Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz wydłużenie δ pręta (stal) pod obciążeniem osiowym.

P = 15 kNd = 10 mmL = 3 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Odcinek (materiał: stal, średnica 30 mm, długość 500 mm, E = 200 GPa) i odcinek (materiał: aluminium, średnica 40 mm, długość 500 mm, E = 70 GPa) są połączone końcami i zamocowane między dwiema sztywnymi ścianami. W miejscu połączenia działa obciążenie osiowe 40 kN skierowane ku odcinkowi 2. Wyznacz wartość naprężenia σ₂ w odcinku 2.

odcinek 1: stal, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPaodcinek 2: aluminium, Ø40 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (mosiądz) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 250 N·md = 40 mmL = 1,2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Wał drążony przenosi 5 kW przy 300 obr/min. Wyznacz maksymalne naprężenie styczne τ_max w wale.

P = 5 kWN = 300 rpmd_o = 60 mmd_i = 36 mm

τ_max = MPa

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

25 kN @ 6 m20 kN @ 10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

55 kN @ 6 m20 kN @ 3 m12 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Symetryczny dwuteownik ma półki o szerokości 150 mm i grubości 16 mm, wysokość całkowitą 380 mm i środnik o grubości 10 mm. Wyznacz jego sprężysty wskaźnik wytrzymałości S_x przy zginaniu względem poziomej osi centralnej x.

B = 150 mmH = 380 mmt_f = 16 mmt_w = 10 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 20 kN·m. Wyznacz wartość naprężenia od zginania σ_góra na górnej krawędzi.

b_f = 200 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 140 mmM = 20 kN·m

σ_góra = MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 130 MPa, σᵧ = 90 MPa i τₓᵧ = 60 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz maksymalne naprężenie styczne w płaszczyźnie τ_max.

σ_x = 130 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 60 MPa

τ_max = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 30 MPa, σᵧ = −60 MPa i τₓᵧ = −20 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie normalne σ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 35° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem osi x.

σ_x = 30 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz maksymalne ugięcie δ_max w środku rozpiętości.

w = 10 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka jest utwierdzona w A i swobodnie podparta w B. Przenosi siłę skupioną P w środku rozpiętości. EI jest stałe. Wyznacz wartość momentu zginającego M_A w utwierdzeniu.

L = 5 mP = 45 kN w 2,5 m

M_A = kN·m

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (stal)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 2,865 mm

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 15·1000/78,54 = 191 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for stal = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 191/200000 = 0,0009549 = 954,9 µε

Wydłużenie

δ = ε·L = 0,0009549·3000 mm = 2,865 mm

Odpowiedź

δ = 2,865 mm

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: σ₂ = 12,21 MPa

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Sztywności

k₁ = 200000·706,9/500 = 282743 N/mm

k₂ = 70000·1257/500 = 175929 N/mm

Udział odcinka 2

F₂ = 40000·175929/458673 = 15342 N

Naprężenie

σ₂ = 15342/1257 = 12,21 MPa (ściskanie)

Odpowiedź

σ₂ = 12,21 MPa

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 1,754 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1200/(39000·251327) = 0,03061 rad

φ = 0,03061·180/π = 1,754°

Odpowiedź

φ = 1,754°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: τ_max = 4,311 MPa

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 5000/31,42 = 159,2 N·m

Biegunowy moment bezwładności

J = π(60⁴ − 36⁴)/32 = 1,107 × 10⁶ mm⁴

Maksymalne naprężenie styczne

τ_max = T·(d_o/2)/J = 159155·30/1,107 × 10⁶ = 4,311 MPa

Odpowiedź

τ_max = 4,311 MPa

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: D (x = 6 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 15,83 kN, R₂ = 29,17 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 31,67, M_C = 63,33, M_D = 95 kN·m, M_E = 76,67, M_F = 58,33, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt D: M_D = 95 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: E (x = 4 m)

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 1,5 kN, R₂ = 121,5 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = −4,5, M_C = −21, M_D = −49,5, M_E = −110 kN·m, M_F = −55, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt E: M_E = −110 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: S_x = 1022 × 10³ mm³

Moment bezwładności: dla prostokąta względem własnej osi centralnej I = bh³/12, a względem podstawy bh³/3 (twierdzenie Steinera I = I_c + A·d²). Otwór uwzględnia się, odejmując jego I, o ile obie części odnoszą się do tej samej osi. Sprężysty wskaźnik wytrzymałości to S = I/c, gdzie c jest odległością do skrajnych włókien.

Prostokąt zewnętrzny minus dwa boczne wycięcia

Oba wycięcia razem mają szerokość (B − t_w) i wysokość h_w = H − 2t_f oraz wspólną oś x.

h_w = 380 − 2·16 = 348 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (150·380³ − 140·348³)/12

I_x = 1,942 × 10⁸ mm⁴

Wskaźnik wytrzymałości przekroju

c = H/2 = 190 mm

S_x = I/c = 1,942 × 10⁸/190

S_x = 1,022 × 10⁶ mm³ = 1022 × 10³ mm³

Odpowiedź

S_x = 1022 × 10³ mm³

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_góra = 52,64 MPa

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 200·25 = 5000 mm², y_f = 140 + 25/2 = 152,5 mm

środnik: A_w = 16·140 = 2240 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5000·152,5 + 2240·70)/7240 = 127 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 200·25³/12 + 5000·(152,5 − 127)² = 3,518 × 10⁶ mm⁴

środnik: 16·140³/12 + 2240·(70 − 127)² = 1,093 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,518 × 10⁶ + 1,093 × 10⁷ = 1,445 × 10⁷ mm⁴

Naprężenie od zginania

Górna krawędź jest w odległości h − ȳ od osi.

y = 165 − 127 = 38,02 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·38,02/1,445 × 10⁷ = 52,64 MPa

Odpowiedź

σ_góra = 52,64 MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_max = 63,25 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Promień koła Mohra

τ_max = R = √(((130 − 90)/2)² + 60²) = 63,25 MPa

Odpowiedź

τ_max = 63,25 MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_θ = −18,4 MPa

Równanie transformacji

σ_θ = −15 + 45·0,342 + −20·0,9397 = −18,4 MPa

Odpowiedź

σ_θ = −18,4 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 1,578 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Ugięcie

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·2000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 1,578 mm

Odpowiedź

δ_max = 1,578 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: M_A = 42,19 kN·m

Usuń podporę przesuwną

Bez podpory przesuwnej belka jest wspornikiem. Jej swobodny koniec ugiąłby się pod obciążeniem.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Warunek zgodności przemieszczeń na podporze

Sama reakcja podpory R_B podnosi swobodny koniec o R_BL³/(3EI). Podpora utrzymuje B przy zerowym ugięciu, więc oba ugięcia muszą się znosić. EI się skraca.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·45/16 = 14,06 kN

Moment w utwierdzeniu

Momenty obciążeń i reakcji podpory względem A.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 112,5 − 70,31 = 42,19 kN·m

Odpowiedź

M_A = 42,19 kN·m

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 3,876 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 2·4000 = 8000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/8000² = 3876 N = 3,876 kN

Odpowiedź

P_cr = 3,876 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 69,09 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/20 = 100

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 69,09 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials