Tarcie w rurach i straty wysokości: zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Darmowe zadania z tematu Tarcie w rurach i straty wysokości z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: Liczba Reynoldsa, strata wysokości Darcy’ego–Weisbacha, straty miejscowe i całkowita wysokość.

Darmowe zadanieŁatwy
V = 0,8 m/sD = 50 mmν = 1,31 × 10⁻⁶ m²/s

Woda o temperaturze 10 °C (ν = 1,31 × 10⁻⁶ m²/s) płynie z prędkością średnią 0,8 m/s przez rurę o średnicy wewnętrznej 50 mm. Wyznacz liczbę Reynoldsa Re.

V = 0,8 m/sD = 50 mmν = 1,31 × 10⁻⁶ m²/s
Następne zadanie →
Ćwicz za darmo: Tarcie w rurach i straty wysokościĆwicz teraz: Tarcie w rurach i straty wysokości5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Co ćwiczysz

  1. ŁatwyLiczba Reynoldsa
  2. Średnistrata wysokości Darcy’ego–Weisbacha
  3. Trudnystraty miejscowe i całkowita wysokość

Najważniejsze wzory

Liczba Reynoldsa
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu
laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe
hm = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K
wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia
Δp = ρ·g·hf
Dwa otwarte zbiorniki
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Naucz się tematu Tarcie w rurach i straty wysokości od zera

Wcześniej: Ciągłość i Bernoulli

1Czym jest strata wysokości

Równanie Bernoulliego zakłada, że ciecz płynie bez tarcia. W prawdziwej rurze woda ociera się o ścianę i o samą siebie, a część jej energii zamienia się w ciepło.

Inżynierowie wyrażają tę utraconą energię jako wysokość słupa cieczy, zwaną stratą wysokości (stratą napora), w metrach. Strata wysokości 3 m oznacza, że woda straciła tyle energii, ile potrzebowałaby, by wznieść się o 3 m.

Widać to na dwóch cienkich rurkach (piezometrach) na poziomej rurze. Woda wznosi się niżej w rurce położonej dalej w dół strumienia. Różnica to strata wysokości między nimi.

hf​VLD

Strata wysokości jest powodem, dla którego długie rurociągi potrzebują pomp, a bardzo długi wąż ogrodowy daje słabszy strumień.

Stratę wysokości przelicza się na spadek ciśnienia wzorem Δp = ρ · g · hf. Dla wody 1 m wysokości to około 9,81 kPa.

Samosprawdzenie Woda traci 2 m wysokości na tarcie wzdłuż poziomej rury. Jaki to spadek ciśnienia? (ρ = 1000 kg/m³, g = 9,81 m/s²)
  1. 19,6 kPa
  2. 196 kPa
  3. 2 kPa
  4. 9,81 kPa

Odpowiedź: 19,6 kPa. Δp = ρ · g · hf = 1000 · 9,81 · 2 = 19 620 Pa = 19,6 kPa. Każdy metr słupa wody to około 9,81 kPa.

2Liczba Reynoldsa: przepływ laminarny czy turbulentny

Powolny przepływ w cienkiej rurze odbywa się gładkimi warstwami. To przepływ laminarny. Szybki przepływ w szerokiej rurze wiruje i się miesza. To przepływ turbulentny.

Liczba Reynoldsa mówi, z którym przypadkiem masz do czynienia. Porównuje ona „napór” poruszającej się cieczy z jej lepkością:

Re = V · D / ν = ρ · V · D / μ
  • V: średnia prędkość w m/s, V = Q/A.
  • D: średnica wewnętrzna w m.
  • ν: lepkość kinematyczna w m²/s (około 1,0 × 10⁻⁶ m²/s dla wody w 20 °C) albo μ: lepkość dynamiczna w Pa·s, używana razem z gęstością ρ.

Re nie ma jednostki. Poniżej około 2000 przepływ jest laminarny. Powyżej około 4000 jest turbulentny. Większość rur z wodą pracuje w reżimie turbulentnym.

Samosprawdzenie Woda (ν = 1,0 × 10⁻⁶ m²/s) płynie z prędkością 0,5 m/s w rurze o średnicy wewnętrznej 20 mm. Jaka jest liczba Reynoldsa?
  1. 0,01
  2. 10 000 000
  3. 10 000
  4. 5000

Odpowiedź: 10 000. Re = 0,5 · 0,020 / 10⁻⁶ = 10 000, więc przepływ jest turbulentny. Użycie średnicy w mm daje 10 000 000, a użycie promienia daje 5000.

3Straty na tarcie i straty miejscowe

Stratę na tarcie wzdłuż prostej rury podaje równanie Darcy’ego–Weisbacha:

hf = f · (L / D) · V² / (2g)

Tutaj f to współczynnik oporów liniowych Darcy’ego (podany w zadaniu, zwykle od 0,015 do 0,03), a L to długość rury. Wyraz V²/(2g) to wysokość prędkości.

Strata rośnie z kwadratem prędkości. Podwojenie przepływu w tej samej rurze daje czterokrotnie większą stratę na tarcie.

Kształtki, takie jak kolana, zawory, wlot ze zbiornika i wylot do zbiornika, powodują dodatkowe straty miejscowe. Każda ma współczynnik straty K:

hm = ΣK · V² / (2g)

Typowe wartości: wlot z ostrymi krawędziami K = 0,5, kolano 90° około 0,3, wylot do zbiornika K = 1,0. Całkowita strata to hL = hf + hm.

Samosprawdzenie Przepływ w rurze podwaja się. Ile razy zmienia się strata wysokości na tarcie, jeśli f pozostaje takie samo?
  1. 2
  2. 4
  3. 8
  4. ½

Odpowiedź: 4. Dwa razy większy przepływ oznacza dwa razy większą prędkość, a hf zależy od V². Strata staje się więc 2² = 4 razy większa.

4Metoda krok po kroku

  1. Zamień jednostki: średnice na m, natężenia przepływu na m³/s (L/s ÷ 1000).
  2. Znajdź pole przekroju A = π·D²/4 i średnią prędkość V = Q/A.
  3. Oblicz wysokość prędkości V²/(2g). Używa jej niemal każdy wzór w tym temacie.
  4. Aby określić reżim przepływu, oblicz Re = V·D/ν. Dla straty na tarcie: hf = f·(L/D)·V²/(2g).
  5. Dodaj straty miejscowe jako ΣK·V²/(2g). Jeśli trzeba, zamień na spadek ciśnienia wzorem Δp = ρ·g·h.

L/D jest często dużą liczbą (1000 lub więcej). Oblicz ją najpierw osobno, aby zobaczyć, czy ma sensowną wartość.

5Przykład krok po kroku

Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.

Przykład krok po kroku

Woda płynie z natężeniem 10 L/s w rurze o długości 200 m i średnicy wewnętrznej 100 mm. Przyjmij współczynnik oporów Darcy’ego f = 0,02 i g = 9,81 m/s². Znajdź stratę wysokości na tarcie i spadek ciśnienia.

1

Narysuj i zamień jednostki

hf​ = ?V200 m100 mm

Q = 10 L/s = 0,010 m³/s oraz D = 0,100 m.

2

Prędkość średnia

A = π · 0,1² / 4 = 0,007854 m²
V = Q / A = 0,010 / 0,007854 = 1,273 m/s
3

Wysokość prędkości i L/D

V² / (2g) = 1,273² / 19,62 = 0,0826 m
L / D = 200 / 0,1 = 2000
4

Darcy–Weisbach

hf = 0,02 · 2000 · 0,0826 = 3,31 m
5

Spadek ciśnienia

W rurze poziomej utracona wysokość objawia się jako spadek ciśnienia:

Δp = 1000 · 9,81 · 3,305 = 32 400 Pa ≈ 32,4 kPa
6

Sprawdź wynik

Re = 1,273 · 0,1 / 10⁻⁶ ≈ 127 000, więc przepływ jest turbulentny i stały współczynnik oporów 0,02 jest uzasadniony.

Strata około 1,7 m na 100 m rury to normalna wielkość dla wody płynącej z prędkością około 1 m/s.

Odpowiedź

hf ≈ 3,31 m, co daje spadek ciśnienia około 32,4 kPa.

6Typowe błędy

  • Pominięcie 2g lub kwadratu przy V we wzorze na wysokość prędkości V²/(2g).
  • Pozostawienie średnicy w mm, przez co L/D jest tysiąc razy za małe.
  • Użycie natężenia przepływu Q zamiast prędkości V. Najpierw przelicz według V = Q/A.
  • Policzenie straty na wylocie (K = 1,0) dwa razy: raz jako straty miejscowej i raz jako wysokości prędkości strumienia wpływającego do zbiornika.
  • Podanie wysokości w metrach, gdy pytano o ciśnienie, albo odwrotnie.
Samosprawdzenie Woda płynie z prędkością 1 m/s w rurze o długości 100 m, średnicy wewnętrznej 100 mm i f = 0,02. Jaka jest strata wysokości na tarcie? (g = 9,81 m/s²)
  1. 0,00102 m
  2. 1,02 m
  3. 2,04 m
  4. 20 m

Odpowiedź: 1,02 m. hf = 0,02 · (100/0,1) · 1²/19,62 = 1,02 m. Dzielenie przez g zamiast przez 2g daje 2,04 m, pominięcie 2g daje 20 m, a D w mm daje 0,00102 m.

7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne

  • Łatwe: liczba Reynoldsa. Na podstawie prędkości lub natężenia przepływu, średnicy i lepkości (ν albo ρ i μ) znajdź Re i określ, czy przepływ jest laminarny, czy turbulentny.
  • Średnie: równanie Darcy’ego–Weisbacha. Znajdź stratę wysokości na tarcie hf lub spadek ciśnienia Δp dla danej rury, przepływu i współczynnika oporów.
  • Trudne: straty miejscowe i całkowita wysokość. Rura ze zbiornika z wlotem, kolanami i zaworem. Znajdź wysokość zbiornika potrzebną dla danego przepływu albo przepływ między dwoma zbiornikami.

Dla rury ze zbiornika kończącej się swobodnym strumieniem strumień nadal niesie swoją wysokość prędkości: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g).

Między dwoma otwartymi zbiornikami różnica wysokości jest zużywana wyłącznie na straty: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g), przy czym wylot K = 1,0 wchodzi do ΣK. Wyznacz V, a następnie Q = A·V.

Ucz się krok po kroku w aplikacjiUcz się krok po kroku w aplikacji

Przykłady z rozwiązaniami

Przykład 1Łatwy
Q = 5 L/sD = 50 mmν = 1,31 × 10⁻⁶ m²/s

Woda o temperaturze 10 °C (ν = 1,31 × 10⁻⁶ m²/s) płynie przez rurę o średnicy wewnętrznej 50 mm z natężeniem 5 L/s. Wyznacz liczbę Reynoldsa Re.

Q = 5 L/sD = 50 mmν = 1,31 × 10⁻⁶ m²/s

Oblicz Re

Pokaż podpowiedzi
  1. Najpierw wyznacz prędkość średnią: V = Q/A z A = π·D²/4.
  2. Następnie Re = V·D/ν.
  3. A = 0,001963 m², V = 2,546 m/s.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Prędkość średnia

A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²
V = Q/A = 0,005/0,001963 = 2,546 m/s

Liczba Reynoldsa

Re = V·D/ν = 2,546·0,05/(1,31 × 10⁻⁶) = 97194

Odpowiedź

Re = 97194

Re jest większe od 4000, więc przepływ jest turbulentny.

Przykład 2Średni
V = 1,1 m/sD = 100 mmL = 400 mf = 0,015

Woda płynie z prędkością średnią 1,1 m/s przez rurę o długości 400 m i średnicy wewnętrznej 100 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,015 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie hf.

V = 1,1 m/sL = 400 mD = 100 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

Oblicz hf (m)

Pokaż podpowiedzi
  1. Darcy–Weisbach: hf = f·(L/D)·V²/(2g).
  2. Wstaw D w metrach: D = 0,1 m.
  3. L/D = 4000, V²/(2g) = 0,06167 m.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Wysokość prędkości

V²/(2g) = 1,1²/(2·9,81) = 0,06167 m

Darcy–Weisbach

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(400/0,1)·1,1²/(2·9,81) = 3,7 m

Odpowiedź

hf = 3,7 m
Przykład 3Trudny
K = 2swobodny wypływH = ?L = 150 m, D = 300 mm, f = 0,0223× kolano (K = 0,3)

Rura o długości 150 m i średnicy wewnętrznej 300 mm (współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,022) wychodzi z otwartego zbiornika i wypływa swobodnym strumieniem do atmosfery. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 3 (K = 0,3 każde) i zawór (K = 2). Przyjmij g = 9,81 m/s². O ile H zwierciadło wody w zbiorniku musi leżeć wyżej niż wylot rury, aby natężenie przepływu wynosiło 200 L/s?

Q = 200 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 2

Oblicz H (m)

Pokaż podpowiedzi
  1. Równanie energii od zwierciadła w zbiorniku (w spoczynku) do wylotu (ciśnienie atmosferyczne, prędkość V).
  2. H = V²/(2g) + (f·L/D + ΣK)·V²/(2g).
  3. V = 2,829 m/s, V²/(2g) = 0,408 m.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Prędkość

V = Q/A = 0,2/0,07069 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m

Współczynniki strat

f·L/D = 0,022·150/0,3 = 11
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 = 3,4

Równanie energii

Strumień na wylocie nadal niesie swoją wysokość prędkości; to nie strata, ale trzeba ją dostarczyć.

H = (1 + 11 + 3,4)·0,408 = 6,284 m

Odpowiedź

H = 6,284 m

Pytania i odpowiedzi

Tarcie w rurach i straty wysokości: co to jest?

Równanie Bernoulliego zakłada, że ciecz płynie bez tarcia. W prawdziwej rurze woda ociera się o ścianę i o samą siebie, a część jej energii zamienia się w ciepło.

Inżynierowie wyrażają tę utraconą energię jako wysokość słupa cieczy, zwaną stratą wysokości (stratą napora), w metrach. Strata wysokości 3 m oznacza, że woda straciła tyle energii, ile potrzebowałaby, by wznieść się o 3 m.

Tarcie w rurach i straty wysokości: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Tarcie w rurach i straty wysokości: jakie błędy są najczęstsze?
  • Pole przekroju przepływu rury to A = π·D²/4, a nie π·D².
  • π·D²/4 używa średnicy. Wstawienie promienia do tego wzoru daje pole cztery razy za małe.
  • Najpierw przelicz L/s na m³/s: 1 L/s = 0,001 m³/s.
Tarcie w rurach i straty wysokości: co ćwiczysz?
  • Łatwy: Liczba Reynoldsa
  • Średni: strata wysokości Darcy’ego–Weisbacha
  • Trudny: straty miejscowe i całkowita wysokość

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Jak wygląda ćwiczenie

  • Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
  • Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
  • Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.

Tematy przed tym i po nim

Najpierw naucz się

Ciągłość i Bernoulli

Potem przejdź do

Pompy i moc pomp

Kalkulatory

Kalkulator straty wysokości w rurze (Darcy–Weisbach)Kalkulator liczby Reynoldsa

Przedmioty z tym tematem

Mechanika płynówHydraulikaPrzygotowanie do egzaminu FE MechanicalPrzygotowanie do egzaminu FE CivilPrzygotowanie do egzaminu FE Chemical

Więcej tematów: Mechanika

Reakcje podpór belekRamy i maszynyNaprężenie i odkształcenie osioweSkręcanie wałówKoło Mohra i transformacja naprężeńRzut ukośnyPraca i energiaRuch obrotowy bryły sztywnejDrgania mechaniczneSilniki cieplne i chłodziarkiObiegi silników cieplnych gazowychCiągłość i BernoulliPompy i moc pompPrzewodzenie ciepłaKoła i przekładnie zębate

Karta pracy do druku

Tarcie w rurach i straty wysokości: karta pracy z odpowiedziami
Ćwicz za darmo: Tarcie w rurach i straty wysokościĆwicz teraz: Tarcie w rurach i straty wysokości5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.