wysięg wygina się ku górze, więc M jest tam ujemny.

Zawsze zaczynaj od reakcji i zapisz je na szkicu.

Ucz się krok po kroku w aplikacjiUcz się krok po kroku w aplikacji

Przykłady z rozwiązaniami

Przykład 1Łatwy
40 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

40 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
Pokaż podpowiedzi
  1. Maksima momentu zginającego leżą tam, gdzie siła tnąca zmienia znak, przy utwierdzeniu w ścianie albo nad podporą obok wspornika.
  2. Najpierw znajdź reakcje podpór: R1 = 33,33 kN.
  3. Porównaj momenty w punktach kandydujących; największa wartość to 66,67 kN·m.
Pokaż odpowiedź i wyjaśnienie

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R1 = 33,33 kN, R2 = 6,667 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

MA = 0, MB = 66,67 kN·m, MC = 53,33, MD = 40, ME = 26,67, MF = 13,33, MG = 0

Odpowiedź

Punkt B: MB = 66,67 kN·m
Przykład 2Średni
w = 5 kN/mABprzekrój0,5 m5,5 m

Wyznacz moment zginający Mx w przekroju x = 0,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mw = 5 kN/m od 0 do 6 mx = 0,5 m

Oblicz Mx (kN·m)

Pokaż podpowiedzi
  1. Najpierw wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
  2. Potem przetnij belkę w x = 0,5 m i patrz tylko na część na lewo od przekroju. Zsumuj momenty tych sił względem przekroju.
  3. RA = 15 kN.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, przyłożona w x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 5·6·3
RB = 90/6 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN
w = 5 kN/mABRA​ = 15RB​ = 15przekrój0,5 m5,5 m

Przetnij w x = 0,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = RA·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)
Mx = 15·0,5 − 5·0,5·0,25 = 6,875 kN·m

Odpowiedź

Mx = 6,875 kN·m
Przykład 3Trudny
w = 6 kN/mP = 45 kNABprzekrój1,5 m3,5 m1 m

Wyznacz moment zginający Mx w przekroju x = 5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mP = 45 kN w 1,5 mw = 6 kN/m od 0 do 6 mx = 5 m

Oblicz Mx (kN·m)

Pokaż podpowiedzi
  1. Najpierw wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
  2. Potem przetnij belkę w x = 5 m i patrz tylko na część na lewo od przekroju. Zsumuj momenty tych sił względem przekroju.
  3. RA = 51,75 kN.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, przyłożona w x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 45·1,5 + 6·6·3
RB = 175,5/6 = 29,25 kN
ΣFy = 0: RA = 81 − 29,25 = 51,75 kN
w = 6 kN/mP = 45 kNABRA​ = 51,75RB​ = 29,25przekrój1,5 m3,5 m1 m

Przetnij w x = 5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = RA·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)
Mx = 51,75·5 − 45·(5 − 1,5) − 6·5·2,5 = 26,25 kN·m

Odpowiedź

Mx = 26,25 kN·m

Pytania i odpowiedzi

Siła tnąca i moment zginający: co to jest?

W lekcji o reakcjach wyznaczałeś siły działające na belkę z zewnątrz. Teraz spójrz do środka: co musi przenieść materiał w jednym punkcie belki?

Wyobraź sobie, że przecinasz belkę na dwie części w jakimś punkcie. Każda połowa spadłaby. Aby ją utrzymać, druga połowa musi ją podtrzymywać dwoma wewnętrznymi oddziaływaniami:

Siła tnąca i moment zginający: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?
  1. Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
  2. Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
  3. Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
  4. Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.
Siła tnąca i moment zginający: jakie błędy są najczęstsze?
  • Uwzględnianie obciążeń z obu stron przekroju.
  • Użycie złej konwencji znaków dla momentów dodatnich i ujemnych.
  • Podanie siły tnącej, gdy pytanie dotyczy momentu zginającego.
Siła tnąca i moment zginający: co ćwiczysz?
  • Łatwy: siła skupiona
  • Średni: obciążenie ciągłe na całej rozpiętości
  • Trudny: siła skupiona + obciążenie ciągłe

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Jak wygląda ćwiczenie

  • Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
  • Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
  • Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.

Tematy przed tym i po nim

Najpierw naucz się

Reakcje podpór belek

Potem przejdź do

Ugięcie belki

Kalkulatory

Kalkulator wykresów sił poprzecznych i momentów zginającychKalkulator naprężenia zginającego (σ = My/I)

Przedmioty z tym tematem

StatykaWytrzymałość materiałówMechanika budowliPrzygotowanie do egzaminu FE MechanicalPrzygotowanie do egzaminu FE Civil

Więcej tematów: Budownictwo

Kratownica: równoważenie węzłówUgięcie belkiŚrodek ciężkości i moment bezwładnościWyboczenie słupówNaprężenie efektywne w gruncieOsiadanie konsolidacyjneParcie hydrostatycznePrzepływ w kanałach otwartych (Manning)

Karta pracy do druku

Siła tnąca i moment zginający: karta pracy z odpowiedziami
Ćwicz za darmo: Siła tnąca i moment zginającyĆwicz teraz: Siła tnąca i moment zginający5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.