Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz odkształcenie osiowe ε w pręcie (miedź), w mikroodkształceniach (µε = 10⁻⁶).

P = 85 kNd = 12 mmL = 1 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz największe naprężenie normalne σ_max w pręcie.

P = 25 kNodcinek 1: Ø40 mm, 1,5 m, miedź (E = 117 GPa)odcinek 2: Ø12 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (mosiądz) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 400 N·md = 25 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Wał drążony przenosi 75 kW przy 3000 obr/min. Wyznacz maksymalne naprężenie styczne τ_max w wale.

P = 75 kWN = 3000 rpmd_o = 40 mmd_i = 28 mm

τ_max = MPa

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi dwie siły skupione. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 5 mP₁ = 30 kN w 3,5 mP₂ = 10 kN w 4 m

M_max = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 4 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 8 mP = 50 kN w 4 mw = 12 kN/m od 0 do 8 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Symetryczny dwuteownik ma półki o szerokości 210 mm i grubości 22 mm, wysokość całkowitą 360 mm i środnik o grubości 10 mm. Wyznacz jego sprężysty wskaźnik wytrzymałości S_x przy zginaniu względem poziomej osi centralnej x.

B = 210 mmH = 360 mmt_f = 22 mmt_w = 10 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Płyta 200 mm × 200 mm ma prostokątne wycięcie o szerokości 80 mm i wysokości 50 mm, umieszczone na pionowej osi symetrii, ze środkiem 60 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 200 mmh = 200 mmwycięcie: 80 × 50 mmśrodek otworu: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 140 MPa, σᵧ = 110 MPa i τₓᵧ = 30 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz kąt θ_p od osi x do kierunku największego naprężenia głównego, z przedziału od −90° do 90°.

σ_x = 140 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_p = °

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 160 MPa, σᵧ = 50 MPa i τₓᵧ = 50 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie styczne τ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 50° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem osi x (dodatnie w tym samym sensie co τₓᵧ).

σ_x = 160 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 50°

τ_θ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Wspornik przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości. Wyznacz ugięcie δ swobodnego końca.

w = 8 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka drewniana swobodnie podparta o przekroju prostokątnym i szerokości 100 mm przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Jej ugięcie w środku rozpiętości nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszą wysokość h_req przekroju.

w = 3 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)b = 100 mm

h_req = mm

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Ma przenieść 115 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 115 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (stal)

d = mm

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: ε = 6424 µε

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 85·1000/113,1 = 751,6 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for miedź = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 751,6/117000 = 0,006424 = 6424 µε

Odpowiedź

ε = 6424 µε

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: σ_max = 221 MPa

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 19,89 MPa

σ₂ = 221 MPa

Największe naprężenie

Cieńszy odcinek ma mniejsze pole, więc przenosi większe naprężenie.

σ_max = 221 MPa

Odpowiedź

σ_max = 221 MPa

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 22,99 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1500/(39000·38350) = 0,4012 rad

φ = 0,4012·180/π = 22,99°

Odpowiedź

φ = 22,99°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: τ_max = 25 MPa

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 75000/314,2 = 238,7 N·m

Biegunowy moment bezwładności

J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴

Maksymalne naprężenie styczne

τ_max = T·(d_o/2)/J = 238732·20/190984 = 25 MPa

Odpowiedź

τ_max = 25 MPa

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 38,5 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·3,5 + 10·4

R_B = 145/5 = 29 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 29 = 11 kN

Moment pod każdą siłą

Zostaw część na lewo od każdej siły.

pod P₁: M = R_A·3,5 = 11·3,5 = 38,5 kN·m

pod P₂: M = R_B·1 = 29·1 = 29 kN·m

Największa wartość

M_max = 38,5 kN·m (pod P₁)

Odpowiedź

M_max = 38,5 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 196 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, przyłożona w x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·4 + 12·8·4

R_B = 584/8 = 73 kN

ΣF_y = 0: R_A = 146 − 73 = 73 kN

Przetnij w x = 4 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 73·4 − 12·4·2 = 196 kN·m

Odpowiedź

M_x = 196 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: S_x = 1614 × 10³ mm³

Moment bezwładności: dla prostokąta względem własnej osi centralnej I = bh³/12, a względem podstawy bh³/3 (twierdzenie Steinera I = I_c + A·d²). Otwór uwzględnia się, odejmując jego I, o ile obie części odnoszą się do tej samej osi. Sprężysty wskaźnik wytrzymałości to S = I/c, gdzie c jest odległością do skrajnych włókien.

Prostokąt zewnętrzny minus dwa boczne wycięcia

Oba wycięcia razem mają szerokość (B − t_w) i wysokość h_w = H − 2t_f oraz wspólną oś x.

h_w = 360 − 2·22 = 316 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (210·360³ − 200·316³)/12

I_x = 2,906 × 10⁸ mm⁴

Wskaźnik wytrzymałości przekroju

c = H/2 = 180 mm

S_x = I/c = 2,906 × 10⁸/180

S_x = 1,614 × 10⁶ mm³ = 1614 × 10³ mm³

Odpowiedź

S_x = 1614 × 10³ mm³

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 125,4 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (40000·100 − 4000·60)/(40000 − 4000) = 104,4 mm

Pełna płyta względem ȳ

200·200³/12 + 40000·−4,444² = 134,1 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

80·50³/12 + 4000·−44,44² = 8,735 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 125,4 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 125,4 × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: θ_p = 31,72 °

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Kąt na kole

Na kole Mohra punkt x leży pod kątem 2θp od osi σ; ćwiartka wynika ze znaków σₓ − σᵧ i τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·30, 140 − 110) = 63,43°

Kąt na elemencie

θ_p = 31,72°

Odpowiedź

θ_p = 31,72°

Kąty dodatnie mierzy się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_θ = −62,85 MPa

Równanie transformacji

τ_θ = −55·0,9848 + 50·−0,1736 = −62,85 MPa

Odpowiedź

τ_θ = −62,85 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ = 20,3 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 3000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Ugięcie

δ = wL⁴/(8EI) = 8·3000⁴/(8·3,99 × 10¹²) = 20,3 mm

Odpowiedź

δ = 20,3 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: h_req = 267,7 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Warunek ugięcia

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Wymagany moment bezwładności

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·5000⁴/(384·11000·13,89) = 1,598 × 10⁸ mm⁴

Wymagana wysokość

bh³/12 = I_req → h = (12·1,598 × 10⁸/100)^1/3 = 267,7 mm

Odpowiedź

h_req = 267,7 mm

W praktyce wybierz najbliższą większą wysokość znormalizowaną.

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 108,1 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/1400² = 108141 N = 108,1 kN

Odpowiedź

P_cr = 108,1 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 65,68 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 2·115000 = 230000 N

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·230000·2800²/(π³·200000))^(1/4) = 65,68 mm

Odpowiedź

d = 65,68 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 170,5, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials