Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz wydłużenie δ pręta (mosiądz) pod obciążeniem osiowym.

P = 40 kNd = 20 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz całkowite wydłużenie δ.

P = 35 kNodcinek 1: Ø30 mm, 1,5 m, stal (E = 200 GPa)odcinek 2: Ø20 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Skręcanie wałówŚredni

W próbie skręcania pełna próbka o średnicy 20 mm jest skręcana momentem 20 N·m. Końce odcinka pomiarowego o długości 200 mm obracają się względem siebie o 0,56° (materiał jest jeszcze w zakresie sprężystym). Wyznacz moduł sprężystości postaciowej G materiału.

T = 20 N·md = 20 mmL = 200 mmφ = 0,56°

G = GPa

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał (stal) o średnicy 30 mm jest utwierdzony w sztywnych ścianach na obu końcach A i B. W C, w odległości 2 m od A i 0,8 m od B, przyłożono moment skręcający 750 N·m. Wyznacz moment reakcji T_A w ścianie A.

d = 30 mmT₀ = 750 N·ma = 2 mb = 0,8 m

T_A = N·m

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 3,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 8 mw = 10 kN/m od 0 do 8 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone na części rozpiętości. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 5 mw = 12 kN/m od 1 do 5 m

M_max = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 220 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Płyta 150 mm × 150 mm ma prostokątne wycięcie o szerokości 80 mm i wysokości 20 mm, umieszczone na pionowej osi symetrii, ze środkiem 105 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 150 mmh = 150 mmwycięcie: 80 × 20 mmśrodek otworu: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = 0 MPa i σᵧ = 80 MPa. Jak duże może być naprężenie styczne τ_xy (wartość bezwzględna), zanim największe naprężenie główne osiągnie 125 MPa?

σ_x = 0 MPaσ_y = 80 MPaσ₁ = 125 MPa

τ_xy = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

Pełny wał o średnicy 50 mm przenosi osiową siłę rozciągającą 20 kN wraz z momentem skręcającym 250 N·m. Na powierzchni wału, wyznacz największe naprężenie główne σ₁.

d = 50 mmF = 20 kNT = 250 N·m

σ₁ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz kąt obrotu θ_A belki na podporze A, w radianach.

w = 5 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi siłę skupioną P w odległości b = 2 m od podpory B. Wyznacz maksymalne ugięcie δ_max belki.

P = 2 kNb = 2 mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest przegubowo podparty na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 3,183 mm

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 40·1000/314,2 = 127,3 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for mosiądz = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 127,3/100000 = 0,001273 = 1273 µε

Wydłużenie

δ = ε·L = 0,001273·2500 mm = 3,183 mm

Odpowiedź

δ = 3,183 mm

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 2,759 mm

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 49,51 MPa

σ₂ = 111,4 MPa

Dodaj wydłużenia odcinków

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 49,51·1500/200000 = 0,3714 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 111,4·1500/70000 = 2,387 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,759 mm

Odpowiedź

δ = 2,759 mm

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: G = 26,05 GPa

Biegunowy moment bezwładności i kąt

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 0,56·π/180 = 0,009774 rad

Moduł sprężystości poprzecznej

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·200/(15708·0,009774) = 26054 MPa

G = 26,05 GPa

Odpowiedź

G = 26,05 GPa

Porównaj: stal ≈ 80 GPa, mosiądz ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: T_A = 214,3 N·m

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω. Gdy oba końce są utwierdzone, sama statyka daje tylko T_A + T_B = T₀; drugim równaniem jest warunek zgodności (równy kąt skręcenia obu części w obciążonym przekroju).

Równowaga i zgodność

T_A + T_B = 750

T_A·a = T_B·b

T_A = 750·0,8/2,8 = 214,3 N·m

T_B = 750·2/2,8 = 535,7 N·m

Odpowiedź

T_A = 214,3 N·m

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 78,75 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, przyłożona w x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·8·4

R_B = 320/8 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

Przetnij w x = 3,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 40·3,5 − 10·3,5·1,75 = 78,75 kN·m

Odpowiedź

M_x = 78,75 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 34,56 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 12·4·3

R_B = 144/5 = 28,8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 28,8 = 19,2 kN

Zerowa siła tnąca

Siła tnąca zaczyna od R_A, jest stała na każdym nieobciążonym odcinku i maleje z nachyleniem w wewnątrz obciążenia.

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 19,2/12 = 2,6 m

Moment maksymalny

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 1)²/2 = 19,2·2,6 − 12·1,6²/2 = 34,56 kN·m

Odpowiedź

M_max = 34,56 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 32,87 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 220·25 = 5500 mm², y_f = 180 + 25/2 = 192,5 mm

środnik: A_w = 20·180 = 3600 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5500·192,5 + 3600·90)/9100 = 152 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 220·25³/12 + 5500·(192,5 − 152)² = 9,33 × 10⁶ mm⁴

środnik: 20·180³/12 + 3600·(90 − 152)² = 2,354 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,33 × 10⁶ + 2,354 × 10⁷ = 3,287 × 10⁷ mm⁴ = 32,87 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 32,87 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 40,58 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (22500·75 − 1600·105)/(22500 − 1600) = 72,7 mm

Pełna płyta względem ȳ

150·150³/12 + 22500·2,297² = 42,31 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

80·20³/12 + 1600·32,3² = 1,722 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 40,58 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 40,58 × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_xy = 75 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Wymagany promień

C = (0 + 80)/2 = 40 MPa

R = σ₁ − C = 125 − 40 = 85 MPa

Naprężenie styczne

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(85² − 40²) = 75 MPa

Odpowiedź

τ_xy = 75 MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ₁ = 16,48 MPa

Naprężenia na powierzchni

σ = F/A = 20000/(π·50²/4) = 20000/1963 = 10,19 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·50³) = 10,19 MPa

Koło Mohra

C = σ/2 = 5,093 MPa

R = √(5,093² + 10,19²) = 11,39 MPa

σ₁ = C + R = 16,48 MPa

σ₂ = C − R = −6,295 MPa

Odpowiedź

σ₁ = 16,48 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: θ_A = 0,005471 rad

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja). Kąt obrotu θ = dv/dx to pierwsza całka z M/(EI); w spójnych jednostkach wychodzi w radianach.

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 2500 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Kąt obrotu końca

θ_A = wL³/(24EI) = 5·2500³/(24·5,95 × 10¹¹) = 0,005471 rad

Odpowiedź

θ_A = 0,005471 rad

To 0,3135°.

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 1,238 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 2000 N, b = 2000 mm, L = 5000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Położenie maksimum

Przyrównanie kąta obrotu na dłuższym odcinku do zera daje położenie.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 2000²)/3) = 2646 mm

Maksymalne ugięcie

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 1,238 mm

Odpowiedź

δ_max = 1,238 mm

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 222,3 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 1·2500 = 2500 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/2500² = 222253 N = 222,3 kN

Odpowiedź

P_cr = 222,3 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 26,99 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

KL/r = 1000/6,25 = 160

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26,99 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 26,99 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials