Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz odkształcenie osiowe ε w pręcie (stal), w mikroodkształceniach (µε = 10⁻⁶).

P = 10 kNd = 30 mmL = 1,5 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz największe naprężenie normalne σ_max w pręcie.

P = 25 kNodcinek 1: Ø30 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)odcinek 2: Ø20 mm, 1,5 m, stal (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (mosiądz) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 100 N·md = 50 mmL = 3 mG = 39 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał (stal) o średnicy 60 mm jest utwierdzony w A. Moment skręcający 750 N·m działa w B, w odległości 1,2 m od A, a moment 500 N·m o tym samym kierunku działa na swobodnym końcu C, o 2 m dalej. Wyznacz wartość kąta skręcenia φ_C końca C w stopniach.

d = 60 mmT_B = 750 N·mT_C = 500 N·mAB = 1,2 mBC = 2 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

25 kN @ 6 m8 kN/m, 4–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości oraz siłę skupioną P. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 6 mP = 60 kN w 1 mw = 2 kN/m od 0 do 6 m

M_max = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Symetryczny dwuteownik ma półki o szerokości 190 mm i grubości 16 mm, wysokość całkowitą 320 mm i środnik o grubości 8 mm. Wyznacz jego sprężysty wskaźnik wytrzymałości S_x przy zginaniu względem poziomej osi centralnej x.

B = 190 mmH = 320 mmt_f = 16 mmt_w = 8 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 5 kN·m. Wyznacz naprężenie od zginania σ_dół na dolnej krawędzi.

b_f = 300 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 180 mmM = 5 kN·m

σ_dół = MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

Punkt cienkiej płyty jest w płaskim stanie naprężenia: σₓ = 130 MPa, σᵧ = 20 MPa i τₓᵧ = 10 MPa, przy σ_z = 0. Wyznacz bezwzględne maksymalne naprężenie styczne τ_abs w tym punkcie (z uwzględnieniem wszystkich płaszczyzn w trzech wymiarach).

σ_x = 130 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 10 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

Punkt cienkiej płyty jest w płaskim stanie naprężenia: σₓ = −70 MPa, σᵧ = −80 MPa i τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0). Wyznacz naprężenie zastępcze σ_vM według hipotezy Hubera-Misesa.

σ_x = −70 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 10 MPa

σ_vM = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Wspornik o długości L jest utwierdzony w A i przenosi siłę skupioną P w odległości a = 1 m od A. Wyznacz ugięcie δ_B swobodnego końca B.

P = 16 kNa = 1 mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka drewniana swobodnie podparta o przekroju prostokątnym i szerokości 150 mm przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Jej ugięcie w środku rozpiętości nie może przekroczyć rozpiętość/300. Wyznacz najmniejszą wysokość h_req przekroju.

w = 2 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)b = 150 mm

h_req = mm

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (stal)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 2,5 mE = 200 GPa (stal)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: ε = 70,74 µε

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 10·1000/706,9 = 14,15 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for stal = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 14,15/200000 = 7,074 × 10⁻⁵ = 70,74 µε

Odpowiedź

ε = 70,74 µε

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: σ_max = 79,58 MPa

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 35,37 MPa

σ₂ = 79,58 MPa

Największe naprężenie

Cieńszy odcinek ma mniejsze pole, więc przenosi większe naprężenie.

σ_max = 79,58 MPa

Odpowiedź

σ_max = 79,58 MPa

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 0,7183 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 100·1000·3000/(39000·613592) = 0,01254 rad

φ = 0,01254·180/π = 0,7183°

Odpowiedź

φ = 0,7183°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ_C = 1,407 °

Momenty wewnętrzne

Zwrot T_C przyjęty jako dodatni.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C + T_B = 500 + 750 = 1250 N·m

Kąt skręcenia każdego odcinka

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 1,25 × 10⁶·1200/(80000·1,272 × 10⁶) = 0,01474 rad

φ_BC = 500000·2000/(80000·1,272 × 10⁶) = 0,009824 rad

Kąt skręcenia końca C

φ_C = 0,01474 + 0,009824 = 0,02456 rad → |φ_C| = 1,407°

Odpowiedź

φ_C = 1,407°

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: D (x = 6 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 32,5 kN, R₂ = 40,5 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 65, M_C = 130, M_D = 179 kN·m, M_E = 146, M_F = 81, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt D: M_D = 179 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 55 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·1 + 2·6·3

R_B = 96/6 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 16 = 56 kN

Gdzie V = 0?

V(1⁻) = R_A − w·1 = 54 kN

V(1⁺) = 54 − 60 = −6 kN

Siła tnąca zmienia znak w obrębie obciążenia, więc maksimum leży pod obciążeniem.

Moment maksymalny

M_max = R_A·1 − w·1²/2 = 56·1 − 2·1²/2 = 55 kN·m

Odpowiedź

M_max = 55 kN·m

Występuje w x = 1 m od A.

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: S_x = 978,3 × 10³ mm³

Moment bezwładności: dla prostokąta względem własnej osi centralnej I = bh³/12, a względem podstawy bh³/3 (twierdzenie Steinera I = I_c + A·d²). Otwór uwzględnia się, odejmując jego I, o ile obie części odnoszą się do tej samej osi. Sprężysty wskaźnik wytrzymałości to S = I/c, gdzie c jest odległością do skrajnych włókien.

Prostokąt zewnętrzny minus dwa boczne wycięcia

Oba wycięcia razem mają szerokość (B − t_w) i wysokość h_w = H − 2t_f oraz wspólną oś x.

h_w = 320 − 2·16 = 288 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (190·320³ − 182·288³)/12

I_x = 1,565 × 10⁸ mm⁴

Wskaźnik wytrzymałości przekroju

c = H/2 = 160 mm

S_x = I/c = 1,565 × 10⁸/160

S_x = 978295 mm³ = 978,3 × 10³ mm³

Odpowiedź

S_x = 978,3 × 10³ mm³

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_dół = 42,24 MPa

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 300·10 = 3000 mm², y_f = 180 + 10/2 = 185 mm

środnik: A_w = 12·180 = 2160 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·185 + 2160·90)/5160 = 145,2 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 300·10³/12 + 3000·(185 − 145,2)² = 4,769 × 10⁶ mm⁴

środnik: 12·180³/12 + 2160·(90 − 145,2)² = 1,242 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,769 × 10⁶ + 1,242 × 10⁷ = 1,719 × 10⁷ mm⁴

Naprężenie od zginania

Dolna krawędź jest w odległości ȳ od osi.

y = 145,2 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·145,2/1,719 × 10⁷ = 42,24 MPa

Odpowiedź

σ_dół = 42,24 MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_abs = 65,45 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R. W trzech wymiarach bezwzględne maksymalne naprężenie styczne wynosi (σ_max − σ_min)/2 ze wszystkich trzech naprężeń głównych; w płaskim stanie naprężenia trzecie jest równe zeru.

Naprężenia główne w płaszczyźnie

C = 75 MPa, R = √(55² + 10²) = 55,9 MPa

σ₁ = 130,9 MPa, σ₂ = 19,1 MPa, σ_z = 0

Największe z trzech kół

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(111,8, 130,9, 19,1)/2 = 65,45 MPa

Odpowiedź

τ_abs = 65,45 MPa

Tutaj decyduje koło spoza płaszczyzny: maksimum bezwzględne jest większe niż maksimum w płaszczyźnie R.

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_vM = 77,46 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R. Hipotezy wytężeniowe: według hipotezy Hubera-Misesa uplastycznienie następuje, gdy σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) osiąga σ_Y; według hipotezy Tresci, gdy bezwzględne maksymalne naprężenie styczne osiąga σ_Y/2.

Naprężenia główne

C = −75 MPa, R = 11,18 MPa

σ₁ = −63,82 MPa, σ₂ = −86,18 MPa, σ₃ = 0

Huber-Mises

σ_vM = √((−63,82)² − (−63,82)·(−86,18) + (−86,18)²) = 77,46 MPa

Odpowiedź

σ_vM = 77,46 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_B = 11,64 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 16000 N, a = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Ugięcie swobodnego końca

Ugięcie pod siłą plus kąt obrotu pod siłą razy pozostała długość.

δ_P = Pa³/(3EI) = 2,116 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,003175 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 11,64 mm

Odpowiedź

δ_B = 11,64 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: h_req = 230,7 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Warunek ugięcia

δ_allow = L/300 = 6000/300 = 20 mm

Wymagany moment bezwładności

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·6000⁴/(384·11000·20) = 1,534 × 10⁸ mm⁴

Wymagana wysokość

bh³/12 = I_req → h = (12·1,534 × 10⁸/150)^1/3 = 230,7 mm

Odpowiedź

h_req = 230,7 mm

W praktyce wybierz najbliższą większą wysokość znormalizowaną.

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 900 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/2100² = 899955 N = 900 kN

Odpowiedź

P_cr = 900 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 17,77 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/7,5 = 333,3

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/333,3² = 17,77 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 17,77 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials