Środek ciężkości i moment bezwładności: zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Inaczej: charakterystyki geometryczne przekroju · twierdzenie Steinera · moment bezwładności przekroju

Darmowe zadania z tematu Środek ciężkości i moment bezwładności z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: środek ciężkości, moment bezwładności, naprężenie od zginania.

Darmowe zadanieŁatwy
1002516012ȳ = ?wymiary w mm

Wyznacz wysokość ȳ środka ciężkości przekroju teowego nad jego dolną krawędzią.

bf = 100 mmtf = 25 mmtw = 12 mmhw = 160 mm
mm
Następne zadanie →
Ćwicz za darmo: Środek ciężkości i moment bezwładnościĆwicz teraz: Środek ciężkości i moment bezwładności5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Co ćwiczysz

  1. Łatwyśrodek ciężkości
  2. Średnimoment bezwładności
  3. Trudnynaprężenie od zginania

Najważniejsze wzory

Środek ciężkości
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Prostokąt
I = bh³/12
Twierdzenie Steinera
I = Ic + A·d²
Przekrój złożony
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Naucz się tematu Środek ciężkości i moment bezwładności od zera

1Dlaczego kształt przekroju ma znaczenie

Przetnij belkę prosto w poprzek i spójrz na powierzchnię cięcia. Ten kształt to przekrój poprzeczny, albo po prostu przekrój.

Weź drewnianą deskę o wymiarach 100 × 20 mm. Połóż ją płasko nad szczeliną, a mocno się ugnie. Postaw tę samą deskę na krawędzi, a jest znacznie sztywniejsza, choć ma dokładnie to samo pole.

1002020100ab

Liczy się to, jak daleko materiał leży od osi, względem której belka się zgina. Materiał daleko od tej osi pracuje znacznie intensywniej.

Opisują to dwie wielkości. Środek ciężkości to geometryczny środek przekroju: belka zgina się względem osi przez niego przechodzącej. Moment bezwładności pola I (drugi moment pola) mierzy, jak daleko pole jest rozłożone od tej osi.

Samosprawdzenie Ta sama deska jest użyta płasko (a) i na krawędzi (b), zginana względem osi poziomej. Która jest sztywniejsza?
  1. Na krawędzi (b)
  2. Obie jednakowo, bo pole jest takie samo
  3. Płasko (a)
  4. To zależy tylko od materiału

Odpowiedź: Na krawędzi (b). Na krawędzi materiał leży dalej od osi zginania. Pole jest takie samo, ale liczy się jego odległość od osi.

2Środek ciężkości przekroju złożonego

Dla prostokąta środek ciężkości jest pośrodku. Wiele przekrojów belek, jak teownik, składa się z prostokątów.

Podziel przekrój na prostokąty. Dla każdego znajdź jego pole Ai i wysokość yi jego własnego środka ciężkości, mierzoną od jednej linii odniesienia, zwykle dolnej krawędzi.

Środek ciężkości całego przekroju to średnia tych wysokości ważona polami:

ȳ = Σ Ai·yi / Σ Ai

Duża część przyciąga środek ciężkości ku sobie. W teowniku z półką na górze środek ciężkości leży powyżej połowy wysokości.

Samosprawdzenie Część 1 ma A = 3000 mm² przy y = 20 mm. Część 2 ma A = 1000 mm² przy y = 100 mm. Gdzie jest środek ciężkości?
  1. ȳ = 160 mm
  2. ȳ = 40 mm
  3. ȳ = 60 mm
  4. ȳ = 80 mm

Odpowiedź: ȳ = 40 mm. ȳ = (3000·20 + 1000·100)/4000 = 160 000/4000 = 40 mm. Wynik 60 mm to zwykła średnia wysokości, która pomija pola. Wynik 80 mm zamienia pola.

3Moment bezwładności pola

Dla prostokąta o szerokości b i wysokości h, zginanego względem osi poziomej przez jego własny środek ciężkości:

Ic = b · h³ / 12

Wysokość występuje w trzeciej potędze, dlatego deska na krawędzi jest 25 razy sztywniejsza: 20·100³ / (100·20³) = 25.

Dla przekroju złożonego każda część leży w pewnej odległości d od osi przechodzącej przez całkowity środek ciężkości. Twierdzenie Steinera (o osiach równoległych) dodaje składnik za to przesunięcie:

I = Σ ( Ic,i + Ai · di² )

Jednostką jest mm⁴. Liczby bywają duże, więc odpowiedzi często podaje się jako „× 10⁶ mm⁴”.

Gdy masz I, naprężenie zginające w odległości y od osi środkowej wynika z momentu zginającego M:

σ = M · y / I
Samosprawdzenie Prostokąt o szerokości 100 mm i wysokości 20 mm: ile wynosi I względem jego własnej poziomej osi środkowej?
  1. 1 666 667 mm⁴
  2. 400 000 mm⁴
  3. 66 667 mm⁴
  4. 800 000 mm⁴

Odpowiedź: 66 667 mm⁴. I = bh³/12 = 100·20³/12 = 66 667 mm⁴. Wynik 1 666 667 zamienia b i h (to deska na krawędzi); 800 000 pomija dzielenie przez 12.

4Metoda krok po kroku

  1. Podziel przekrój na prostokąty i ponumeruj je.
  2. Dla każdej części: pole Ai i wysokość środka ciężkości yi, wszystko mierzone od dolnej krawędzi.
  3. Środek ciężkości: ȳ = ΣAiyi / ΣAi.
  4. Dla każdej części: własne Ic = bh³/12 i odległość di = yi − ȳ.
  5. Zsumuj: I = Σ(Ic,i + Aidi²).
  6. Jeśli pytają o naprężenie: σ = M·y/I, gdzie y to odległość od osi do potrzebnej krawędzi.

Mała tabela z kolumnami A, y, A·y, Ic, d i A·d² utrzymuje porządek.

5Przykład krok po kroku

Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.

Przykład krok po kroku

Teownik ma półkę 100 × 20 mm na górze stojnika 20 × 100 mm. Znajdź wysokość środka ciężkości ȳ, moment bezwładności Ix oraz naprężenia zginające na górnej i dolnej krawędzi dla momentu zginającego 4 kN·m (belka zginana „w dół”).

1

Podziel na dwa prostokąty

100201002012

Półka (1): A1 = 100·20 = 2000 mm², środek ciężkości na y1 = 100 + 10 = 110 mm.

Stojnik (2): A2 = 20·100 = 2000 mm², środek ciężkości na y2 = 50 mm.

2

Środek ciężkości

ȳ = (2000·110 + 2000·50) / 4000 = 80 mm

Oba pola są równe, więc ȳ leży w połowie między 110 a 50 mm.

3

Własne momenty bezwładności

Ic,1 = 100·20³/12 = 66 667 mm⁴
Ic,2 = 20·100³/12 = 1 666 667 mm⁴
4

Składniki ze Steinera

1002010020xȳ = 80

Każdy środek ciężkości leży 30 mm od osi x: d1 = 110 − 80 = 30 mm i d2 = 50 − 80 = −30 mm.

Dla każdej części:

A·d² = 2000·30² = 1 800 000 mm⁴
5

Całkowity moment bezwładności

Ix = 66 667 + 1 800 000 + 1 666 667 + 1 800 000 = 5 333 333 mm⁴ ≈ 5,33 × 10⁶ mm⁴
6

Naprężenia zginające

M = 4 kN·m = 4 × 10⁶ N·mm. Dolna krawędź jest 80 mm od osi, górna 120 − 80 = 40 mm.

σbottom = 4 × 10⁶ · 80 / 5 333 333 = 60 MPa
σtop = 4 × 10⁶ · 40 / 5 333 333 = 30 MPa

Dolna krawędź jest rozciągana, a górna ściskana, jak w każdej belce zginanej „w dół”.

Odpowiedź

ȳ = 80 mm, Ix = 5,33 × 10⁶ mm⁴, σbottom = 60 MPa oraz σtop = 30 MPa.

6Typowe błędy

  • Pominięcie składnika A·d². Bez niego dodajesz tylko własne wartości I części, co jest znacznie za małe.
  • Mierzenie wysokości yi od różnych linii odniesienia. Wybierz dolną krawędź i trzymaj się jej.
  • Użycie d od dolnej krawędzi zamiast od całkowitego środka ciężkości.
  • Zamiana b i h w bh³/12. W trzeciej potędze jest wymiar prostopadły do osi zginania.
  • Użycie złej odległości krawędzi w σ = M·y/I. Największe naprężenie ma krawędź najdalsza od osi.
Samosprawdzenie Prostokąt 100 × 20 mm (szerokość × wysokość) ma środek ciężkości 50 mm od osi x. Jaki jest jego wkład do Ix?
  1. 0,067 × 10⁶ mm⁴
  2. 5,00 × 10⁶ mm⁴
  3. 5,07 × 10⁶ mm⁴
  4. 6,67 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź: 5,07 × 10⁶ mm⁴. I = bh³/12 + A·d² = 66 667 + 2000·50² = 5 066 667 mm⁴. Wynik 0,067 × 10⁶ pomija A·d²; 5,00 × 10⁶ pomija człon własny; 6,67 × 10⁶ używa 1 666 667 (zamienione b i h) plus A·d².

7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne

  • Łatwe: środek ciężkości. Znajdź ȳ teownika ponad jego dolną krawędzią. Warianty: kątownik albo I pojedynczego prostokąta, koła (πd⁴/64) lub skrzynki.
  • Średnie: moment bezwładności pola. Znajdź Ix teownika względem jego osi środkowej. Warianty: dwuteowniki, ceowniki i promień bezwładności r = √(I/A).
  • Trudne: naprężenie zginające. Teownik przenosi moment M; znajdź naprężenie na górnej lub dolnej krawędzi ze wzoru σ = M·y/I.

