Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz wydłużenie δ pręta (stal) pod obciążeniem osiowym.

P = 110 kNd = 30 mmL = 1 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz największe naprężenie normalne σ_max w pręcie.

P = 20 kNodcinek 1: Ø25 mm, 2 m, mosiądz (E = 100 GPa)odcinek 2: Ø20 mm, 1,5 m, stal (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (stal) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 500 N·md = 25 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Wał drążony ma przenosić moc 50 kW przy 500 rpm. Jego średnica wewnętrzna ma wynosić 0,8 średnicy zewnętrznej, a naprężenie styczne nie może przekroczyć 50 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę zewnętrzną d_o.

P = 50 kWN = 500 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 3 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mw = 12 kN/m od 0 do 6 mx = 3 m

M_x = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

40 kN @ 12 m45 kN @ 4 m4 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Ceownik leży otwartą stroną do góry: płaskownik podstawy o szerokości 180 mm z dwoma pionowymi ramionami, o całkowitej wysokości 170 mm. Podstawa i ramiona mają grubość 12 mm. Wyznacz jego moment bezwładności I_x względem poziomej osi x przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 180 mmh = 170 mmt = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 30 kN·m. Wyznacz naprężenie od zginania σ_dół na dolnej krawędzi.

b_f = 160 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 240 mmM = 30 kN·m

σ_dół = MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 90 MPa, σᵧ = 50 MPa i τₓᵧ = 20 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz maksymalne naprężenie styczne w płaszczyźnie τ_max.

σ_x = 90 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 20 MPa

τ_max = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = −50 MPa, σᵧ = 10 MPa i τₓᵧ = −30 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie normalne σ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 30° zgodnie z ruchem wskazówek zegara względem osi x.

σ_x = −50 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −30 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz maksymalne ugięcie δ_max w środku rozpiętości.

w = 8 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności I_req, który spełnia ten warunek.

w = 6 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (stal)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest przegubowo podparty na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 2 mE = 200 GPa (stal)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 0,7781 mm

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 110·1000/706,9 = 155,6 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for stal = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 155,6/200000 = 0,0007781 = 778,1 µε

Wydłużenie

δ = ε·L = 0,0007781·1000 mm = 0,7781 mm

Odpowiedź

δ = 0,7781 mm

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: σ_max = 63,66 MPa

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 40,74 MPa

σ₂ = 63,66 MPa

Największe naprężenie

Cieńszy odcinek ma mniejsze pole, więc przenosi większe naprężenie.

σ_max = 63,66 MPa

Odpowiedź

σ_max = 63,66 MPa

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 23,34 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 500·1000·2500/(80000·38350) = 0,4074 rad

φ = 0,4074·180/π = 23,34°

Odpowiedź

φ = 23,34°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d_o = 54,82 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 50000/52,36 = 954,9 N·m

Średnica zewnętrzna z naprężenia dopuszczalnego

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·954930/(π·50·0,5904)) = 54,82 mm

d_i = 0,8·54,82 = 43,86 mm

Odpowiedź

d_o = 54,82 mm

Wał pełny wymagałby d = 45,99 mm; drążony jest nieco większy, ale znacznie lżejszy.

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 54 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 12·6·3

R_B = 216/6 = 36 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 36 = 36 kN

Przetnij w x = 3 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 36·3 − 12·3·1,5 = 54 kN·m

Odpowiedź

M_x = 54 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: C (x = 4 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 39 kN, R₂ = 86 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 70, M_C = 124 kN·m, M_D = 72, M_E = 4, M_F = −80, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt C: M_C = 124 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 17,86 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na prostokąty

Przyjmij podstawę na pełnej szerokości i dwa ramiona nad nią (wysokość h − t), aby nic nie liczyć dwa razy.

baza: A₁ = 180·12 = 2160 mm², y₁ = 6 mm

dwa ramiona: A₂ = 2·12·158 = 3792 mm², y₂ = 12 + 158/2 = 91 mm

Środek ciężkości

ȳ = (2160·6 + 3792·91)/5952 = 60,15 mm

Twierdzenie Steinera

baza: 180·12³/12 + 2160·(6 − 60,15)² = 6,36 × 10⁶ mm⁴

dwa ramiona: 2·12·158³/12 + 3792·(91 − 60,15)² = 1,15 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,36 × 10⁶ + 1,15 × 10⁷

I_x = 1,786 × 10⁷ mm⁴ = 17,86 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 17,86 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_dół = 153,5 MPa

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 160·30 = 4800 mm², y_f = 240 + 30/2 = 255 mm

środnik: A_w = 10·240 = 2400 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·255 + 2400·120)/7200 = 210 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 160·30³/12 + 4800·(255 − 210)² = 1,008 × 10⁷ mm⁴

środnik: 10·240³/12 + 2400·(120 − 210)² = 3,096 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,008 × 10⁷ + 3,096 × 10⁷ = 4,104 × 10⁷ mm⁴

Naprężenie od zginania

Dolna krawędź jest w odległości ȳ od osi.

y = 210 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·210/4,104 × 10⁷ = 153,5 MPa

Odpowiedź

σ_dół = 153,5 MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_max = 28,28 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Promień koła Mohra

τ_max = R = √(((90 − 50)/2)² + 20²) = 28,28 MPa

Odpowiedź

τ_max = 28,28 MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_θ = −9,019 MPa

Równanie transformacji

σ_θ = −20 + −30·0,5 + −30·−0,866 = −9,019 MPa

Odpowiedź

σ_θ = −9,019 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 40,44 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Ugięcie

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·5000⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 40,44 mm

Odpowiedź

δ_max = 40,44 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: I_req = 9 × 10⁶ mm⁴

Warunek ugięcia

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·4000⁴/(384·200000·11,11) = 9 × 10⁶ mm⁴

I_req = 9 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_req = 9 × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 11,51 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 1·2000 = 2000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·66667/2000² = 11515 N = 11,51 kN

Odpowiedź

P_cr = 11,51 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 49,35 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/10 = 200

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 49,35 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials