Praca i energia: zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Inaczej: zasada zachowania energii · energia mechaniczna

Darmowe zadania z tematu Praca i energia z rysunkami, podpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami. Za każdym razem nowe wartości, na trzech poziomach: spadek swobodny, zbocze z tarciem, rampa, tarcie i sprężyna.

Darmowe zadanieŁatwy
m = 5 kggh = 38 m

Piłkę o masie 5 kg upuszczono bez prędkości początkowej z wysokości 38 m. Pomiń opór powietrza. Wyznacz jej prędkość v tuż przed uderzeniem w ziemię.

m = 5 kgh = 38 mg = 9,81 m/s²
m/s
Następne zadanie →
Ćwicz za darmo: Praca i energiaĆwicz teraz: Praca i energia5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.

Co ćwiczysz

  1. Łatwyspadek swobodny
  2. Średnizbocze z tarciem
  3. Trudnyrampa, tarcie i sprężyna

Najważniejsze wzory

Energia kinetyczna
Ek = ½mv²
Energia potencjalna
Ep = mgh
Bilans energii
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
Praca tarcia
W = μ·N·d
Moc
P = W/t

Naucz się tematu Praca i energia od zera

Wcześniej: Zasady dynamiki Newtona

1Czym jest energia

Energia to zdolność do wprawienia czegoś w ruch lub do zmiany. Mierzy się ją w dżulach (J). Jeden dżul to energia potrzebna do pchania z siłą 1 N na odcinku 1 m.

Energia nigdy nie jest tworzona ani niszczona. Zmienia tylko postać. Spadająca piłka zamienia wysokość w prędkość. Hamujący samochód zamienia prędkość w ciepło w hamulcach.

To daje potężny skrót. Zamiast śledzić ruch sekunda po sekundzie za pomocą sił, porównujesz energię na początku z energią na końcu.

W tym temacie poznajesz trzy formy energii mechanicznej: energię ruchu, energię wysokości i energię zmagazynowaną w sprężynie. Tarcie odbiera energię i zamienia ją w ciepło.

Samosprawdzenie Pudło ślizga się po chropowatej podłodze i zatrzymuje się. Co stało się z jego energią kinetyczną?
  1. Nadal jest zmagazynowana w pudle jako prędkość
  2. Tarcie zamieniło ją w ciepło
  3. Zamieniła się w energię potencjalną
  4. Została zniszczona

Odpowiedź: Tarcie zamieniło ją w ciepło. Energia nie może zniknąć. Na poziomej podłodze wysokość się nie zmienia, więc cała energia kinetyczna przeszła w ciepło przez tarcie.

2Praca i energia kinetyczna

Siła wykonuje pracę, gdy coś przesuwa. Praca to siła razy droga przebyta w kierunku siły:

W = F · d · cos α

Tu α to kąt między siłą a ruchem. Siła wzdłuż ruchu (α = 0) wykonuje pełną pracę. Siła pod kątem prostym (α = 90°) nie wykonuje żadnej pracy.

Energia ruchu to energia kinetyczna. Rośnie z kwadratem prędkości, więc podwojenie prędkości daje czterokrotnie większą energię:

Ek = ½ · m · v²

Praca wykonana przez wszystkie siły razem równa się zmianie energii kinetycznej. To twierdzenie o pracy i energii.

Samosprawdzenie Lina ciągnie skrzynię na odcinku 4 m po poziomej podłodze z siłą 50 N, pod kątem 60° nad poziomem. Ile pracy wykonuje lina?
  1. 100 J
  2. 12,5 J
  3. 173 J
  4. 200 J

Odpowiedź: 100 J. W = 50 · 4 · cos 60° = 100 J. Pominięcie cos α daje 200 J, a użycie sin 60° daje 173 J.

3Energia potencjalna: wysokość i sprężyny

Przedmiot położony wyżej może spaść i nabrać prędkości. Energia, którą ma z powodu swojej wysokości, to grawitacyjna energia potencjalna:

Ep = m · g · h

Liczy się tylko zmiana wysokości, więc poziom zerowy wybierasz sam. Najniższy punkt ruchu jest zwykle najłatwiejszym wyborem.

Sprężyna ściśnięta lub rozciągnięta o odcinek x magazynuje energię sprężystości. Tu k to sztywność sprężyny w N/m:

Es = ½ · k · x²

Złóż wszystko w jeden bilans energii. Wf to praca wykonana przeciw tarciu, która odchodzi jako ciepło:

Ek1 + Ep1 + Es1 = Ek2 + Ep2 + Es2 + Wf

Dla swobodnego spadku ze spoczynku, bez tarcia, daje to m·g·h = ½·m·v², więc v = √(2gh). Masa się skraca.

Samosprawdzenie Kamień puszczono ze spoczynku z wysokości 20 m. Pomijając opór powietrza, jak szybko się porusza, gdy dociera do ziemi? (g = 9,81 m/s²)
  1. 14,0 m/s
  2. 19,8 m/s
  3. 196 m/s
  4. 392 m/s

Odpowiedź: 19,8 m/s. v = √(2 · 9,81 · 20) = √392,4 = 19,8 m/s. 392 m/s pomija pierwiastek, a 14,0 m/s pomija czynnik 2 z ½ w ½·m·v².

4Metoda krok po kroku

  1. Narysuj sytuację. Zaznacz punkt początkowy 1 i końcowy 2 oraz wybierz poziom zerowy wysokości.
  2. Zapisz energię w punkcie 1: Ek1 = ½·m·v1², Ep1 = m·g·h1, oraz ½·k·x1², jeśli sprężyna jest ściśnięta.
  3. Zapisz energię w punkcie 2 w ten sam sposób. Niewiadomą zostaw jako symbol.
  4. Znajdź pracę przeciw tarciu. Na pochylni siła normalna to N = m·g·cos θ, więc Wf = μ·m·g·cos θ·d, gdzie d to przebyta droga ślizgu.
  5. Podstaw do bilansu energii i rozwiąż względem niewiadomej.

Narysuj też siły, nawet jeśli używasz tylko energii. Rysunek pokazuje, które siły wykonują pracę, a które nie.

θmgNF = μNvm

Siła normalna N jest prostopadła do ruchu, więc nie wykonuje pracy. Ma znaczenie tylko dlatego, że od niej zależy tarcie.

5Przykład krok po kroku

Przejdź przez każdy krok. Spróbuj przewidzieć następny, zanim go odsłonisz.

Przykład krok po kroku

Klocek o masie 2 kg zsuwa się ze spoczynku po pochylni nachylonej pod kątem 30° do poziomu. Współczynnik tarcia kinetycznego wynosi 0,2. Przyjmij g = 9,81 m/s². Znajdź jego prędkość po przebyciu 5 m wzdłuż pochylni.

1

Narysuj sytuację

θmd = 5 mh = 2,5 mv = ?

Punkt 1 to start, punkt 2 leży 5 m dalej w dół pochylni. Poziom zerowy wysokości umieść w punkcie 2.

2

Utracona wysokość

Klocek zsuwa się 5 m wzdłuż pochylni, ale opada tylko o jej pionową część:

h = d · sin θ = 5 · sin 30° = 2,5 m
Ep1 = m · g · h = 2 · 9,81 · 2,5 = 49,05 J
3

Praca przeciw tarciu

Na pochylni siła normalna jest mniejsza niż ciężar:

N = m · g · cos θ = 2 · 9,81 · cos 30° = 16,99 N
Wf = μ · N · d = 0,2 · 16,99 · 5 = 16,99 J
4

Bilans energii

Klocek startuje ze spoczynku, więc Ek1 = 0. W punkcie 2 wysokość wynosi zero:

Ep1 = Ek2 + Wf
Ek2 = 49,05 − 16,99 = 32,06 J
5

Znajdź prędkość

½ · 2 · v² = 32,06
v = √32,06 = 5,66 m/s
6

Sprawdź wynik

Bez tarcia klocek osiągnąłby √(2 · 9,81 · 2,5) = 7,00 m/s. Tarcie musi go spowolnić, a 5,66 m/s jest wolniejsze. Odpowiedź ma sens.

Masa ostatecznie się skraca: v² = 2·g·d·(sin θ − μ·cos θ) = 32,06, co daje te same 5,66 m/s.

Odpowiedź

Klocek osiąga v ≈ 5,66 m/s po przebyciu 5 m.

6Typowe błędy

  • Użycie ciężaru m·g jako siły normalnej na pochylni. Na pochylni N = m·g·cos θ.
  • Użycie drogi wzdłuż pochylni jako wysokości. Spadek wysokości to d·sin θ.
  • Zapomnienie o pierwiastku na końcu: ½·m·v² daje v², a nie v.
  • Dodanie pracy tarcia do energii końcowej ze złym znakiem. Tarcie zawsze odbiera energię ruchowi.
  • Zapisanie energii sprężyny jako k·x zamiast ½·k·x² albo pozostawienie x w cm.
Samosprawdzenie Klocek o masie 1 kg zsuwa się 2 m po pochylni 30° przy μ = 0,5. Ile pracy wykonuje się przeciw tarciu? (g = 9,81 m/s²)
  1. 19,6 J
  2. 4,91 J
  3. 8,50 J
  4. 9,81 J

Odpowiedź: 8,50 J. Wf = μ · m · g · cos θ · d = 0,5 · 1 · 9,81 · cos 30° · 2 = 8,50 J. Użycie m·g jako siły normalnej daje 9,81 J, a użycie sin θ zamiast cos θ daje 4,91 J.

7Jak wyglądają zadania egzaminacyjne

  • Łatwe: spadek swobodny i inne pojedyncze przemiany. Upuszczona piłka (znajdź v lub Ek), wahadło puszczone spod kąta, klocek wpadający na sprężynę, praca ciągnącej liny albo moc wciągarki (P = m·g·h / t).
  • Średnie: klocek na pochylni z tarciem: znajdź prędkość po przebyciu odcinka lub pracę przeciw tarciu. Warianty to samochód hamujący poślizgiem, wyrzutnia sprężynowa i moc potrzebna do jazdy pod górę.
  • Trudne: kilka etapów w jednym zadaniu. Na przykład gładka pochylnia, potem szorstki odcinek, potem sprężyna: znajdź prędkość przy sprężynie lub maksymalne ściśnięcie. Inne łączą ciągnięty klocek, pętlę albo dwa połączone klocki.

W trudnych zadaniach zapisz jeden bilans energii od samego początku do samego końca. Dodaj pracę tarcia każdego szorstkiego fragmentu.

Przy maksymalnym ściśnięciu sprężyny klocek na chwilę się zatrzymuje, więc cała jego energia kinetyczna jest w sprężynie: ½·m·v² = ½·k·x².

Ucz się krok po kroku w aplikacjiUcz się krok po kroku w aplikacji

Przykłady z rozwiązaniami

Przykład 1Łatwy
m = 0,5 kggh = 11 m

Piłkę o masie 0,5 kg upuszczono bez prędkości początkowej z wysokości 11 m. Pomiń opór powietrza. Wyznacz jej prędkość v tuż przed uderzeniem w ziemię.

m = 0,5 kgh = 11 mg = 9,81 m/s²

Oblicz v (m/s)

Pokaż podpowiedzi
  1. Energia jest zachowana: energia potencjalna na górze zamienia się w energię kinetyczną na dole.
  2. mgh = ½mv², więc masa się skraca: v = √(2gh).
  3. 2gh = 215,8 m²/s².
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Zasada pracy i energii: zmiana energii kinetycznej równa się pracy wszystkich sił. Zapisanie grawitacji i sprężyn jako energii potencjalnej (mgh i ½kx²) daje bilans: energia początkowa = energia końcowa + energia stracona na tarcie (μN·d).

Bilans energii

Start w spoczynku na wysokości h; koniec na ziemi z prędkością v.

mgh = ½mv² → v = √(2gh)
v = √(2·9,81·11) = 14,69 m/s

Odpowiedź

v = 14,69 m/s
Przykład 2Średni
45°d = 19 mμ = 0,35

Klocek zsuwa się bez prędkości początkowej po zboczu nachylonym pod kątem 45° do poziomu. Współczynnik tarcia kinetycznego wynosi 0,35. Wyznacz jego prędkość v po przebyciu 19 m wzdłuż zbocza.

θ = 45°μ = 0,35d = 19 mg = 9,81 m/s²

Oblicz v (m/s)

Pokaż podpowiedzi
  1. Siła normalna na zboczu to N = mg·cos θ, więc tarcie to μmg·cos θ.
  2. Bilans energii na drodze d: mg·d·sin θ = ½mv² + μmg·cos θ·d. Masa się skraca.
  3. sin θ = 0,7071, cos θ = 0,7071.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Zasada pracy i energii: zmiana energii kinetycznej równa się pracy wszystkich sił. Zapisanie grawitacji i sprężyn jako energii potencjalnej (mgh i ½kx²) daje bilans: energia początkowa = energia końcowa + energia stracona na tarcie (μN·d).

Bilans energii wzdłuż zbocza

Klocek obniża się o d·sin θ, a tarcie zabiera μmg·cos θ·d. Masa się skraca.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)
v = √(2·9,81·19·(0,7071 − 0,35·0,7071)) = 13,09 m/s

Odpowiedź

v = 13,09 m/s
Przykład 3Trudny
h = 4,5 mL = 4 mμ = 0,15k = 500 N/m

Klocek o masie 2,5 kg puszczono bez prędkości początkowej z wysokości 4,5 m na gładkiej rampie. Na dole przejeżdża przez szorstki poziomy pas o długości 4 m (μ = 0,15), a potem trafia na sprężynę (k = 500 N/m) na gładkiej powierzchni. Wyznacz maksymalne ugięcie x sprężyny.

m = 2,5 kgh = 4,5 mL = 4 mμ = 0,15k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

Oblicz x (cm)

Pokaż podpowiedzi
  1. Śledź energię od puszczenia do końca: energia potencjalna na górze, pomniejszona o straty na tarcie na szorstkim pasie, kończy jako energia kinetyczna lub energia sprężyny.
  2. Tarcie na płaskim pasie zabiera μ·mg·L. Przy maksymalnym ugięciu klocek na chwilę się zatrzymuje, więc cała pozostała energia to ½kx².
  3. mg(h − μL) = 95,65 J.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku

Zasada pracy i energii: zmiana energii kinetycznej równa się pracy wszystkich sił. Zapisanie grawitacji i sprężyn jako energii potencjalnej (mgh i ½kx²) daje bilans: energia początkowa = energia końcowa + energia stracona na tarcie (μN·d).

Energia po szorstkim pasie

Rampa jest gładka, więc energię zabiera tylko pas.

mgh − μmgL = 24,53·(4,5 − 0,15·4) = 95,65 J

Maksymalne ugięcie

½kx² = 95,65 → x = √(2·95,65/500) = 0,6185 m = 61,85 cm

Odpowiedź

x = 61,85 cm

Pytania i odpowiedzi

Praca i energia: co to jest?

Energia nigdy nie jest tworzona ani niszczona. Zmienia tylko postać. Spadająca piłka zamienia wysokość w prędkość. Hamujący samochód zamienia prędkość w ciepło w hamulcach.

To daje potężny skrót. Zamiast śledzić ruch sekunda po sekundzie za pomocą sił, porównujesz energię na początku z energią na końcu.

Praca i energia: jak rozwiązywać zadania krok po kroku?

Zasada pracy i energii: zmiana energii kinetycznej równa się pracy wszystkich sił. Zapisanie grawitacji i sprężyn jako energii potencjalnej (mgh i ½kx²) daje bilans: energia początkowa = energia końcowa + energia stracona na tarcie (μN·d).

Praca i energia: co ćwiczysz?
  • Łatwy: spadek swobodny
  • Średni: zbocze z tarciem
  • Trudny: rampa, tarcie i sprężyna

Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi. Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.

Jak wygląda ćwiczenie

  • Każde zadanie ma nowe wartości, więc uczysz się metody, a nie odpowiedzi.
  • Utknąłeś? Najpierw otwórz małą podpowiedź, a pełne wyjaśnienie dopiero wtedy, gdy go potrzebujesz.
  • Twoje postępy, błędy i zapisane zadania są zachowywane, więc możesz je powtórzyć przed egzaminem.

Tematy przed tym i po nim

Najpierw naucz się

Zasady dynamiki Newtona

Potem przejdź do

Ruch obrotowy bryły sztywnej

Kalkulatory

Kalkulator energii kinetycznej (oraz energii potencjalnej, pracy i mocy)

Przedmioty z tym tematem

DynamikaFizyka dla inżynierówFizyka 1: MechanikaPrzygotowanie do egzaminu FE MechanicalZadania do ćwiczeń z AP Physics 1

Więcej tematów: Mechanika

Reakcje podpór belekRamy i maszynyNaprężenie i odkształcenie osioweSkręcanie wałówKoło Mohra i transformacja naprężeńRzut ukośnyRuch obrotowy bryły sztywnejDrgania mechaniczneSilniki cieplne i chłodziarkiObiegi silników cieplnych gazowychCiągłość i BernoulliTarcie w rurach i straty wysokościPompy i moc pompPrzewodzenie ciepłaKoła i przekładnie zębate

Karta pracy do druku

Praca i energia: karta pracy z odpowiedziami
Ćwicz za darmo: Praca i energiaĆwicz teraz: Praca i energia5 darmowych zadań dziennie. Bez karty.