Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz odkształcenie osiowe ε w pręcie (aluminium), w mikroodkształceniach (µε = 10⁻⁶).

P = 105 kNd = 25 mmL = 2 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz największe naprężenie normalne σ_max w pręcie.

P = 70 kNodcinek 1: Ø30 mm, 0,5 m, aluminium (E = 70 GPa)odcinek 2: Ø16 mm, 0,5 m, aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Skręcanie wałówŚredni

Wał drążony ma przenosić moment skręcający 400 N·m. Jego średnica wewnętrzna ma wynosić 0,5 średnicy zewnętrznej, a naprężenie styczne nie może przekroczyć 50 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę zewnętrzną d_o.

T = 400 N·md_i/d_o = 0,5τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał ma przenosić 75 kW przy 300 obr/min bez przekroczenia naprężenia stycznego 80 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę d, która wystarczy.

P = 75 kWN = 300 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi dwie siły skupione. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 5 mP₁ = 70 kN w 1,5 mP₂ = 80 kN w 2 m

M_max = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka opiera się na podporze nieprzesuwnej w A i przesuwnej w B i wystaje poza B o 2,5 m aż do swobodnego końca C. Na całej długości A–C działa obciążenie równomiernie rozłożone w. Wyznacz odległość x_c od A do miejsca zerowego momentu między podporami (w którym moment zginający zmienia znak).

L = 10,5 mw = 5 kN/m od 0 do 10,5 mpodpory w x = 0 i x = 8 m

x_c = m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Ceownik leży otwartą stroną do góry: płaskownik podstawy o szerokości 220 mm z dwoma pionowymi ramionami, o całkowitej wysokości 160 mm. Podstawa i ramiona mają grubość 10 mm. Wyznacz jego moment bezwładności I_x względem poziomej osi x przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 220 mmh = 160 mmt = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Płyta 200 mm × 150 mm ma prostokątne wycięcie o szerokości 60 mm i wysokości 50 mm, umieszczone na pionowej osi symetrii, ze środkiem 90 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 200 mmh = 150 mmwycięcie: 60 × 50 mmśrodek otworu: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 50 MPa, σᵧ = 90 MPa i τₓᵧ = 60 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz kąt θ_p od osi x do kierunku największego naprężenia głównego, z przedziału od −90° do 90°.

σ_x = 50 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_p = °

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 130 MPa, σᵧ = −70 MPa i τₓᵧ = −50 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie normalne σ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 30° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem osi x.

σ_x = 130 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz kąt obrotu θ_A belki na podporze A, w radianach.

w = 15 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 160 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi siłę skupioną P w odległości b = 1,5 m od podpory B. Wyznacz maksymalne ugięcie δ_max belki.

P = 15 kNb = 1,5 mL = 6 mE = 200 GPa (stal)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (stal)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest przegubowo podparty na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: ε = 3056 µε

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 105·1000/490,9 = 213,9 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 213,9/70000 = 0,003056 = 3056 µε

Odpowiedź

ε = 3056 µε

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: σ_max = 348,2 MPa

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 99,03 MPa

σ₂ = 348,2 MPa

Największe naprężenie

Cieńszy odcinek ma mniejsze pole, więc przenosi większe naprężenie.

σ_max = 348,2 MPa

Odpowiedź

σ_max = 348,2 MPa

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d_o = 35,16 mm

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Średnica zewnętrzna z naprężenia dopuszczalnego

T = 400 N·m = 400000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·400000/(π·50·0,9375)) = 35,16 mm

d_i = 0,5·35,16 = 17,58 mm

Odpowiedź

d_o = 35,16 mm

Wał pełny wymagałby d = 34,41 mm; drążony jest nieco większy, ale znacznie lżejszy.

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d = 53,37 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 75000/31,42 = 2387 N·m

Średnica z naprężenia dopuszczalnego

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·2,387 × 10⁶/(π·80)) = 53,37 mm

Odpowiedź

d = 53,37 mm

W praktyce zaokrągla się w górę do najbliższego wymiaru znormalizowanego.

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 159 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 70·1,5 + 80·2

R_B = 265/5 = 53 kN

ΣF_y = 0: R_A = 150 − 53 = 97 kN

Moment pod każdą siłą

Zostaw część na lewo od każdej siły.

pod P₁: M = R_A·1,5 = 97·1,5 = 145,5 kN·m

pod P₂: M = R_B·3 = 53·3 = 159 kN·m

Największa wartość

M_max = 159 kN·m (pod P₂)

Odpowiedź

M_max = 159 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: x_c = 7,219 m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki, łącznie z obciążeniem na wsporniku.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 5·10,5 = 52,5 kN, przyłożona w x̄ = 5,25 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 5·10,5·5,25

R_B = 275,6/8 = 34,45 kN

ΣF_y = 0: R_A = 52,5 − 34,45 = 18,05 kN

Zerowy moment

Między podporami M(x) = R_A·x − w·x²/2. Poza x = 0 jest równy zeru w x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·18,05/5 = 7,219 m

Odpowiedź

x_c = 7,219 m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 13,77 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na prostokąty

Przyjmij podstawę na pełnej szerokości i dwa ramiona nad nią (wysokość h − t), aby nic nie liczyć dwa razy.

baza: A₁ = 220·10 = 2200 mm², y₁ = 5 mm

dwa ramiona: A₂ = 2·10·150 = 3000 mm², y₂ = 10 + 150/2 = 85 mm

Środek ciężkości

ȳ = (2200·5 + 3000·85)/5200 = 51,15 mm

Twierdzenie Steinera

baza: 220·10³/12 + 2200·(5 − 51,15)² = 4,705 × 10⁶ mm⁴

dwa ramiona: 2·10·150³/12 + 3000·(85 − 51,15)² = 9,062 × 10⁶ mm⁴

I_x = 4,705 × 10⁶ + 9,062 × 10⁶

I_x = 1,377 × 10⁷ mm⁴ = 13,77 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 13,77 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 54,88 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (30000·75 − 3000·90)/(30000 − 3000) = 73,33 mm

Pełna płyta względem ȳ

200·150³/12 + 30000·1,667² = 56,33 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

60·50³/12 + 3000·16,67² = 1,458 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 54,88 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 54,88 × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: θ_p = 54,22 °

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Kąt na kole

Na kole Mohra punkt x leży pod kątem 2θp od osi σ; ćwiartka wynika ze znaków σₓ − σᵧ i τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·60, 50 − 90) = 108,4°

Kąt na elemencie

θ_p = 54,22°

Odpowiedź

θ_p = 54,22°

Kąty dodatnie mierzy się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_θ = 36,7 MPa

Równanie transformacji

σ_θ = 30 + 100·0,5 + −50·0,866 = 36,7 MPa

Odpowiedź

σ_θ = 36,7 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: θ_A = 0,04439 rad

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja). Kąt obrotu θ = dv/dx to pierwsza całka z M/(EI); w spójnych jednostkach wychodzi w radianach.

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Kąt obrotu końca

θ_A = wL³/(24EI) = 15·5000³/(24·1,76 × 10¹²) = 0,04439 rad

Odpowiedź

θ_A = 0,04439 rad

To 2,543°.

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 1,474 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 15000 N, b = 1500 mm, L = 6000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Położenie maksimum

Przyrównanie kąta obrotu na dłuższym odcinku do zera daje położenie.

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 1500²)/3) = 3354 mm

Maksymalne ugięcie

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 1,474 mm

Odpowiedź

δ_max = 1,474 mm

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 80,57 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/2800² = 80568 N = 80,57 kN

Odpowiedź

P_cr = 80,57 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 47,98 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/12,5 = 120

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/120² = 47,98 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 47,98 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials