Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz odkształcenie osiowe ε w pręcie (miedź), w mikroodkształceniach (µε = 10⁻⁶).

P = 100 kNd = 16 mmL = 1 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz największe naprężenie normalne σ_max w pręcie.

P = 60 kNodcinek 1: Ø25 mm, 1,5 m, stal (E = 200 GPa)odcinek 2: Ø20 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (mosiądz) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 100 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Wał drążony przenosi 30 kW przy 3000 obr/min. Wyznacz maksymalne naprężenie styczne τ_max w wale.

P = 30 kWN = 3000 rpmd_o = 40 mmd_i = 32 mm

τ_max = MPa

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wspornik jest utwierdzony w A. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości oraz siłę skupioną P w odległości 2 m od A. Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 1,5 m od utwierdzenia A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 2,5 mP = 15 kN w 2 mw = 5 kN/m od 0 do 2,5 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 3 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 8 mP = 45 kN w 6 mw = 10 kN/m od 0 do 8 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Płyta 200 mm × 200 mm ma okrągły otwór o średnicy 50 mm na pionowej osi symetrii, ze środkiem 80 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 200 mmh = 200 mmd = 50 mmśrodek otworu: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Płyta 150 mm × 240 mm ma prostokątne wycięcie o szerokości 50 mm i wysokości 40 mm, umieszczone na pionowej osi symetrii, ze środkiem 168 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 150 mmh = 240 mmwycięcie: 50 × 40 mmśrodek otworu: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = 0 MPa, σᵧ = 20 MPa i τₓᵧ = 40 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz kąt θ_s z przedziału od −90° do 90°, mierzony od osi x do normalnej płaszczyzny, na której naprężenie styczne osiąga maksymalną wartość dodatnią +R (naprężenie styczne dodatnie w tym samym sensie co τₓᵧ).

σ_x = 0 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_s = °

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 150 MPa, σᵧ = −80 MPa i τₓᵧ = −50 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie normalne σ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 45° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem osi x.

σ_x = 150 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi siłę skupioną P w odległości a = 1,5 m od podpory A. Wyznacz ugięcie δ_P pod siłą.

P = 17 kNa = 1,5 mL = 8 mE = 200 GPa (stal)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi siłę skupioną P w odległości b = 1 m od podpory B. Wyznacz maksymalne ugięcie δ_max belki.

P = 26 kNb = 1 mL = 5 mE = 200 GPa (stal)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (stal)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony na obu końcach. Ma przenieść 20 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2,5 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 20 kNn = 2,5L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: ε = 4251 µε

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 100·1000/201,1 = 497,4 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for miedź = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 497,4/117000 = 0,004251 = 4251 µε

Odpowiedź

ε = 4251 µε

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: σ_max = 191 MPa

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 122,2 MPa

σ₂ = 191 MPa

Największe naprężenie

Cieńszy odcinek ma mniejsze pole, więc przenosi większe naprężenie.

σ_max = 191 MPa

Odpowiedź

σ_max = 191 MPa

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 0,8768 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1500/(39000·251327) = 0,0153 rad

φ = 0,0153·180/π = 0,8768°

Odpowiedź

φ = 0,8768°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: τ_max = 12,87 MPa

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 30000/314,2 = 95,49 N·m

Biegunowy moment bezwładności

J = π(40⁴ − 32⁴)/32 = 148384 mm⁴

Maksymalne naprężenie styczne

τ_max = T·(d_o/2)/J = 95493·20/148384 = 12,87 MPa

Odpowiedź

τ_max = 12,87 MPa

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = −10 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Zostaw część ze swobodnym końcem

P: −15·0,5 = −7,5 kN·m

w: −5·1²/2 = −2,5 kN·m

M_x = −7,5 − 2,5 = −10 kN·m

Odpowiedź

M_x = −10 kN·m

Wartość ujemna oznacza moment ujemny: rozciągane są górne włókna.

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 108,8 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, przyłożona w x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 45·6 + 10·8·4

R_B = 590/8 = 73,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 125 − 73,75 = 51,25 kN

Przetnij w x = 3 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 51,25·3 − 10·3·1,5 = 108,8 kN·m

Odpowiedź

M_x = 108,8 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 132,2 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (40000·100 − 1963·80)/(40000 − 1963) = 101 mm

Pełna płyta względem ȳ

200·200³/12 + 40000·−1,032² = 133,4 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−21,03² = 1,175 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 132,2 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 132,2 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 167,7 × 10⁶ mm⁴

Środek ciężkości

ȳ = (36000·120 − 2000·168)/(36000 − 2000) = 117,2 mm

Pełna płyta względem ȳ

150·240³/12 + 36000·2,824² = 173,1 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

50·40³/12 + 2000·50,82² = 5,433 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 167,7 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 167,7 × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: θ_s = 7,018 °

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Kąt na kole

Na kole Mohra najwyższy punkt (+R) jest odległy o 90° od punktu głównego σ₁; na elemencie odpowiada to 45°.

cos 2θ_s = 40/41,23 = 0,9701, sin 2θ_s = −(−10)/41,23 = 0,2425

2θ_s = atan2(10, 40) = 14,04°

Kąt na elemencie

θ_s = 7,018°

sprawdzenie: θ_s − θ_p = 7,018 − 52,02 = −45°

Odpowiedź

θ_s = 7,018°

Kąty dodatnie mierzy się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_θ = −15 MPa

Równanie transformacji

σ_θ = 35 + 115·0 + −50·1 = −15 MPa

Odpowiedź

σ_θ = −15 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_P = 4,008 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 17000 N, a = 1500 mm, b = 6500 mm, L = 8000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Ugięcie pod siłą

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 17000·1500²·6500²/(3·1,68 × 10¹³·8000) = 4,008 mm

Odpowiedź

δ_P = 4,008 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 8,526 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 26000 N, b = 1000 mm, L = 5000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Położenie maksimum

Przyrównanie kąta obrotu na dłuższym odcinku do zera daje położenie.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1000²)/3) = 2828 mm

Maksymalne ugięcie

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 8,526 mm

Odpowiedź

δ_max = 8,526 mm

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 6,056 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 2·5000 = 10000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/10000² = 6056 N = 6,056 kN

Odpowiedź

P_cr = 6,056 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 55,1 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 2,5·20000 = 50000 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 55,1 mm

Odpowiedź

d = 55,1 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 181,5, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials