Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz odkształcenie osiowe ε w pręcie (aluminium), w mikroodkształceniach (µε = 10⁻⁶).

P = 30 kNd = 10 mmL = 3 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz całkowite wydłużenie δ.

P = 15 kNodcinek 1: Ø40 mm, 2 m, stal (E = 200 GPa)odcinek 2: Ø16 mm, 1,5 m, stal (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (stal) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 750 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał (mosiądz) o średnicy 60 mm jest utwierdzony w A. Moment skręcający 250 N·m działa w B, w odległości 3 m od A, a moment 1500 N·m o przeciwnym kierunku działa na swobodnym końcu C, o 2 m dalej. Wyznacz maksymalne naprężenie styczne τ_max w wale.

d = 60 mmT_B = 250 N·mT_C = 1500 N·mAB = 3 mBC = 2 m

τ_max = MPa

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Belka swobodnie podparta jest obciążona momentem skupionym M₀ = 55 kN·m działającym zgodnie z ruchem wskazówek zegara w x = 4 m od A i niczym więcej. Wyznacz moment zginający M_x tuż na lewo od momentu skupionego. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5 mM₀ = 55 kN·m zgodnie z ruchem wskazówek zegara, w odległości 4 m

M_x = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka opiera się na podporze nieprzesuwnej w A i przesuwnej w B i wystaje poza B o 2 m aż do swobodnego końca C. Na całej długości A–C działa obciążenie równomiernie rozłożone w. Wyznacz maksymalny dodatni moment zginający M_max między podporami.

L = 8 mw = 6 kN/m od 0 do 8 mpodpory w x = 0 i x = 6 m

M_max = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Płyta 120 mm × 240 mm ma okrągły otwór o średnicy 30 mm na pionowej osi symetrii, ze środkiem 84 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 120 mmh = 240 mmd = 30 mmśrodek otworu: y = 84 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Płyta 120 mm × 240 mm ma prostokątne wycięcie o szerokości 80 mm i wysokości 40 mm, umieszczone na pionowej osi symetrii, ze środkiem 84 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 120 mmh = 240 mmwycięcie: 80 × 40 mmśrodek otworu: y = 84 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 130 MPa, σᵧ = 40 MPa i τₓᵧ = −20 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz maksymalne naprężenie styczne w płaszczyźnie τ_max.

σ_x = 130 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −20 MPa

τ_max = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 130 MPa, σᵧ = 0 MPa i τₓᵧ = −60 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie normalne σ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 50° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem osi x.

σ_x = 130 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi siłę skupioną P w odległości a = 2 m od podpory A. Wyznacz ugięcie δ_P pod siłą.

P = 24 kNa = 2 mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności I_req, który spełnia ten warunek.

w = 6 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (stal)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest przegubowo podparty na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: ε = 5457 µε

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 30·1000/78,54 = 382 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 382/70000 = 0,005457 = 5457 µε

Odpowiedź

ε = 5457 µε

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 0,6789 mm

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 11,94 MPa

σ₂ = 74,6 MPa

Dodaj wydłużenia odcinków

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 11,94·2000/200000 = 0,1194 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 74,6·1500/200000 = 0,5595 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,6789 mm

Odpowiedź

δ = 0,6789 mm

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 3,206 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(80000·251327) = 0,05595 rad

φ = 0,05595·180/π = 3,206°

Odpowiedź

φ = 3,206°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: τ_max = 35,37 MPa

Momenty wewnętrzne

Zwrot T_C przyjęty jako dodatni.

T_BC = T_C = 1500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 1500 − 250 = 1250 N·m

Maksymalne naprężenie styczne

Największe naprężenie ma odcinek z największym momentem wewnętrznym (ta sama średnica).

|T|_max = 1500 N·m

τ_max = 16·1,5 × 10⁶/(π·60³) = 35,37 MPa

Odpowiedź

τ_max = 35,37 MPa

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = −44 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Przyłożony moment skupiony powoduje skok na wykresie momentów zginających o wartość tego momentu.

Reakcje podpór

Momenty względem A, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnie: R_B·L − M₀ = 0. Równowaga pionowa: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 55/5 = 11 kN (w górę)

R_A = −R_B = −11 kN (w dół)

Przekrój tuż na lewo od momentu skupionego

Lewa część zawiera tylko R_A.

M_x = R_A·a = −11·4 = −44 kN·m

Odpowiedź

M_x = −44 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 21,33 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki, łącznie z obciążeniem na wsporniku.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, przyłożona w x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6·8·4

R_B = 192/6 = 32 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 32 = 16 kN

Zerowa siła tnąca

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 16/6 = 2,667 m

Maksymalny moment dodatni

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 16²/(2·6) = 21,33 kN·m

Odpowiedź

M_max = 21,33 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 137,3 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (28800·120 − 706,9·84)/(28800 − 706,9) = 120,9 mm

Pełna płyta względem ȳ

120·240³/12 + 28800·−0,9058² = 138,3 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−36,91² = 1,003 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 137,3 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 137,3 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 133,1 × 10⁶ mm⁴

Środek ciężkości

ȳ = (28800·120 − 3200·84)/(28800 − 3200) = 124,5 mm

Pełna płyta względem ȳ

120·240³/12 + 28800·−4,5² = 138,8 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

80·40³/12 + 3200·−40,5² = 5,675 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 133,1 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 133,1 × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_max = 49,24 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Promień koła Mohra

τ_max = R = √(((130 − 40)/2)² + −20²) = 49,24 MPa

Odpowiedź

τ_max = 49,24 MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_θ = −5,376 MPa

Równanie transformacji

σ_θ = 65 + 65·−0,1736 + −60·0,9848 = −5,376 MPa

Odpowiedź

σ_θ = −5,376 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_P = 7,619 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 24000 N, a = 2000 mm, b = 4000 mm, L = 6000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Ugięcie pod siłą

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 24000·2000²·4000²/(3·1,12 × 10¹³·6000) = 7,619 mm

Odpowiedź

δ_P = 7,619 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: I_req = 69,03 × 10⁶ mm⁴

Warunek ugięcia

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·3000⁴/(384·11000·8,333) = 6,903 × 10⁷ mm⁴

I_req = 69,03 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_req = 69,03 × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 284,8 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2100² = 284752 N = 284,8 kN

Odpowiedź

P_cr = 284,8 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 4,318 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/10 = 400

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 4,318 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials