Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Pręt (materiał: stal, średnica 40 mm, E = 200 GPa) znajduje się wewnątrz rury (materiał: mosiądz, średnica zewnętrzna 120 mm, średnica wewnętrzna 70 mm, E = 100 GPa). Oba mają długość 300 mm i są razem ściskane między sztywnymi płytami siłą 250 kN. Wyznacz skrócenie δ.

P = 250 kNpręt: Ø40 mm, E = 200 GParura: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz największe naprężenie normalne σ_max w pręcie.

P = 70 kNodcinek 1: Ø30 mm, 1 m, stal (E = 200 GPa)odcinek 2: Ø20 mm, 0,5 m, stal (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Skręcanie wałówŚredni

Drążony wał (stal) (średnica zewnętrzna 75 mm, wewnętrzna 56 mm, długość 1 m) jest utwierdzony na jednym końcu i skręcany momentem 2000 N·m na drugim. Wyznacz kąt skręcenia φ w stopniach.

T = 2000 N·md_o = 75 mmd_i = 56 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Wał drążony ma przenosić moc 10 kW przy 3000 rpm. Jego średnica wewnętrzna ma wynosić 0,5 średnicy zewnętrznej, a naprężenie styczne nie może przekroczyć 40 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę zewnętrzną d_o.

P = 10 kWN = 3000 rpmd_i/d_o = 0,5τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

30 kN @ 6 m4 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone na części rozpiętości. Wyznacz odległość x₀ od A do przekroju, w którym moment zginający jest największy.

L = 10 mw = 4 kN/m od 0 do 9 m

x₀ = m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 240 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Płyta 150 mm × 240 mm ma prostokątne wycięcie o szerokości 50 mm i wysokości 30 mm, umieszczone na pionowej osi symetrii, ze środkiem 168 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 150 mmh = 240 mmwycięcie: 50 × 30 mmśrodek otworu: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 50 MPa, σᵧ = −10 MPa i τₓᵧ = −60 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz kąt θ_p od osi x do kierunku największego naprężenia głównego, z przedziału od −90° do 90°.

σ_x = 50 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_p = °

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

Cienkościenny zbiornik cylindryczny o średnicy wewnętrznej 400 mm i grubości ścianki 10 mm zawiera gaz pod nadciśnieniem 1,2 MPa. Wykonano go z blachy spawanej wzdłuż spoiny śrubowej nachylonej pod kątem 55° do osi walca. Wyznacz naprężenie normalne σ_n działające w poprzek spoiny.

D = 400 mmt = 10 mmp = 1,2 MPaα = 55°

σ_n = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz kąt obrotu θ_A belki na podporze A, w radianach.

w = 4 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi siłę skupioną P w odległości b = 2 m od podpory B. Wyznacz maksymalne ugięcie δ_max belki.

P = 3 kNb = 2 mL = 8 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest przegubowo podparty na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Ma przenieść 60 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 3 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 60 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (stal)

d = mm

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 0,07519 mm

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Łączna sztywność osiowa

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·7461 = 9,975 × 10⁸ N

Skrócenie

δ = 250000·300/9,975 × 10⁸ = 0,07519 mm

Odpowiedź

δ = 0,07519 mm

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: σ_max = 222,8 MPa

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 99,03 MPa

σ₂ = 222,8 MPa

Największe naprężenie

Cieńszy odcinek ma mniejsze pole, więc przenosi większe naprężenie.

σ_max = 222,8 MPa

Odpowiedź

σ_max = 222,8 MPa

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 0,6691 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π(75⁴ − 56⁴)/32 = 2,141 × 10⁶ mm⁴

Kąt skręcenia

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·1000/(80000·2,141 × 10⁶) = 0,01168 rad

φ = 0,01168·180/π = 0,6691°

Odpowiedź

φ = 0,6691°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d_o = 16,29 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 10000/314,2 = 31,83 N·m

Średnica zewnętrzna z naprężenia dopuszczalnego

T = 31,83 N·m = 31831 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·31831/(π·40·0,9375)) = 16,29 mm

d_i = 0,5·16,29 = 8,145 mm

Odpowiedź

d_o = 16,29 mm

Wał pełny wymagałby d = 15,94 mm; drążony jest nieco większy, ale znacznie lżejszy.

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: D (x = 6 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 31 kN, R₂ = 31 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 62, M_C = 116, M_D = 154 kN·m, M_E = 116, M_F = 62, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt D: M_D = 154 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: x₀ = 4,95 m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 4·9 = 36 kN, przyłożona w x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 4·9·4,5

R_B = 162/10 = 16,2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 16,2 = 19,8 kN

Zerowa siła tnąca

Siła tnąca zaczyna od R_A, jest stała na każdym nieobciążonym odcinku i maleje z nachyleniem w wewnątrz obciążenia.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 19,8/4 = 4,95 m

Odpowiedź

x₀ = 4,95 m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 18,2 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 240·15 = 3600 mm², y_f = 200 + 15/2 = 207,5 mm

środnik: A_w = 8·200 = 1600 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·207,5 + 1600·100)/5200 = 174,4 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 240·15³/12 + 3600·(207,5 − 174,4)² = 4,006 × 10⁶ mm⁴

środnik: 8·200³/12 + 1600·(100 − 174,4)² = 1,42 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,006 × 10⁶ + 1,42 × 10⁷ = 1,82 × 10⁷ mm⁴ = 18,2 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 18,2 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 169,1 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (36000·120 − 1500·168)/(36000 − 1500) = 117,9 mm

Pełna płyta względem ȳ

150·240³/12 + 36000·2,087² = 173 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

50·30³/12 + 1500·50,09² = 3,876 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 169,1 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 169,1 × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: θ_p = −31,72 °

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Kąt na kole

Na kole Mohra punkt x leży pod kątem 2θp od osi σ; ćwiartka wynika ze znaków σₓ − σᵧ i τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−60, 50 − −10) = −63,43°

Kąt na elemencie

θ_p = −31,72°

Odpowiedź

θ_p = −31,72°

Kąty dodatnie mierzy się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_n = 15,95 MPa

Naprężenia w ściance

r = 400/2 = 200 mm

σ_h = pr/t = 1,2·200/10 = 24 MPa

σ_a = pr/(2t) = 12 MPa

Transformacja na kierunek spoiny

Przyjmij oś x wzdłuż osi walca (σ_a), a oś y po obwodzie (σ_h). Normalna spoiny tworzy z osią kąt 90° − α.

σ_n = 12·sin²55° + 24·cos²55° = 15,95 MPa

Odpowiedź

σ_n = 15,95 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: θ_A = 0,004286 rad

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja). Kąt obrotu θ = dv/dx to pierwsza całka z M/(EI); w spójnych jednostkach wychodzi w radianach.

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 6000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Kąt obrotu końca

θ_A = wL³/(24EI) = 4·6000³/(24·8,4 × 10¹²) = 0,004286 rad

Odpowiedź

θ_A = 0,004286 rad

To 0,2456°.

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 8,873 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 3000 N, b = 2000 mm, L = 8000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Położenie maksimum

Przyrównanie kąta obrotu na dłuższym odcinku do zera daje położenie.

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 2000²)/3) = 4472 mm

Maksymalne ugięcie

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 8,873 mm

Odpowiedź

δ_max = 8,873 mm

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 11,51 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 1·4000 = 4000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·266667/4000² = 11515 N = 11,51 kN

Odpowiedź

P_cr = 11,51 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 73,84 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 3·60000 = 180000 N

KL = 2·2000 = 4000 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 73,84 mm

Odpowiedź

d = 73,84 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 216,7, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials