Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz odkształcenie osiowe ε w pręcie (stal), w mikroodkształceniach (µε = 10⁻⁶).

P = 75 kNd = 10 mmL = 0,5 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz największe naprężenie normalne σ_max w pręcie.

P = 10 kNodcinek 1: Ø40 mm, 0,5 m, aluminium (E = 70 GPa)odcinek 2: Ø16 mm, 0,5 m, stal (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (aluminium) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 400 N·md = 30 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał ma przenosić 5 kW przy 3000 obr/min bez przekroczenia naprężenia stycznego 75 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę d, która wystarczy.

P = 5 kWN = 3000 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 3,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 4 mw = 2 kN/m od 0 do 4 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 3,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mP = 55 kN w 1,5 mw = 2 kN/m od 0 do 6 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Prostokątny przekrój skrzynkowy ma szerokość zewnętrzną B = 300 mm, wysokość zewnętrzną H = 300 mm i stałą grubość ścianek t = 14 mm. Wyznacz promień bezwładności r przekroju względem poziomej osi centralnej.

B = 300 mmH = 300 mmt = 14 mm

r = mm

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Symetryczny dwuteownik ma półki o szerokości 240 mm i grubości 14 mm, wysokość całkowitą 400 mm i środnik o grubości 12 mm. Przenosi moment zginający 50 kN·m względem osi x. Wyznacz wartość naprężenia od zginania σ_j na styku środnika z górną półką.

B = 240 mmH = 400 mmt_f = 14 mmt_w = 12 mmM = 50 kN·m

σ_j = MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = 110 MPa i σᵧ = 20 MPa. Jak duże może być naprężenie styczne τ_xy (wartość bezwzględna), zanim największe naprężenie główne osiągnie 160 MPa?

σ_x = 110 MPaσ_y = 20 MPaσ₁ = 160 MPa

τ_xy = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

Punkt cienkiej płyty jest w płaskim stanie naprężenia: σₓ = 110 MPa, σᵧ = 110 MPa i τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Granica plastyczności materiału wynosi 350 MPa. Wyznacz współczynnik bezpieczeństwa n względem uplastycznienia według hipotezy Tresci (maksymalnego naprężenia stycznego).

σ_x = 110 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz maksymalne ugięcie δ_max w środku rozpiętości.

w = 5 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w i siłę skupioną P w środku rozpiętości. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie w środku δ_max.

P = 26 kNw = 15 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (stal)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (stal)d = 20 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: ε = 4775 µε

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 75·1000/78,54 = 954,9 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for stal = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 954,9/200000 = 0,004775 = 4775 µε

Odpowiedź

ε = 4775 µε

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: σ_max = 49,74 MPa

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 7,958 MPa

σ₂ = 49,74 MPa

Największe naprężenie

Cieńszy odcinek ma mniejsze pole, więc przenosi większe naprężenie.

σ_max = 49,74 MPa

Odpowiedź

σ_max = 49,74 MPa

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 8,868 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 400·1000·800/(26000·79522) = 0,1548 rad

φ = 0,1548·180/π = 8,868°

Odpowiedź

φ = 8,868°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d = 10,26 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 5000/314,2 = 15,92 N·m

Średnica z naprężenia dopuszczalnego

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·15915/(π·75)) = 10,26 mm

Odpowiedź

d = 10,26 mm

W praktyce zaokrągla się w górę do najbliższego wymiaru znormalizowanego.

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 1,75 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, przyłożona w x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 2·4·2

R_B = 16/4 = 4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 8 − 4 = 4 kN

Przetnij w x = 3,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 4·3,5 − 2·3,5·1,75 = 1,75 kN·m

Odpowiedź

M_x = 1,75 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 43,13 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·1,5 + 2·6·3

R_B = 118,5/6 = 19,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 67 − 19,75 = 47,25 kN

Przetnij w x = 3,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 47,25·3,5 − 55·(3,5 − 1,5) − 2·3,5·1,75 = 43,13 kN·m

Odpowiedź

M_x = 43,13 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: r = 116,9 mm

Moment bezwładności: dla prostokąta względem własnej osi centralnej I = bh³/12, a względem podstawy bh³/3 (twierdzenie Steinera I = I_c + A·d²). Otwór uwzględnia się, odejmując jego I, o ile obie części odnoszą się do tej samej osi. Sprężysty wskaźnik wytrzymałości to S = I/c, gdzie c jest odległością do skrajnych włókien. Promień bezwładności r = √(I/A) to odległość, w której całe pole dawałoby ten sam moment I; stosuje się go przy wyboczeniu słupów.

Pole netto i moment bezwładności netto

b = 272 mm, h = 272 mm

A = BH − bh = 300·300 − 272·272 = 16016 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 2,189 × 10⁸ mm⁴

Promień bezwładności

r = √(I/A) = √(2,189 × 10⁸/16016) = 116,9 mm

Odpowiedź

r = 116,9 mm

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_j = 30,8 MPa

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Prostokąt zewnętrzny minus dwa boczne wycięcia

Oba wycięcia razem mają szerokość (B − t_w) i wysokość h_w = H − 2t_f oraz wspólną oś x.

h_w = 400 − 2·14 = 372 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (240·400³ − 228·372³)/12

I_x = 3,019 × 10⁸ mm⁴

Naprężenie od zginania

y = 200 − 14 = 186 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·186/3,019 × 10⁸ = 30,8 MPa

Odpowiedź

σ_j = 30,8 MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_xy = 83,67 MPa

Wymagany promień

C = (110 + 20)/2 = 65 MPa

R = σ₁ − C = 160 − 65 = 95 MPa

Naprężenie styczne

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(95² − 45²) = 83,67 MPa

Odpowiedź

τ_xy = 83,67 MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: n = 2,5

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R. Hipotezy wytężeniowe: według hipotezy Hubera-Misesa uplastycznienie następuje, gdy σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) osiąga σ_Y; według hipotezy Tresci, gdy bezwzględne maksymalne naprężenie styczne osiąga σ_Y/2.

Naprężenia główne

C = 110 MPa, R = 30 MPa

σ₁ = 140 MPa, σ₂ = 80 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 140 MPa

n = 350/140 = 2,5

Odpowiedź

n = 2,5

n > 1 oznacza, że punkt się nie uplastycznia; hipoteza Tresci jest nieco bardziej zachowawcza niż hipoteza Hubera-Misesa.

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 19,27 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Ugięcie

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2500⁴/(384·1,32 × 10¹¹) = 19,27 mm

Odpowiedź

δ_max = 19,27 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 12,69 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 26000 N, w = 15 N/mm, L = 3000 mm, EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Każde obciążenie osobno

δ_P = PL³/(48EI) = 26000·3000³/(48·2,4 × 10¹²) = 6,094 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·3000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 6,592 mm

Dodaj

δ_max = 6,094 + 6,592 = 12,69 mm

Odpowiedź

δ_max = 12,69 mm

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 2,481 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 1·2500 = 2500 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/2500² = 2481 N = 2,481 kN

Odpowiedź

P_cr = 2,481 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 7,676 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·3000 = 6000 mm

KL/r = 6000/20 = 300

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/300² = 7,676 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 7,676 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials