Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz odkształcenie osiowe ε w pręcie (mosiądz), w mikroodkształceniach (µε = 10⁻⁶).

P = 70 kNd = 30 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz największe naprężenie normalne σ_max w pręcie.

P = 60 kNodcinek 1: Ø35 mm, 0,5 m, aluminium (E = 70 GPa)odcinek 2: Ø12 mm, 2 m, mosiądz (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Skręcanie wałówŚredni

Drążony wał (aluminium) (średnica zewnętrzna 40 mm, wewnętrzna 20 mm, długość 0,5 m) jest utwierdzony na jednym końcu i skręcany momentem 500 N·m na drugim. Wyznacz kąt skręcenia φ w stopniach.

T = 500 N·md_o = 40 mmd_i = 20 mmL = 0,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Wał drążony ma przenosić moc 15 kW przy 300 rpm. Jego średnica wewnętrzna ma wynosić 0,8 średnicy zewnętrznej, a naprężenie styczne nie może przekroczyć 60 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę zewnętrzną d_o.

P = 15 kWN = 300 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wspornik jest utwierdzony w A. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości oraz siłę skupioną P w odległości 4 m od A. Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 0,5 m od utwierdzenia A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 4 mP = 25 kN w 4 mw = 5 kN/m od 0 do 4 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka opiera się na podporze nieprzesuwnej w A i przesuwnej w B i wystaje poza B o 2 m aż do swobodnego końca C. Na całej długości A–C działa obciążenie równomiernie rozłożone w. Wyznacz odległość x_c od A do miejsca zerowego momentu między podporami (w którym moment zginający zmienia znak).

L = 6 mw = 6 kN/m od 0 do 6 mpodpory w x = 0 i x = 4 m

x_c = m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Płyta 120 mm × 150 mm ma okrągły otwór o średnicy 50 mm na pionowej osi symetrii, ze środkiem 45 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 120 mmh = 150 mmd = 50 mmśrodek otworu: y = 45 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 50 kN·m. Wyznacz naprężenie od zginania σ_dół na dolnej krawędzi.

b_f = 260 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 180 mmM = 50 kN·m

σ_dół = MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = 20 MPa i σᵧ = 80 MPa. Jak duże może być naprężenie styczne τ_xy (wartość bezwzględna), zanim największe naprężenie główne osiągnie 105 MPa?

σ_x = 20 MPaσ_y = 80 MPaσ₁ = 105 MPa

τ_xy = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

Pełny wał o średnicy 40 mm przenosi moment zginający 750 N·m wraz z momentem skręcającym 750 N·m. Na górnej powierzchni, gdzie naprężenie od zginania jest rozciągające i największe, wyznacz największe naprężenie główne σ₁.

d = 40 mmM = 750 N·mT = 750 N·m

σ₁ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi siłę skupioną P w odległości a = 1 m od podpory A. Wyznacz ugięcie δ_P pod siłą.

P = 6 kNa = 1 mL = 4 mE = 200 GPa (stal)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności I_req, który spełnia ten warunek.

w = 2 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (stal)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest przegubowo podparty na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: ε = 990,3 µε

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 70·1000/706,9 = 99,03 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for mosiądz = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 99,03/100000 = 0,0009903 = 990,3 µε

Odpowiedź

ε = 990,3 µε

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: σ_max = 530,5 MPa

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 62,36 MPa

σ₂ = 530,5 MPa

Największe naprężenie

Cieńszy odcinek ma mniejsze pole, więc przenosi większe naprężenie.

σ_max = 530,5 MPa

Odpowiedź

σ_max = 530,5 MPa

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 2,338 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴

Kąt skręcenia

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 500000·500/(26000·235619) = 0,04081 rad

φ = 0,04081·180/π = 2,338°

Odpowiedź

φ = 2,338°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d_o = 40,95 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 15000/31,42 = 477,5 N·m

Średnica zewnętrzna z naprężenia dopuszczalnego

T = 477,5 N·m = 477465 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·477465/(π·60·0,5904)) = 40,95 mm

d_i = 0,8·40,95 = 32,76 mm

Odpowiedź

d_o = 40,95 mm

Wał pełny wymagałby d = 34,35 mm; drążony jest nieco większy, ale znacznie lżejszy.

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = −118,1 kN·m

Zostaw część ze swobodnym końcem

P: −25·3,5 = −87,5 kN·m

w: −5·3,5²/2 = −30,63 kN·m

M_x = −87,5 − 30,63 = −118,1 kN·m

Odpowiedź

M_x = −118,1 kN·m

Wartość ujemna oznacza moment ujemny: rozciągane są górne włókna.

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: x_c = 3 m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki, łącznie z obciążeniem na wsporniku.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 6·6·3

R_B = 108/4 = 27 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 27 = 9 kN

Zerowy moment

Między podporami M(x) = R_A·x − w·x²/2. Poza x = 0 jest równy zeru w x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·9/6 = 3 m

Odpowiedź

x_c = 3 m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 31,46 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (18000·75 − 1963·45)/(18000 − 1963) = 78,67 mm

Pełna płyta względem ȳ

120·150³/12 + 18000·−3,673² = 33,99 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−33,67² = 2,533 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 31,46 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 31,46 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_dół = 303,6 MPa

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 260·10 = 2600 mm², y_f = 180 + 10/2 = 185 mm

środnik: A_w = 18·180 = 3240 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2600·185 + 3240·90)/5840 = 132,3 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 260·10³/12 + 2600·(185 − 132,3)² = 7,244 × 10⁶ mm⁴

środnik: 18·180³/12 + 3240·(90 − 132,3)² = 1,454 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,244 × 10⁶ + 1,454 × 10⁷ = 2,179 × 10⁷ mm⁴

Naprężenie od zginania

Dolna krawędź jest w odległości ȳ od osi.

y = 132,3 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·132,3/2,179 × 10⁷ = 303,6 MPa

Odpowiedź

σ_dół = 303,6 MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_xy = 46,1 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Wymagany promień

C = (20 + 80)/2 = 50 MPa

R = σ₁ − C = 105 − 50 = 55 MPa

Naprężenie styczne

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(55² − 30²) = 46,1 MPa

Odpowiedź

τ_xy = 46,1 MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ₁ = 144,1 MPa

Naprężenia na powierzchni

σ = 32M/(πd³) = 32·750000/(π·40³) = 119,4 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·40³) = 59,68 MPa

Koło Mohra

C = σ/2 = 59,68 MPa

R = √(59,68² + 59,68²) = 84,4 MPa

σ₁ = C + R = 144,1 MPa

σ₂ = C − R = −24,72 MPa

Odpowiedź

σ₁ = 144,1 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_P = 2,647 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 6000 N, a = 1000 mm, b = 3000 mm, L = 4000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Ugięcie pod siłą

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 6000·1000²·3000²/(3·1,7 × 10¹²·4000) = 2,647 mm

Odpowiedź

δ_P = 2,647 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: I_req = 2,876 × 10⁶ mm⁴

Warunek ugięcia

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·1500⁴/(384·11000·4,167) = 2,876 × 10⁶ mm⁴

I_req = 2,876 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_req = 2,876 × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 12,56 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2500² = 12558 N = 12,56 kN

Odpowiedź

P_cr = 12,56 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 11,99 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/6,25 = 240

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/240² = 11,99 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 11,99 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials