Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz odkształcenie osiowe ε w pręcie (miedź), w mikroodkształceniach (µε = 10⁻⁶).

P = 30 kNd = 12 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz największe naprężenie normalne σ_max w pręcie.

P = 65 kNodcinek 1: Ø35 mm, 1 m, mosiądz (E = 100 GPa)odcinek 2: Ø16 mm, 1 m, miedź (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał schodkowy (aluminium) jest utwierdzony w A. Odcinek AB ma średnicę 30 mm i długość 1 m; odcinek BC ma średnicę 20 mm i długość 1,2 m. Na swobodnym końcu C działa moment skręcający 200 N·m. Wyznacz maksymalne naprężenie styczne τ_max w wale.

T = 200 N·md₁ = 30 mm, L₁ = 1 md₂ = 20 mm, L₂ = 1,2 m

τ_max = MPa

4.Skręcanie wałówTrudny

Wał drążony ma przenosić moc 50 kW przy 750 rpm. Jego średnica wewnętrzna ma wynosić 0,5 średnicy zewnętrznej, a naprężenie styczne nie może przekroczyć 60 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę zewnętrzną d_o.

P = 50 kWN = 750 rpmd_i/d_o = 0,5τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 3,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 4 mw = 8 kN/m od 0 do 4 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

30 kN @ 0 m30 kN @ 12 m55 kN @ 6 m15 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Symetryczny dwuteownik ma półki o szerokości 100 mm i grubości 12 mm, wysokość całkowitą 300 mm i środnik o grubości 6 mm. Wyznacz jego moment bezwładności I_x względem poziomej osi centralnej x.

B = 100 mmH = 300 mmt_f = 12 mmt_w = 6 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 50 kN·m. Wyznacz naprężenie od zginania σ_dół na dolnej krawędzi.

b_f = 120 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 240 mmM = 50 kN·m

σ_dół = MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = −10 MPa i σᵧ = −30 MPa. Jak duże może być naprężenie styczne τ_xy (wartość bezwzględna), zanim największe naprężenie główne osiągnie 50 MPa?

σ_x = −10 MPaσ_y = −30 MPaσ₁ = 50 MPa

τ_xy = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

Pełny wał o średnicy 25 mm przenosi osiową siłę ściskającą 140 kN wraz z momentem skręcającym 200 N·m. Na powierzchni wału, wyznacz maksymalne naprężenie styczne w płaszczyźnie τ_max.

d = 25 mmF = −140 kNT = 200 N·m

τ_max = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi siłę skupioną P w odległości a = 4,5 m od podpory A. Wyznacz ugięcie δ_P pod siłą.

P = 17 kNa = 4,5 mL = 8 mE = 70 GPa (aluminium)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności I_req, który spełnia ten warunek.

w = 20 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (stal)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 20 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 1,5 mE = 200 GPa (stal)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: ε = 2267 µε

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 30·1000/113,1 = 265,3 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for miedź = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 265,3/117000 = 0,002267 = 2267 µε

Odpowiedź

ε = 2267 µε

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: σ_max = 323,3 MPa

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 67,56 MPa

σ₂ = 323,3 MPa

Największe naprężenie

Cieńszy odcinek ma mniejsze pole, więc przenosi większe naprężenie.

σ_max = 323,3 MPa

Odpowiedź

σ_max = 323,3 MPa

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: τ_max = 127,3 MPa

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Naprężenie w każdym odcinku

T = 200 N·m = 200000 N·mm

τ_AB = 16·200000/(π·30³) = 37,73 MPa

τ_BC = 16·200000/(π·20³) = 127,3 MPa

Odpowiedź

τ_max = 127,3 MPa

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d_o = 38,63 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 50000/78,54 = 636,6 N·m

Średnica zewnętrzna z naprężenia dopuszczalnego

T = 636,6 N·m = 636620 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·636620/(π·60·0,9375)) = 38,63 mm

d_i = 0,5·38,63 = 19,31 mm

Odpowiedź

d_o = 38,63 mm

Wał pełny wymagałby d = 37,81 mm; drążony jest nieco większy, ale znacznie lżejszy.

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 7 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, przyłożona w x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 8·4·2

R_B = 64/4 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

Przetnij w x = 3,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 16·3,5 − 8·3,5·1,75 = 7 kN·m

Odpowiedź

M_x = 7 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: D (x = 6 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 117,5 kN, R₂ = 117,5 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = −60, M_C = 85, M_D = 170 kN·m, M_E = 85, M_F = −60, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt D: M_D = 170 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 60,31 × 10⁶ mm⁴

Moment bezwładności: dla prostokąta względem własnej osi centralnej I = bh³/12, a względem podstawy bh³/3 (twierdzenie Steinera I = I_c + A·d²). Otwór uwzględnia się, odejmując jego I, o ile obie części odnoszą się do tej samej osi. Sprężysty wskaźnik wytrzymałości to S = I/c, gdzie c jest odległością do skrajnych włókien.

Prostokąt zewnętrzny minus dwa boczne wycięcia

Oba wycięcia razem mają szerokość (B − t_w) i wysokość h_w = H − 2t_f oraz wspólną oś x.

h_w = 300 − 2·12 = 276 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (100·300³ − 94·276³)/12

I_x = 6,031 × 10⁷ mm⁴ = 60,31 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 60,31 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_dół = 190,1 MPa

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 120·15 = 1800 mm², y_f = 240 + 15/2 = 247,5 mm

środnik: A_w = 18·240 = 4320 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·247,5 + 4320·120)/6120 = 157,5 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 120·15³/12 + 1800·(247,5 − 157,5)² = 1,461 × 10⁷ mm⁴

środnik: 18·240³/12 + 4320·(120 − 157,5)² = 2,681 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,461 × 10⁷ + 2,681 × 10⁷ = 4,142 × 10⁷ mm⁴

Naprężenie od zginania

Dolna krawędź jest w odległości ȳ od osi.

y = 157,5 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·157,5/4,142 × 10⁷ = 190,1 MPa

Odpowiedź

σ_dół = 190,1 MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_xy = 69,28 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Wymagany promień

C = (−10 + (−30))/2 = −20 MPa

R = σ₁ − C = 50 − (−20) = 70 MPa

Naprężenie styczne

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(70² − 10²) = 69,28 MPa

Odpowiedź

τ_xy = 69,28 MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_max = 156,8 MPa

Naprężenia na powierzchni

σ = F/A = −140000/(π·25²/4) = −140000/490,9 = −285,2 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·200000/(π·25³) = 65,19 MPa

Koło Mohra

C = σ/2 = −142,6 MPa

R = √((−142,6)² + 65,19²) = 156,8 MPa

Odpowiedź

τ_max = 156,8 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_P = 29,88 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 17000 N, a = 4500 mm, b = 3500 mm, L = 8000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Ugięcie pod siłą

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 17000·4500²·3500²/(3·5,88 × 10¹²·8000) = 29,88 mm

Odpowiedź

δ_P = 29,88 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: I_req = 58,59 × 10⁶ mm⁴

Warunek ugięcia

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·20·5000⁴/(384·200000·13,89) = 5,859 × 10⁷ mm⁴

I_req = 58,59 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_req = 58,59 × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 2,412 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1500² = 2412 N = 2,412 kN

Odpowiedź

P_cr = 2,412 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 34,27 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·1500 = 3000 mm

KL/r = 3000/12,5 = 240

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/240² = 34,27 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 34,27 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials