Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz wydłużenie δ pręta (miedź) pod obciążeniem osiowym.

P = 80 kNd = 25 mmL = 2,5 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt (materiał: stal, średnica 20 mm, E = 200 GPa, naprężenie dopuszczalne 250 MPa) znajduje się wewnątrz rury (materiał: brąz, średnica zewnętrzna 100 mm, średnica wewnętrzna 70 mm, E = 110 GPa, naprężenie dopuszczalne 70 MPa). Są razem ściskane między sztywnymi płytami. Wyznacz największe obciążenie P_max.

pręt: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MParura: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał schodkowy (mosiądz) jest utwierdzony w A. Odcinek AB ma średnicę 75 mm i długość 2,5 m; odcinek BC ma średnicę 25 mm i długość 2,5 m. Na swobodnym końcu C działa moment skręcający 100 N·m. Wyznacz kąt skręcenia φ_C końca C w stopniach.

T = 100 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 2,5 md₂ = 25 mm, L₂ = 2,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Wał drążony przenosi 75 kW przy 1450 obr/min. Wyznacz maksymalne naprężenie styczne τ_max w wale.

P = 75 kWN = 1450 rpmd_o = 40 mmd_i = 20 mm

τ_max = MPa

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wspornik jest utwierdzony w A. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości oraz siłę skupioną P w odległości 2,5 m od A. Wyznacz moment zginający M_A w utwierdzeniu A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 3 mP = 40 kN w 2,5 mw = 5 kN/m od 0 do 3 m

M_A = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

60 kN @ 0 m15 kN @ 12 m25 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Symetryczny dwuteownik ma półki o szerokości 140 mm i grubości 12 mm, wysokość całkowitą 300 mm i środnik o grubości 12 mm. Wyznacz jego sprężysty wskaźnik wytrzymałości S_x przy zginaniu względem poziomej osi centralnej x.

B = 140 mmH = 300 mmt_f = 12 mmt_w = 12 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Płyta 150 mm × 150 mm ma prostokątne wycięcie o szerokości 80 mm i wysokości 30 mm, umieszczone na pionowej osi symetrii, ze środkiem 45 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 150 mmh = 150 mmwycięcie: 80 × 30 mmśrodek otworu: y = 45 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = −20 MPa, σᵧ = −50 MPa i τₓᵧ = −60 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz kąt θ_s z przedziału od −90° do 90°, mierzony od osi x do normalnej płaszczyzny, na której naprężenie styczne osiąga maksymalną wartość dodatnią +R (naprężenie styczne dodatnie w tym samym sensie co τₓᵧ).

σ_x = −20 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_s = °

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = −70 MPa, σᵧ = 30 MPa i τₓᵧ = −40 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie normalne σ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 40° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem osi x.

σ_x = −70 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi siłę skupioną P w odległości a = 2 m od podpory A. Wyznacz ugięcie δ_P pod siłą.

P = 9 kNa = 2 mL = 6 mE = 200 GPa (stal)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności I_req, który spełnia ten warunek.

w = 15 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Ma przenieść 145 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 145 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (stal)

d = mm

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 3,482 mm

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 80·1000/490,9 = 163 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for miedź = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 163/117000 = 0,001393 = 1393 µε

Wydłużenie

δ = ε·L = 0,001393·2500 mm = 3,482 mm

Odpowiedź

δ = 3,482 mm

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: P_max = 320,4 kN

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Łączna sztywność osiowa

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·4006 = 5,034 × 10⁸ N

Decydujące odkształcenie

ε = min(0,00125, 0,0006364) = 0,0006364 (brąz)

Największe obciążenie

P_max = 0,0006364·5,034 × 10⁸ = 320371 N = 320,4 kN

Odpowiedź

P_max = 320,4 kN

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ_C = 9,695 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowe momenty bezwładności

J₁ = π·75⁴/32 = 3,106 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Kąt skręcenia każdego odcinka

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 100000·2500/(39000·3,106 × 10⁶) = 0,002064 rad

φ_BC = 100000·2500/(39000·38350) = 0,1672 rad

Całkowity kąt skręcenia

φ_C = 0,002064 + 0,1672 = 0,1692 rad = 9,695°

Odpowiedź

φ_C = 9,695°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: τ_max = 41,93 MPa

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 75000/151,8 = 493,9 N·m

Biegunowy moment bezwładności

J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴

Maksymalne naprężenie styczne

τ_max = T·(d_o/2)/J = 493929·20/235619 = 41,93 MPa

Odpowiedź

τ_max = 41,93 MPa

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_A = −122,5 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Zostaw część ze swobodnym końcem

P: −40·2,5 = −100 kN·m

w: −5·3²/2 = −22,5 kN·m

M_A = −100 − 22,5 = −122,5 kN·m

Odpowiedź

M_A = −122,5 kN·m

Wartość ujemna oznacza moment ujemny: rozciągane są górne włókna.

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: B (x = 2 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 86,67 kN, R₂ = 13,33 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = −120 kN·m, M_C = −66,67, M_D = −63,33, M_E = −60, M_F = −30, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt B: M_B = −120 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: S_x = 604,9 × 10³ mm³

Moment bezwładności: dla prostokąta względem własnej osi centralnej I = bh³/12, a względem podstawy bh³/3 (twierdzenie Steinera I = I_c + A·d²). Otwór uwzględnia się, odejmując jego I, o ile obie części odnoszą się do tej samej osi. Sprężysty wskaźnik wytrzymałości to S = I/c, gdzie c jest odległością do skrajnych włókien.

Prostokąt zewnętrzny minus dwa boczne wycięcia

Oba wycięcia razem mają szerokość (B − t_w) i wysokość h_w = H − 2t_f oraz wspólną oś x.

h_w = 300 − 2·12 = 276 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (140·300³ − 128·276³)/12

I_x = 9,074 × 10⁷ mm⁴

Wskaźnik wytrzymałości przekroju

c = H/2 = 150 mm

S_x = I/c = 9,074 × 10⁷/150

S_x = 604919 mm³ = 604,9 × 10³ mm³

Odpowiedź

S_x = 604,9 × 10³ mm³

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 39,59 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (22500·75 − 2400·45)/(22500 − 2400) = 78,58 mm

Pełna płyta względem ȳ

150·150³/12 + 22500·−3,582² = 42,48 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

80·30³/12 + 2400·−33,58² = 2,887 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 39,59 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 39,59 × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: θ_s = −82,98 °

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Kąt na kole

Na kole Mohra najwyższy punkt (+R) jest odległy o 90° od punktu głównego σ₁; na elemencie odpowiada to 45°.

cos 2θ_s = −60/61,85 = −0,9701, sin 2θ_s = −15/61,85 = −0,2425

2θ_s = atan2(−15, −60) = −166°

Kąt na elemencie

θ_s = −82,98°

sprawdzenie: θ_s − θ_p = −82,98 − (−37,98) = −45°

Odpowiedź

θ_s = −82,98°

Kąty dodatnie mierzy się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_θ = −68,07 MPa

Równanie transformacji

σ_θ = −20 + −50·0,1736 + −40·0,9848 = −68,07 MPa

Odpowiedź

σ_θ = −68,07 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_P = 6,957 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 9000 N, a = 2000 mm, b = 4000 mm, L = 6000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Ugięcie pod siłą

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 9000·2000²·4000²/(3·4,6 × 10¹²·6000) = 6,957 mm

Odpowiedź

δ_P = 6,957 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: I_req = 172,6 × 10⁶ mm⁴

Warunek ugięcia

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·3000⁴/(384·11000·8,333) = 1,726 × 10⁸ mm⁴

I_req = 172,6 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_req = 172,6 × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 55,56 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 2·2500 = 5000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/5000² = 55563 N = 55,56 kN

Odpowiedź

P_cr = 55,56 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 55,02 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 2·145000 = 290000 N

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·290000·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 55,02 mm

Odpowiedź

d = 55,02 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 127,2, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials