Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz odkształcenie osiowe ε w pręcie (mosiądz), w mikroodkształceniach (µε = 10⁻⁶).

P = 95 kNd = 12 mmL = 1 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz całkowite wydłużenie δ.

P = 15 kNodcinek 1: Ø25 mm, 1 m, miedź (E = 117 GPa)odcinek 2: Ø20 mm, 1,5 m, stal (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Skręcanie wałówŚredni

W próbie skręcania pełna próbka o średnicy 12 mm jest skręcana momentem 30 N·m. Końce odcinka pomiarowego o długości 200 mm obracają się względem siebie o 2,11° (materiał jest jeszcze w zakresie sprężystym). Wyznacz moduł sprężystości postaciowej G materiału.

T = 30 N·md = 12 mmL = 200 mmφ = 2,11°

G = GPa

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał (mosiądz) o średnicy 25 mm jest utwierdzony w sztywnych ścianach na obu końcach A i B. W C, w odległości 1,5 m od A i 2 m od B, przyłożono moment skręcający 500 N·m. Wyznacz maksymalne naprężenie styczne τ_max w wale.

d = 25 mmT₀ = 500 N·ma = 1,5 mb = 2 m

τ_max = MPa

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz siłę tnącą V_x w przekroju x = 3 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5 mw = 6 kN/m od 0 do 5 mx = 3 m

V_x = kN

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości oraz siłę skupioną P. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 4 mP = 50 kN w 2 mw = 4 kN/m od 0 do 4 m

M_max = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Płyta 100 mm × 240 mm ma okrągły otwór o średnicy 30 mm na pionowej osi symetrii, ze środkiem 168 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 100 mmh = 240 mmd = 30 mmśrodek otworu: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Płyta 150 mm × 150 mm ma prostokątne wycięcie o szerokości 80 mm i wysokości 40 mm, umieszczone na pionowej osi symetrii, ze środkiem 45 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 150 mmh = 150 mmwycięcie: 80 × 40 mmśrodek otworu: y = 45 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = 70 MPa i σᵧ = −40 MPa. Jak duże może być naprężenie styczne τ_xy (wartość bezwzględna), zanim największe naprężenie główne osiągnie 115 MPa?

σ_x = 70 MPaσ_y = −40 MPaσ₁ = 115 MPa

τ_xy = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

Punkt cienkiej płyty jest w płaskim stanie naprężenia: σₓ = 100 MPa, σᵧ = −70 MPa i τₓᵧ = −50 MPa (σ_z = 0). Wyznacz naprężenie zastępcze σ_vM według hipotezy Hubera-Misesa.

σ_x = 100 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −50 MPa

σ_vM = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz maksymalne ugięcie δ_max w środku rozpiętości.

w = 8 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (stal)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w i siłę skupioną P w środku rozpiętości. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie w środku δ_max.

P = 4 kNw = 15 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (stal)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Ma przenieść 25 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 3 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 25 kNn = 3L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: ε = 8400 µε

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 95·1000/113,1 = 840 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for mosiądz = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 840/100000 = 0,0084 = 8400 µε

Odpowiedź

ε = 8400 µε

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 0,6193 mm

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 30,56 MPa

σ₂ = 47,75 MPa

Dodaj wydłużenia odcinków

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 30,56·1000/117000 = 0,2612 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 47,75·1500/200000 = 0,3581 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,6193 mm

Odpowiedź

δ = 0,6193 mm

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: G = 80,03 GPa

Biegunowy moment bezwładności i kąt

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 2,11·π/180 = 0,03683 rad

Moduł sprężystości poprzecznej

T = 30 N·m = 30000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 30000·200/(2036·0,03683) = 80033 MPa

G = 80,03 GPa

Odpowiedź

G = 80,03 GPa

Porównaj: stal ≈ 80 GPa, mosiądz ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: τ_max = 93,13 MPa

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω. Gdy oba końce są utwierdzone, sama statyka daje tylko T_A + T_B = T₀; drugim równaniem jest warunek zgodności (równy kąt skręcenia obu części w obciążonym przekroju).

Równowaga i zgodność

T_A + T_B = 500

T_A·a = T_B·b

T_A = 500·2/3,5 = 285,7 N·m

T_B = 500·1,5/3,5 = 214,3 N·m

Maksymalne naprężenie styczne

Decyduje większy z dwóch momentów (ta sama średnica).

τ_max = 16·285714/(π·25³) = 93,13 MPa

Odpowiedź

τ_max = 93,13 MPa

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: V_x = −3 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·5·2,5

R_B = 75/5 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Przetnij w x = 3 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

V = R_A − (wszystkie obciążenia w dół na lewo od przekroju)

V_x = 15 − 6·3 = −3 kN

Odpowiedź

V_x = −3 kN

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 58 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, przyłożona w x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 50·2 + 4·4·2

R_B = 132/4 = 33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 66 − 33 = 33 kN

Gdzie V = 0?

V(2⁻) = R_A − w·2 = 25 kN

V(2⁺) = 25 − 50 = −25 kN

Siła tnąca zmienia znak w obrębie obciążenia, więc maksimum leży pod obciążeniem.

Moment maksymalny

M_max = R_A·2 − w·2²/2 = 33·2 − 4·2²/2 = 58 kN·m

Odpowiedź

M_max = 58 kN·m

Występuje w x = 2 m od A.

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 113,5 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (24000·120 − 706,9·168)/(24000 − 706,9) = 118,5 mm

Pełna płyta względem ȳ

100·240³/12 + 24000·1,457² = 115,3 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·49,46² = 1,769 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 113,5 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 113,5 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 38,4 × 10⁶ mm⁴

Środek ciężkości

ȳ = (22500·75 − 3200·45)/(22500 − 3200) = 79,97 mm

Pełna płyta względem ȳ

150·150³/12 + 22500·−4,974² = 42,74 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

80·40³/12 + 3200·−34,97² = 4,341 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 38,4 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 38,4 × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_xy = 83,52 MPa

Wymagany promień

C = (70 + (−40))/2 = 15 MPa

R = σ₁ − C = 115 − 15 = 100 MPa

Naprężenie styczne

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(100² − 55²) = 83,52 MPa

Odpowiedź

τ_xy = 83,52 MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_vM = 171,5 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R. Hipotezy wytężeniowe: według hipotezy Hubera-Misesa uplastycznienie następuje, gdy σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) osiąga σ_Y; według hipotezy Tresci, gdy bezwzględne maksymalne naprężenie styczne osiąga σ_Y/2.

Naprężenia główne

C = 15 MPa, R = 98,62 MPa

σ₁ = 113,6 MPa, σ₂ = −83,62 MPa, σ₃ = 0

Huber-Mises

σ_vM = √(113,6² − 113,6·(−83,62) + (−83,62)²) = 171,5 MPa

Odpowiedź

σ_vM = 171,5 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 8,036 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 6000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Ugięcie

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·6000⁴/(384·1,68 × 10¹³) = 8,036 mm

Odpowiedź

δ_max = 8,036 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 41,92 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 4000 N, w = 15 N/mm, L = 4000 mm, EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Każde obciążenie osobno

δ_P = PL³/(48EI) = 4000·4000³/(48·1,32 × 10¹²) = 4,04 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·4000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 37,88 mm

Dodaj

δ_max = 4,04 + 37,88 = 41,92 mm

Odpowiedź

δ_max = 41,92 mm

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 12,85 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 1·4000 = 4000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/4000² = 12851 N = 12,85 kN

Odpowiedź

P_cr = 12,85 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 66,79 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 3·25000 = 75000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 66,79 mm

Odpowiedź

d = 66,79 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 179,7, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials