Parcie hydrostatyczne: zadania z rozwiązaniami krok po kroku
Inaczej: ciśnienie hydrostatyczne · parcie na ściany · środek parcia
Darmowe zadania z tematu Parcie hydrostatyczne z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: ściana pionowa, zanurzona zasuwa, środek parcia.
Naucz się tematu Parcie hydrostatyczne od zera
1Czym jest siła hydrostatyczna
Woda w spoczynku napiera na każdą powierzchnię, której dotyka: ścianę zbiornika, zaporę, wrota śluzy. Ten nacisk to siła hydrostatyczna.
Im głębiej, tym mocniej woda napiera. Czujesz to w uszach, gdy nurkujesz na dno basenu.
Ciśnienie na głębokości h pod swobodną powierzchnią to ciężar słupa wody nad jednym metrem kwadratowym:
p = ρ · g · h
ρ to gęstość (1000 kg/m³ dla wody słodkiej), a g = 9,81 m/s². Dla h w metrach p wychodzi w Pa (N/m²). Podziel przez 1000, aby otrzymać kPa.
Ciśnienie działa prostopadle do powierzchni. Nie zależy od kształtu ani szerokości zbiornika, tylko od głębokości.
Samosprawdzenie Jakie jest ciśnienie wody 5 m pod powierzchnią jeziora? (ρ = 1000 kg/m³, g = 9,81 m/s²)
- 24,5 kPa
- 49,05 kPa
- 5 kPa
- 98,1 kPa
Odpowiedź: 49,05 kPa. p = 1000 · 9,81 · 5 = 49 050 Pa = 49,05 kPa. Pominięcie g daje 5 kPa, czyli masę na pole, a nie ciśnienie.
2Parcie na ścianę pionową
Na pionowej ścianie ciśnienie rośnie liniowo od zera na powierzchni do ρgh na dnie. Obciążenie ściany ma kształt trójkąta.
Siła całkowita to pole tego trójkąta razy szerokość b ściany:
F = ½ · ρg·h · h · b = ½ · ρ · g · h² · b
Siła działa przez środek ciężkości trójkąta, w jednej trzeciej wysokości nad podstawą:
ȳ = h / 3 (od podstawy)
Siła działa więc niżej niż w połowie ściany. To ma sens: dolna część jest naciskana najmocniej.
Samosprawdzenie Woda o głębokości 2 m stoi przy pionowej ścianie o szerokości 1 m. Jaka jest siła wypadkowa? (ρg = 9810 N/m³)
- 19,62 kN
- 39,24 kN
- 4 kN
- 9,81 kN
Odpowiedź: 19,62 kN. F = ½ · 9810 · 2² · 1 = 19 620 N = 19,62 kN. Użycie ciśnienia na dnie dla całej ściany (39,24 kN) pomija ½: u góry ciśnienie wynosi zero.
3Zanurzone wrota i środek parcia
Wrota głęboko w ścianie zbiornika nie zaczynają się od powierzchni. Dla dowolnej płaskiej powierzchni siła równa się ciśnieniu w jej środku ciężkości razy jej pole:
F = ρ · g · yc · A
yc to głębokość środka ciężkości. Dla prostokątnych wrót o wysokości H, których górna krawędź jest d pod powierzchnią, yc = d + H/2, a A = H·b.
Siła nie działa w środku ciężkości. Działa nieco niżej, w środku parcia, ponieważ dolna część wrót jest naciskana mocniej:
ycp = yc + Ic / (yc · A), Ic = b·H³/12
Ic to moment bezwładności pola wrót względem ich własnego środka ciężkości. Im głębiej leżą wrota, tym bliżej yc jest ycp.
Dla ściany zaczynającej się od powierzchni (d = 0) daje to ycp = 2h/3 pod powierzchnią, czyli to samo co h/3 nad podstawą.
4Metoda krok po kroku
- Narysuj powierzchnię i zaznacz jej głębokość pod swobodnym zwierciadłem: górna krawędź d i wysokość H (lub głębokość h dla ściany).
- Znajdź głębokość środka ciężkości yc i pole A.
- Użyj gęstości cieczy z zadania: woda 1000, woda morska 1025, olej 880 kg/m³.
- Siła: F = ρ·g·yc·A. Podziel przez 1000, aby otrzymać kN.
- Jeśli pytają o linię działania: ycp = yc + Ic/(yc·A), mierzoną w dół od swobodnego zwierciadła.
5Przykład krok po kroku
Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.
Przykład krok po krokuPionowe prostokątne wrota o szerokości 2 m i wysokości 2 m znajdują się w ścianie zbiornika z wodą, a ich górna krawędź leży 1 m pod powierzchnią. Znajdź wypadkową siłę hydrostatyczną F na wrota.
1Wrota biegną od 1 m do 3 m pod powierzchnią. Ich szerokość w głąb rysunku to b = 2 m.
2yc = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m
4pc = ρ·g·yc = 1000 · 9,81 · 2 = 19 620 Pa = 19,62 kPa
5F = pc · A = 19,62 · 4 = 78,48 kN
6Ciśnienie wynosi 9,81 kPa przy górnej krawędzi i 29,43 kPa przy dolnej. Ich średnia to 19,62 kPa, więc siła znów wynosi 19,62 · 4 = 78,48 kN.
Odpowiedź F = 78,48 kN, działająca poziomo na wrota.
6Typowe błędy
- Przyłożenie siły w środku ciężkości. Działa niżej: na wysokości h/3 nad podstawą dla ściany, w ycp dla wrót.
- Mierzenie ȳ od powierzchni, gdy pytają o wysokość nad podstawą, albo odwrotnie.
- Użycie głębokości górnej lub dolnej krawędzi zamiast głębokości środka ciężkości.
- Zapomnienie o ½ dla ściany zaczynającej się od powierzchni.
- Pominięcie g albo użycie gęstości wody dla oleju lub wody morskiej.
Samosprawdzenie Woda ma 6 m głębokości przy pionowej ścianie. Gdzie działa siła wypadkowa?
- 2 m nad podstawą
- 2 m pod powierzchnią
- 3 m nad podstawą
- 4 m nad podstawą
Odpowiedź: 2 m nad podstawą. Obciążenie trójkątne działa przez swój środek ciężkości, h/3 = 2 m nad podstawą. 3 m to środek ściany, gdzie siła działałaby tylko wtedy, gdyby ciśnienie było jednostajne.
7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne
- Łatwe: woda przy pionowej ścianie od powierzchni w dół. Znajdź F = ½ρgh²b lub wysokość ȳ = h/3 nad podstawą.
- Średnie: zanurzone prostokątne wrota w wodzie. Znajdź F = ρg·yc·A, jak w przykładzie.
- Trudne: te same wrota w oleju, wodzie morskiej lub glicerynie, a czasem głębokość środka parcia ycp.
Dla wrót z przykładu: Ic = 2 · 2³/12 = 1,333 m⁴, więc ycp = 2 + 1,333/(2 · 4) = 2,167 m pod powierzchnią. To 0,167 m poniżej środka ciężkości.
Ucz się krok po kroku w aplikacjiUcz się krok po kroku w aplikacji