Wyboczenie słupów: zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Inaczej: wyboczenie · siła krytyczna Eulera · smukłość

Darmowe zadania z tematu Wyboczenie słupów z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: końce przegubowe, inne warunki podparcia, wymiarowanie i naprężenie krytyczne.

Darmowe zadanieŁatwy
PL = 2,5 m40 × 80 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (stal)b × h = 40 × 80 mm
kN
Następne zadanie →
Ćwicz za darmo: Wyboczenie słupówĆwicz teraz: Wyboczenie słupów5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Co ćwiczysz

  1. Łatwykońce przegubowe
  2. Średniinne warunki podparcia
  3. Trudnywymiarowanie i naprężenie krytyczne

Najważniejsze wzory

Siła krytyczna Eulera
Pcr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej
K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne
σcr = Pcr/A
Smukłość
λ = KL/r, r = √(I/A)

Naucz się tematu Wyboczenie słupów od zera

Wcześniej: Środek ciężkości i moment bezwładności

1Czym jest wyboczenie

Naciśnij oba końce plastikowej linijki. Z początku nic się nie dzieje. Potem, dość nagle, wygina się ona na bok. To jest wyboczenie.

Słup to element obciążony ściskaniem wzdłuż swojej długości: słup budynku, krzyżulec w dachu, tłoczysko.

PL

Krótki, gruby słup ulega zniszczeniu przez zgniecenie: naprężenie P/A osiąga wytrzymałość materiału. Długi, smukły słup traci stateczność przy znacznie mniejszym obciążeniu, gdy naprężenie jest jeszcze dużo poniżej tej wytrzymałości.

Obciążenie, przy którym smukły słup się wybacza, to jego siła krytyczna Pcr. Powyżej niej słup jest niestateczny i ulega zniszczeniu.

Samosprawdzenie Dwa stalowe słupy mają ten sam przekrój. Jeden ma 2 m długości, drugi 4 m. Który wyboczy się przy mniejszym obciążeniu?
  1. Oba przy tym samym obciążeniu
  2. Słup 2 m
  3. Słup 4 m
  4. Żaden: stalowe słupy nie mogą się wyboczyć

Odpowiedź: Słup 4 m. Dłuższy słup jest smuklejszy i wybacza się łatwiej. Długość jest najważniejszym czynnikiem w wyboczeniu.

2Wzór Eulera

Leonhard Euler wyznaczył siłę krytyczną smukłego słupa:

Pcr = π² · E · I / (K·L)²
  • E to moduł Younga materiału: 200 GPa dla stali.
  • I to moment bezwładności przekroju. Użyj najmniejszego: słup wygina się w łatwiejszym kierunku.
  • L to długość, a K to współczynnik długości efektywnej, który zależy od sposobu zamocowania końców.
K = 1K = 2K = 0,7K = 0,5

Koniec przegubowy może się obracać; koniec utwierdzony nie. Mocniejsze zamocowanie końców daje krótszą długość efektywną KL i znacznie większą siłę Pcr, bo KL występuje w kwadracie.

Dla pręta okrągłego I = π·d⁴/64. Dla prostokąta b × h, gdzie b jest krótszym bokiem, Imin = h·b³/12.

Samosprawdzenie Słup przegubowo podparty na obu końcach ma Pcr = 100 kN. Ten sam słup jest utwierdzony u podstawy i swobodny na górze (K = 2). Ile wynosi teraz Pcr?
  1. 200 kN
  2. 25 kN
  3. 400 kN
  4. 50 kN

Odpowiedź: 25 kN. Pcr dzieli się przez K² = 4: 100/4 = 25 kN. Wartość 50 kN wynika z niepodniesienia K do kwadratu; 200 i 400 kN to mnożenie zamiast dzielenia.

3Smukłość i naprężenie krytyczne

Podzielenie Pcr przez pole przekroju daje naprężenie krytyczne. Najwygodniej zapisać je za pomocą promienia bezwładności r i smukłości λ (lambda):

r = √(I / A) λ = K·L / r σcr = π² · E / λ²

Dla pełnego pręta okrągłego r = d/4.