Podane wymiary to bf i tf dla półki oraz tw i hw dla stojnika.

Ucz się krok po kroku w aplikacjiUcz się krok po kroku w aplikacji

Przykłady z rozwiązaniami

Przykład 1Łatwy
260102808ȳ = ?wymiary w mm

Wyznacz wysokość ȳ środka ciężkości przekroju teowego nad jego dolną krawędzią.

bf = 260 mmtf = 10 mmtw = 8 mmhw = 280 mm

Oblicz ȳ (mm)

Pokaż podpowiedzi
  1. Podziel teownik na półkę i środnik i wyznacz pole oraz wysokość środka ciężkości każdej części.
  2. ȳ = ΣA·y / ΣA, z każdym y mierzonym od dolnej krawędzi.
  3. Af = 2600 mm², Aw = 2240 mm².
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: Af = 260·10 = 2600 mm², yf = 280 + 10/2 = 285 mm
środnik: Aw = 8·280 = 2240 mm², yw = 280/2 = 140 mm

Środek ciężkości

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2600·285 + 2240·140)/4840 = 217,9 mm

Odpowiedź

ȳ = 217,9 mm
Przykład 2Średni
100 mm240 mm156 mmØ30xIx​ = ?

Płyta 100 mm × 240 mm ma okrągły otwór o średnicy 30 mm na pionowej osi symetrii, ze środkiem 156 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju Ix względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 100 mmh = 240 mmd = 30 mmśrodek otworu: y = 156 mm

Oblicz Ix (× 10⁶ mm⁴)

Pokaż podpowiedzi
  1. Najpierw wyznacz środek ciężkości: płyta minus otwór.
  2. ȳ = 118,9 mm.
  3. Potem I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) względem ȳ.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma Ic = bh³/12, a koło Ic = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (24000·120 − 706,9·156)/(24000 − 706,9) = 118,9 mm

Pełna płyta względem ȳ

100·240³/12 + 24000·1,092² = 115,2 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·37,09² = 1,012 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

Ix = 114,2 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

Ix = 114,2 × 10⁶ mm⁴
Przykład 3Trudny
100 mm200 mm120 mm30 × 20xIx​ = ?

Płyta 100 mm × 200 mm ma prostokątne wycięcie o szerokości 30 mm i wysokości 20 mm, umieszczone na pionowej osi symetrii, ze środkiem 120 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju Ix względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 100 mmh = 200 mmwycięcie: 30 × 20 mmśrodek otworu: y = 120 mm

Oblicz Ix (× 10⁶ mm⁴)

Pokaż podpowiedzi
  1. Najpierw wyznacz środek ciężkości: płyta minus otwór.
  2. ȳ = 99,38 mm.
  3. Potem I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) względem ȳ.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma Ic = bh³/12, a koło Ic = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (20000·100 − 600·120)/(20000 − 600) = 99,38 mm

Pełna płyta względem ȳ

100·200³/12 + 20000·0,6186² = 66,67 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

30·20³/12 + 600·20,62² = 0,2751 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

Ix = 66,4 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

Ix = 66,4 × 10⁶ mm⁴

Pytania i odpowiedzi

Środek ciężkości i moment bezwładności: co to jest?

Przetnij belkę prosto w poprzek i spójrz na powierzchnię cięcia. Ten kształt to przekrój poprzeczny, albo po prostu przekrój.

Weź drewnianą deskę o wymiarach 100 × 20 mm. Połóż ją płasko nad szczeliną, a mocno się ugnie. Postaw tę samą deskę na krawędzi, a jest znacznie sztywniejsza, choć ma dokładnie to samo pole.

Środek ciężkości i moment bezwładności: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Środek ciężkości i moment bezwładności: co ćwiczysz?
  • Łatwy: środek ciężkości
  • Średni: moment bezwładności
  • Trudny: naprężenie od zginania

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Jak wygląda ćwiczenie

  • Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
  • Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
  • Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.

Tematy przed tym i po nim

Potem przejdź do

Wyboczenie słupówUgięcie belki

Kalkulatory

Kalkulator momentu bezwładności (moment bezwładności przekroju)Kalkulator środka ciężkości (kształty złożone i wielokąty)

Przedmioty z tym tematem

StatykaWytrzymałość materiałówPrzygotowanie do egzaminu FE Civil

Więcej tematów: Budownictwo

Siła tnąca i moment zginającyKratownica: równoważenie węzłówUgięcie belkiWyboczenie słupówNaprężenie efektywne w gruncieOsiadanie konsolidacyjneParcie hydrostatycznePrzepływ w kanałach otwartych (Manning)

Karta pracy do druku

Środek ciężkości i moment bezwładności: karta pracy z odpowiedziami
Ćwicz za darmo: Środek ciężkości i moment bezwładnościĆwicz teraz: Środek ciężkości i moment bezwładności5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.