Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz wydłużenie δ pręta (aluminium) pod obciążeniem osiowym.

P = 70 kNd = 10 mmL = 1 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz całkowite wydłużenie δ.

P = 55 kNodcinek 1: Ø30 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)odcinek 2: Ø20 mm, 2 m, mosiądz (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (aluminium) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 250 N·md = 30 mmL = 1,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał (stal) o średnicy 50 mm jest utwierdzony w sztywnych ścianach na obu końcach A i B. W C, w odległości 1 m od A i 0,8 m od B, przyłożono moment skręcający 200 N·m. Wyznacz kąt obrotu φ_C przekroju C w stopniach.

d = 50 mmT₀ = 200 N·ma = 1 mb = 0,8 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

40 kN @ 1 m60 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 1 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 4 mP = 10 kN w 1 mw = 5 kN/m od 0 do 4 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 120 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Belka żeliwna ma pokazany przekrój teowy z półką u góry. Naprężenia dopuszczalne wynoszą 35 MPa przy rozciąganiu i 90 MPa przy ściskaniu. Wyznacz największy ujemny moment zginający M_allow, jaki może przenieść belka (podaj jego wartość bezwzględną).

b_f = 300 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 140 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = −70 MPa, σᵧ = 60 MPa i τₓᵧ = −40 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz kąt θ_p od osi x do kierunku największego naprężenia głównego, z przedziału od −90° do 90°.

σ_x = −70 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 30 MPa, σᵧ = 60 MPa i τₓᵧ = 20 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie normalne σ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 25° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem osi x.

σ_x = 30 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi siłę skupioną P w odległości a = 1 m od podpory A. Wyznacz ugięcie δ_P pod siłą.

P = 27 kNa = 1 mL = 5 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności I_req, który spełnia ten warunek.

w = 2 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (stal)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest przegubowo podparty na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 12,73 mm

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 70·1000/78,54 = 891,3 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 891,3/70000 = 0,01273 = 12732 µε

Wydłużenie

δ = ε·L = 0,01273·1000 mm = 12,73 mm

Odpowiedź

δ = 12,73 mm

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 5,169 mm

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 77,81 MPa

σ₂ = 175,1 MPa

Dodaj wydłużenia odcinków

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 77,81·1500/70000 = 1,667 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 175,1·2000/100000 = 3,501 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,169 mm

Odpowiedź

δ = 5,169 mm

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 10,39 °

Biegunowy moment bezwładności

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1500/(26000·79522) = 0,1814 rad

φ = 0,1814·180/π = 10,39°

Odpowiedź

φ = 10,39°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ_C = 0,1038 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω. Gdy oba końce są utwierdzone, sama statyka daje tylko T_A + T_B = T₀; drugim równaniem jest warunek zgodności (równy kąt skręcenia obu części w obciążonym przekroju).

Równowaga i zgodność

T_A + T_B = 200

T_A·a = T_B·b

T_A = 200·0,8/1,8 = 88,89 N·m

T_B = 200·1/1,8 = 111,1 N·m

Obrót przekroju C

Użyj odcinka AC: jest utwierdzony w A i przenosi T_A.

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 88889·1000/(80000·613592) = 0,001811 rad = 0,1038°

Odpowiedź

φ_C = 0,1038°

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: D (x = 3 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 63,33 kN, R₂ = 36,67 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 63,33, M_C = 86,67, M_D = 110 kN·m, M_E = 73,33, M_F = 36,67, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt D: M_D = 110 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 15 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, przyłożona w x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·1 + 5·4·2

R_B = 50/4 = 12,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 12,5 = 17,5 kN

Przetnij w x = 1 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 17,5·1 − 5·1·0,5 = 15 kN·m

Odpowiedź

M_x = 15 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 77,49 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 120·30 = 3600 mm², y_f = 280 + 30/2 = 295 mm

środnik: A_w = 16·280 = 4480 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·295 + 4480·140)/8080 = 209,1 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 120·30³/12 + 3600·(295 − 209,1)² = 2,686 × 10⁷ mm⁴

środnik: 16·280³/12 + 4480·(140 − 209,1)² = 5,064 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,686 × 10⁷ + 5,064 × 10⁷ = 7,749 × 10⁷ mm⁴ = 77,49 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 77,49 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: M_allow = 10,54 kN·m

Środek ciężkości

ȳ = (3000·145 + 2800·70)/5800 = 108,8 mm

krawędź górna: c = 150 − 108,8 = 41,21 mm

Moment bezwładności przekroju

I = 300·10³/12 + 3000·36,21² + 20·140³/12 + 2800·38,79² = 1,274 × 10⁷ mm⁴

Moment dopuszczalny dla każdej krawędzi

Moment ujemny: góra jest rozciągana, dół ściskany.

krawędź górna: M = 35·1,274 × 10⁷/41,21 = 10,83 kN·m

krawędź dolna: M = 90·1,274 × 10⁷/108,8 = 10,54 kN·m

Wartość decydująca

M_allow = min = 10,54 kN·m (krawędź dolna)

Odpowiedź

M_allow = 10,54 kN·m

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: θ_p = −74,2 °

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Kąt na kole

Na kole Mohra punkt x leży pod kątem 2θp od osi σ; ćwiartka wynika ze znaków σₓ − σᵧ i τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−40, −70 − 60) = −148,4°

Kąt na elemencie

θ_p = −74,2°

Odpowiedź

θ_p = −74,2°

Kąty dodatnie mierzy się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_θ = 50,68 MPa

Równanie transformacji

σ_θ = 45 + −15·0,6428 + 20·0,766 = 50,68 MPa

Odpowiedź

σ_θ = 50,68 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_P = 45,93 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 27000 N, a = 1000 mm, b = 4000 mm, L = 5000 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Ugięcie pod siłą

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 27000·1000²·4000²/(3·6,27 × 10¹¹·5000) = 45,93 mm

Odpowiedź

δ_P = 45,93 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: I_req = 13,32 × 10⁶ mm⁴

Warunek ugięcia

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·2500⁴/(384·11000·6,944) = 1,332 × 10⁷ mm⁴

I_req = 13,32 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_req = 13,32 × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 157,9 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 1·2000 = 2000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/2000² = 157914 N = 157,9 kN

Odpowiedź

P_cr = 157,9 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 47,98 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/12,5 = 120

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/120² = 47,98 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 47,98 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials