Naprężenie i odkształcenie osiowe: zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Q: Naprężenie i odkształcenie osiowe: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, Pi = P·EiAi/ΣEA, a σi = Ei·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Q: Naprężenie i odkształcenie osiowe: co ćwiczysz?

Łatwy: naprężenie normalne Średni: odkształcenie i wydłużenie Trudny: pręt schodkowy Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Inaczej: rozciąganie i ściskanie · prawo Hooke’a · wydłużenie pręta

Darmowe zadania z tematu Naprężenie i odkształcenie osiowe z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: naprężenie normalne, odkształcenie i wydłużenie, pręt schodkowy.

Darmowe zadanieŁatwy

Pręt (materiał: stal, średnica 30 mm, E = 200 GPa) znajduje się wewnątrz rury (materiał: mosiądz, średnica zewnętrzna 100 mm, średnica wewnętrzna 50 mm, E = 100 GPa). Oba mają długość 800 mm i są razem ściskane między sztywnymi płytami siłą 80 kN. Wyznacz naprężenie ściskające σ_r w pręcie.

P = 80 kNpręt: Ø30 mm, E = 200 GParura: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 800 mm

Następne zadanie →

Ćwicz za darmo: Naprężenie i odkształcenie osiowe Ćwicz teraz: Naprężenie i odkształcenie osiowe5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Co ćwiczysz

Łatwynaprężenie normalne
Średniodkształcenie i wydłużenie
Trudnypręt schodkowy

Najważniejsze wzory

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Naucz się tematu Naprężenie i odkształcenie osiowe od zera

1Czym jest naprężenie

Pociągnij stalowy pręt, a będzie się opierał. To, czy pęknie, nie zależy tylko od siły, lecz od tego, ile materiału ją przenosi.

Cienki drut i gruba lina mogą przenosić to samo obciążenie. Cienki drut znacznie łatwiej zawiedzie, bo każdy jego milimetr kwadratowy przenosi więcej.

Naprężenie normalne σ (sigma) to siła na jednostkę pola przekroju. Siła P działa wzdłuż osi pręta, dlatego nazywamy to obciążeniem osiowym.

σ = P / A

Inżynierowie liczą w niutonach i milimetrach. Jeden niuton na milimetr kwadratowy to jeden megapaskal:

1 N/mm² = 1 MPa

Najpierw więc zamień kN na N (× 1000). Dla okrągłego pręta o średnicy d pole jest polem koła:

A = π · d² / 4

Samosprawdzenie Pręt o przekroju 100 mm² przenosi 10 kN. Jakie jest naprężenie?

0,1 MPa
10 MPa
100 MPa
1000 MPa

Odpowiedź: 100 MPa. σ = 10 000 N / 100 mm² = 100 N/mm² = 100 MPa. 0,1 MPa wychodzi, gdy zapomni się zamienić kN na N.

2Odkształcenie i prawo Hooke’a

Pod obciążeniem pręt także trochę się wydłuża. Ta zmiana długości to wydłużenie δ (delta).

Odkształcenie ε (epsilon) to wydłużenie podzielone przez długość początkową. Nie ma jednostki, bo to mm na mm:

ε = δ / L

Odkształcenia w metalach są bardzo małe, więc często podaje się je w mikroodkształceniach: 1 µε = 10⁻⁶. Odkształcenie 0,0008 to 800 µε.

Dla większości materiałów naprężenie i odkształcenie są proporcjonalne, dopóki obciążenie nie jest zbyt duże. To jest prawo Hooke’a:

σ = E · ε

E to moduł Younga, czyli sztywność materiału. Stal ma E ≈ 200 GPa, aluminium około 70 GPa. Ponieważ 1 GPa = 1000 MPa, stal ma E = 200 000 MPa.

Połączenie tych trzech wzorów daje wydłużenie bezpośrednio:

δ = P · L / (A · E)

Samosprawdzenie Stalowy pręt (E = 200 GPa) ma naprężenie 200 MPa. Jakie jest odkształcenie?

0,001
0,1
1000
1

Odpowiedź: 0,001. Zamień E na MPa: 200 GPa = 200 000 MPa. Wtedy ε = 200/200 000 = 0,001 = 1000 µε. Podzielenie 200 przez 200 bez przeliczenia daje 1, co jest znacznie za dużą wartością.

3Metoda krok po kroku

Zapisz wszystkie wartości w N i mm: P w N (kN × 1000), długości w mm (m × 1000), E w MPa (GPa × 1000).
Znajdź pole: A = π·d²/4 dla pręta okrągłego.
Znajdź naprężenie: σ = P/A, w MPa.
Znajdź odkształcenie: ε = σ/E. Pomnóż przez 10⁶, jeśli odpowiedź ma być w µε.
Znajdź wydłużenie: δ = ε·L, w mm.

Zatrzymaj się na kroku, o który pyta zadanie. Większość zadań wymaga tylko pierwszych dwóch lub trzech kroków.

4Przykład krok po kroku

Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.

Przykład krok po kroku

Stalowy pręt (E = 200 GPa) ma średnicę 20 mm i długość 2 m. Przenosi osiowe obciążenie rozciągające 50 kN. Znajdź naprężenie, odkształcenie i wydłużenie.

Przyjrzyj się prętowi i przelicz jednostki

P = 50 kN = 50 000 N, L = 2 m = 2000 mm i E = 200 GPa = 200 000 MPa.

Powierzchnia

A = π · 20² / 4 = 314,2 mm²

Naprężenie

σ = P / A = 50 000 / 314,2 = 159,2 MPa

To jest znacznie poniżej wytrzymałości zwykłej stali (około 250 MPa), więc prawo Hooke’a obowiązuje.

Odkształcenie

ε = σ / E = 159,2 / 200 000 = 0,000796 = 796 µε

Wydłużenie

δ = ε · L = 0,000796 · 2000 = 1,59 mm

Sprawdź wynik

Użyj wzoru połączonego jako drugiej drogi:

δ = P·L / (A·E) = 50 000 · 2000 / (314,2 · 200 000) = 1,59 mm

Stalowy pręt o długości 2 m, który wydłuża się o około 1,6 mm, to wynik realistyczny: odkształcenia stali pozostają znacznie poniżej 0,2 %.

Odpowiedź

σ = 159,2 MPa, ε = 796 µε i δ = 1,59 mm.

5Pręty z więcej niż jednym odcinkiem

Pręt stopniowany składa się z odcinków o różnych średnicach, a czasem z różnych materiałów.

Przetnij pręt w dowolnym miejscu i spójrz na część po prawej stronie przekroju. Ciągnie ją tylko P, więc każdy odcinek przenosi tę samą siłę P.

Pola się różnią, więc różnią się naprężenia. Najcieńszy odcinek ma największe naprężenie.

Każdy odcinek wydłuża się osobno, ze swoimi A, L i E. Całkowite wydłużenie jest sumą:

δ = P·L₁ / (A₁·E₁) + P·L₂ / (A₂·E₂)

Samosprawdzenie Pręt stopniowany przenosi 20 kN. Odcinek 1 ma A = 400 mm², odcinek 2 ma A = 100 mm². Jakie jest największe naprężenie w pręcie?

200 MPa
250 MPa
40 MPa
50 MPa

Odpowiedź: 200 MPa. Oba odcinki przenoszą 20 kN. Cienki ma 20 000/100 = 200 MPa. 50 MPa to gruby odcinek, 40 MPa błędnie dodaje pola, a 250 MPa błędnie dodaje dwa naprężenia.

6Typowe błędy

Zapomnienie o zamianie kN na N, przez co naprężenie jest 1000 razy za małe.
Użycie E w GPa obok naprężenia w MPa. Zapisz E w MPa (GPa × 1000).
Użycie π·d² lub π·d zamiast π·d²/4 jako pola koła.
Zostawienie L w metrach, gdy δ ma wyjść w milimetrach.
Dzielenie P między odcinki pręta stopniowanego. Każdy odcinek przenosi całe P.

Samosprawdzenie Pręt o A = 30 mm² przenosi P = 6 kN. Jakie jest naprężenie?

0,2 MPa
180 MPa
200 MPa
5 MPa

Odpowiedź: 200 MPa. σ = 6000 N / 30 mm² = 200 MPa. 0,2 MPa używa 6 zamiast 6000 N; 5 MPa dzieli pole przez siłę; 180 je mnoży.

7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne

Łatwe: naprężenie normalne. Okrągły pręt o średnicy d przenosi P; znajdź σ = P/A.
Średnie: odkształcenie i wydłużenie. Dostajesz też L i E materiału; znajdź ε (w µε) lub δ (w mm).
Trudne: pręt stopniowany z dwoma odcinkami, być może z różnych materiałów. Znajdź całkowite wydłużenie lub największe naprężenie.

Zapisuj jednostki przy każdej liczbie. Prawie wszystkie błędne odpowiedzi w tym temacie różnią się o czynnik 1000.

Ucz się krok po kroku w aplikacji Ucz się krok po kroku w aplikacji

Przykłady z rozwiązaniami

Przykład 1Łatwy

Pręt (materiał: stal, średnica 30 mm, E = 200 GPa) znajduje się wewnątrz rury (materiał: miedź, średnica zewnętrzna 100 mm, średnica wewnętrzna 50 mm, E = 120 GPa). Oba mają długość 500 mm i są razem ściskane między sztywnymi płytami siłą 300 kN. Wyznacz naprężenie ściskające σ_r w pręcie.

P = 300 kNpręt: Ø30 mm, E = 200 GParura: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

Oblicz σ_r (MPa)

Pokaż podpowiedzi

Sztywne płyty: pręt i rura skracają się o tyle samo, więc ε jest takie samo w obu.
ε = P/ΣEA.
σ = E·ε.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Łączna sztywność osiowa

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·5890 = 8,482 × 10⁸ N

Wspólne odkształcenie

ε = 300000/8,482 × 10⁸ = 0,0003537

Naprężenie w pręcie

σ_r = 200·10³·0,0003537 = 70,74 MPa

Odpowiedź

σ_r = 70,74 MPa

Przykład 2Średni

Wyznacz odkształcenie osiowe ε w pręcie (mosiądz), w mikroodkształceniach (µε = 10⁻⁶).

P = 10 kNd = 20 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

Oblicz ε (µε)

Pokaż podpowiedzi

Połącz trzy zależności: σ = P/A, ε = σ/E, δ = ε·L.
Przelicz E na MPa (GPa × 1000), aby pasowało do naprężenia w MPa, a L na mm.
σ = 31,83 MPa.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 10·1000/314,2 = 31,83 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for mosiądz = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 31,83/100000 = 0,0003183 = 318,3 µε

Odpowiedź

ε = 318,3 µε

Przykład 3Trudny

Odcinek (materiał: stal, średnica 30 mm, długość 300 mm, E = 200 GPa) i odcinek (materiał: aluminium, średnica 30 mm, długość 500 mm, E = 70 GPa) są połączone końcami i zamocowane między dwiema sztywnymi ścianami. W miejscu połączenia działa obciążenie osiowe 40 kN skierowane ku odcinkowi 2. Wyznacz wartość naprężenia σ₂ w odcinku 2.

odcinek 1: stal, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPaodcinek 2: aluminium, Ø30 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 40 kN

Oblicz σ₂ (MPa)

Pokaż podpowiedzi

Miejsce połączenia przesuwa się o tyle samo dla obu odcinków: jeden się wydłuża, drugi skraca.
k = E·A/L; P = k₁δ + k₂δ.
k₁ = 471239 N/mm, k₂ = 98960 N/mm.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Sztywności

k₁ = 200000·706,9/300 = 471239 N/mm

k₂ = 70000·706,9/500 = 98960 N/mm

Udział odcinka 2

F₂ = 40000·98960/570199 = 6942 N

Naprężenie

σ₂ = 6942/706,9 = 9,821 MPa (ściskanie)

Odpowiedź

σ₂ = 9,821 MPa

Pytania i odpowiedzi

Naprężenie i odkształcenie osiowe: co to jest?

Pociągnij stalowy pręt, a będzie się opierał. To, czy pęknie, nie zależy tylko od siły, lecz od tego, ile materiału ją przenosi.

Cienki drut i gruba lina mogą przenosić to samo obciążenie. Cienki drut znacznie łatwiej zawiedzie, bo każdy jego milimetr kwadratowy przenosi więcej.

Naprężenie i odkształcenie osiowe: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?

Naprężenie i odkształcenie osiowe: jakie błędy są najczęstsze?

Dwa materiały nie dzielą naprężenia po równo: dzielą odkształcenie. Sztywniejszy jest bardziej obciążony.
Rura przenosi część obciążenia.
To jest naprężenie w rurze.

Naprężenie i odkształcenie osiowe: co ćwiczysz?

Łatwy: naprężenie normalne
Średni: odkształcenie i wydłużenie
Trudny: pręt schodkowy

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Jak wygląda ćwiczenie

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.

Tematy przed tym i po nim

Potem przejdź do

Koło Mohra i transformacja naprężeń Skręcanie wałów

Kalkulatory

Kalkulator naprężeń i odkształceń osiowych Kalkulator rozszerzalności cieplnej

Przedmioty z tym tematem

Wytrzymałość materiałów Projektowanie maszyn Przygotowanie do egzaminu FE Mechanical

Więcej tematów: Mechanika

Reakcje podpór belek Ramy i maszyny Skręcanie wałów Koło Mohra i transformacja naprężeń Rzut ukośny Praca i energia Ruch obrotowy bryły sztywnej Drgania mechaniczne Silniki cieplne i chłodziarki Obiegi silników cieplnych gazowych Ciągłość i Bernoulli Tarcie w rurach i straty wysokości Pompy i moc pomp Przewodzenie ciepła Koła i przekładnie zębate

Karta pracy do druku

Naprężenie i odkształcenie osiowe: karta pracy z odpowiedziami

Ćwicz za darmo: Naprężenie i odkształcenie osiowe Ćwicz teraz: Naprężenie i odkształcenie osiowe5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.