Wzór Eulera obowiązuje tylko wtedy, gdy σcr pozostaje poniżej granicy plastyczności materiału. Dla stali konstrukcyjnej oznacza to smukłość mniej więcej λ > 100. Słupy krępsze ulegają zniszczeniu przez uplastycznienie lub w sposób mieszany i wymagają innych reguł projektowania.

Samosprawdzenie Przekrój prostokątny słupa ma wymiary 20 mm × 40 mm. Ile wynosi najmniejszy moment bezwładności przekroju?
  1. 106 667 mm⁴
  2. 26 667 mm⁴
  3. 320 000 mm⁴
  4. 7854 mm⁴

Odpowiedź: 26 667 mm⁴. Oś słaba podnosi do trzeciej potęgi krótszy bok: 40·20³/12 = 26 667 mm⁴. Wartość 106 667 dotyczy osi mocnej; 320 000 pomija /12; 7854 pochodzi ze wzoru dla koła.

4Metoda krok po kroku

  1. Odczytaj warunki podparcia końców i wybierz K: 1, 2, 0,7 lub 0,5.
  2. Oblicz najmniejsze I przekroju, w mm⁴.
  3. Zamień na N i mm: L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000).
  4. Długość efektywna: KL.
  5. Siła krytyczna: Pcr = π²EI/(KL)², w N. Podziel przez 1000, aby otrzymać kN.
  6. Jeśli trzeba, sprawdź smukłość KL/r lub naprężenie krytyczne Pcr/A.

W zadaniu projektowym ze współczynnikiem bezpieczeństwa n słup musi mieć Pcr = n·P. Rozwiąż wzór Eulera względem I, a potem względem średnicy.

5Przykład krok po kroku

Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.

Przykład krok po kroku

Pełny okrągły słup stalowy (E = 200 GPa) o średnicy 40 mm i długości 2 m jest przegubowo podparty na obu końcach. Wyznacz jego siłę krytyczną wyboczenia Pcr. Następnie wyznacz ją jeszcze raz dla tego samego słupa utwierdzonego u podstawy i swobodnego na górze.

1

Przyjrzyj się słupowi

PL = 2 m

Przegubowo podparty na obu końcach, więc K = 1 i KL = 2000 mm. E = 200 000 N/mm².

2

Moment bezwładności przekroju

Przekrój okrągły ma to samo I względem każdej osi:

I = π · 40⁴ / 64 = 125 664 mm⁴
3

Siła krytyczna

Pcr = π² · 200 000 · 125 664 / 2000² = 62 013 N ≈ 62,0 kN
4

Sprawdź, czy wzór Eulera obowiązuje

r = d/4 = 10 mm λ = 2000 / 10 = 200
σcr = π² · 200 000 / 200² = 49,3 MPa

To znacznie poniżej granicy plastyczności stali (około 250 MPa), więc słup jest smukły i wzór Eulera jest ważny.

5

Utwierdzona podstawa, swobodna góra

Teraz K = 2, więc długość efektywna podwaja się do 4000 mm, a Pcr maleje 2² = 4 razy:

Pcr = 62,0 / 4 = 15,5 kN
Odpowiedź

Pcr = 62,0 kN przy przegubowym podparciu obu końców i 15,5 kN przy utwierdzeniu u podstawy i swobodnym końcu na górze.

6Typowe błędy

  • Wybór złego K albo zapomnienie o podniesieniu go do kwadratu.
  • Użycie większego I prostokąta. Słup zawsze wyboczy się względem osi słabej.
  • Mieszanie jednostek: L w metrach z E w N/mm². Pracuj konsekwentnie w N i mm.
  • Użycie π·d⁴/32 (biegunowego momentu bezwładności J ze skręcania) zamiast π·d⁴/64.
  • Stosowanie wzoru Eulera do krótkiego, krępego słupa, którego naprężenie krytyczne byłoby powyżej granicy plastyczności.
Samosprawdzenie Słup przegubowo podparty na obu końcach ma Pcr = 40 kN. Ten sam słup jest utwierdzony na obu końcach (K = 0,5). Ile wynosi Pcr?
  1. 10 kN
  2. 160 kN
  3. 20 kN
  4. 80 kN

Odpowiedź: 160 kN. Pcr dzieli się przez K² = 0,25, więc staje się cztery razy większe: 160 kN. Wartość 80 kN wynika z niepodniesienia K do kwadratu; 10 kN to mnożenie przez K² zamiast dzielenia.

7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne

  • Łatwe: przegubowe podparcie końców. Wyznacz Pcr okrągłego lub prostokątnego słupa stalowego albo aluminiowego.
  • Średnie: inne warunki podparcia końców. To samo pytanie dla K = 2, 0,7 lub 0,5.
  • Trudne: projektowanie i naprężenie krytyczne. Wyznacz najmniejszą średnicę, która przenosi obciążenie ze współczynnikiem bezpieczeństwa, albo wyznacz smukłość i σcr.

W przypadku projektowym z prętem okrągłym: d = (64·n·P·(KL)² / (π³·E))1/4.

Ucz się krok po kroku w aplikacjiUcz się krok po kroku w aplikacji

Przykłady z rozwiązaniami

Przykład 1Łatwy
PL = 5 md = 50 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest przegubowo podparty na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną Pcr.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

Oblicz Pcr (kN)

Pokaż podpowiedzi
  1. Euler: Pcr = π²EI/(KL)².
  2. Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 dla słupa, który jest przegubowo podparty na obu końcach.
  3. I = 306796 mm⁴.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 1·5000 = 5000 mm

Siła krytyczna

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/5000² = 8478 N = 8,478 kN

Odpowiedź

Pcr = 8,478 kN
Przykład 2Średni
PL = 2,5 md = 30 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (stal)d = 30 mm

Oblicz Pcr (kN)

Pokaż podpowiedzi
  1. Euler: Pcr = π²EI/(KL)².
  2. Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 2 dla słupa, który jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry.
  3. I = 39761 mm⁴.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 2·2500 = 5000 mm

Siła krytyczna

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/5000² = 3139 N = 3,139 kN

Odpowiedź

Pcr = 3,139 kN
Przykład 3Trudny
PL = 2,5 md = 25 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest przegubowo podparty na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σcr ze wzoru Eulera.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm

Oblicz σcr (MPa)

Pokaż podpowiedzi
  1. σcr = Pcr/A = π²E/(KL/r)², gdzie r = √(I/A) to promień bezwładności.
  2. Użyj najmniejszego I, bo słup wybocza się względem najsłabszej osi.
  3. r = 6,25 mm.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/6,25 = 400

Naprężenie krytyczne

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Odpowiedź

σcr = 4,318 MPa

Pytania i odpowiedzi

Wyboczenie słupów: co to jest?

Naciśnij oba końce plastikowej linijki. Z początku nic się nie dzieje. Potem, dość nagle, wygina się ona na bok. To jest wyboczenie.

Krótki, gruby słup ulega zniszczeniu przez zgniecenie: naprężenie P/A osiąga wytrzymałość materiału. Długi, smukły słup traci stateczność przy znacznie mniejszym obciążeniu, gdy naprężenie jest jeszcze dużo poniżej tej wytrzymałości.

Wyboczenie słupów: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Wyboczenie słupów: co ćwiczysz?
  • Łatwy: końce przegubowe
  • Średni: inne warunki podparcia
  • Trudny: wymiarowanie i naprężenie krytyczne

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Jak wygląda ćwiczenie

  • Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
  • Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
  • Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.

Tematy przed tym i po nim

Najpierw naucz się

Środek ciężkości i moment bezwładności

Kalkulatory

Kalkulator wyboczenia Eulera

Przedmioty z tym tematem

Wytrzymałość materiałówMechanika budowliProjektowanie maszynPrzygotowanie do egzaminu FE MechanicalPrzygotowanie do egzaminu FE Civil

Więcej tematów: Budownictwo

Siła tnąca i moment zginającyKratownica: równoważenie węzłówUgięcie belkiŚrodek ciężkości i moment bezwładnościNaprężenie efektywne w gruncieOsiadanie konsolidacyjneParcie hydrostatycznePrzepływ w kanałach otwartych (Manning)

Karta pracy do druku

Wyboczenie słupów: karta pracy z odpowiedziami
Ćwicz za darmo: Wyboczenie słupówĆwicz teraz: Wyboczenie słupów5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.