Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz wydłużenie δ pręta (miedź) pod obciążeniem osiowym.

P = 50 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz największe naprężenie normalne σ_max w pręcie.

P = 80 kNodcinek 1: Ø40 mm, 0,5 m, mosiądz (E = 100 GPa)odcinek 2: Ø12 mm, 1 m, miedź (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (aluminium) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 200 N·md = 40 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał (mosiądz) o średnicy 25 mm jest utwierdzony w A. Moment skręcający 100 N·m działa w B, w odległości 2,5 m od A, a moment 500 N·m o przeciwnym kierunku działa na swobodnym końcu C, o 1,2 m dalej. Wyznacz maksymalne naprężenie styczne τ_max w wale.

d = 25 mmT_B = 100 N·mT_C = 500 N·mAB = 2,5 mBC = 1,2 m

τ_max = MPa

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 5,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 10 mw = 6 kN/m od 0 do 10 mx = 5,5 m

M_x = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

45 kN @ 0 m10 kN @ 12 m45 kN @ 6 m5 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 30 kN·m. Wyznacz naprężenie od zginania σ_dół na dolnej krawędzi.

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 140 mmM = 30 kN·m

σ_dół = MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 140 MPa, σᵧ = 70 MPa i τₓᵧ = 50 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz maksymalne naprężenie styczne w płaszczyźnie τ_max.

σ_x = 140 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = −60 MPa, σᵧ = 120 MPa i τₓᵧ = −20 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie normalne σ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 15° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem osi x.

σ_x = −60 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz kąt obrotu θ_A belki na podporze A, w radianach.

w = 6 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 12 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi siłę skupioną P w odległości b = 3,5 m od podpory B. Wyznacz maksymalne ugięcie δ_max belki.

P = 16 kNb = 3,5 mL = 8 mE = 200 GPa (stal)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 0,3023 mm

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 50·1000/706,9 = 70,74 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for miedź = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 70,74/117000 = 0,0006046 = 604,6 µε

Wydłużenie

δ = ε·L = 0,0006046·500 mm = 0,3023 mm

Odpowiedź

δ = 0,3023 mm

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: σ_max = 707,4 MPa

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 63,66 MPa

σ₂ = 707,4 MPa

Największe naprężenie

Cieńszy odcinek ma mniejsze pole, więc przenosi większe naprężenie.

σ_max = 707,4 MPa

Odpowiedź

σ_max = 707,4 MPa

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 3,507 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2000/(26000·251327) = 0,06121 rad

φ = 0,06121·180/π = 3,507°

Odpowiedź

φ = 3,507°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: τ_max = 163 MPa

Momenty wewnętrzne

Zwrot T_C przyjęty jako dodatni.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 500 − 100 = 400 N·m

Maksymalne naprężenie styczne

Największe naprężenie ma odcinek z największym momentem wewnętrznym (ta sama średnica).

|T|_max = 500 N·m

τ_max = 16·500000/(π·25³) = 163 MPa

Odpowiedź

τ_max = 163 MPa

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 74,25 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, przyłożona w x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 6·10·5

R_B = 300/10 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Przetnij w x = 5,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 30·5,5 − 6·5,5·2,75 = 74,25 kN·m

Odpowiedź

M_x = 74,25 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: B (x = 2 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 96,25 kN, R₂ = 43,75 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = −90 kN·m, M_C = 2,5, M_D = 75, M_E = 37,5, M_F = −20, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt B: M_B = −90 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 22,27 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 280·10 = 2800 mm², y_f = 200 + 10/2 = 205 mm

środnik: A_w = 12·200 = 2400 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·205 + 2400·100)/5200 = 156,5 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 280·10³/12 + 2800·(205 − 156,5)² = 6,599 × 10⁶ mm⁴

środnik: 12·200³/12 + 2400·(100 − 156,5)² = 1,567 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,599 × 10⁶ + 1,567 × 10⁷ = 2,227 × 10⁷ mm⁴ = 22,27 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 22,27 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_dół = 247,8 MPa

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 200·15 = 3000 mm², y_f = 140 + 15/2 = 147,5 mm

środnik: A_w = 20·140 = 2800 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·147,5 + 2800·70)/5800 = 110,1 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 200·15³/12 + 3000·(147,5 − 110,1)² = 4,256 × 10⁶ mm⁴

środnik: 20·140³/12 + 2800·(70 − 110,1)² = 9,073 × 10⁶ mm⁴

I_x = 4,256 × 10⁶ + 9,073 × 10⁶ = 1,333 × 10⁷ mm⁴

Naprężenie od zginania

Dolna krawędź jest w odległości ȳ od osi.

y = 110,1 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·110,1/1,333 × 10⁷ = 247,8 MPa

Odpowiedź

σ_dół = 247,8 MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_max = 61,03 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Promień koła Mohra

τ_max = R = √(((140 − 70)/2)² + 50²) = 61,03 MPa

Odpowiedź

τ_max = 61,03 MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_θ = −57,94 MPa

Równanie transformacji

σ_θ = 30 + −90·0,866 + −20·0,5 = −57,94 MPa

Odpowiedź

σ_θ = −57,94 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: θ_A = 0,01905 rad

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja). Kąt obrotu θ = dv/dx to pierwsza całka z M/(EI); w spójnych jednostkach wychodzi w radianach.

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 4000 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Kąt obrotu końca

θ_A = wL³/(24EI) = 6·4000³/(24·8,4 × 10¹¹) = 0,01905 rad

Odpowiedź

θ_A = 0,01905 rad

To 1,091°.

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 14,66 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 16000 N, b = 3500 mm, L = 8000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Położenie maksimum

Przyrównanie kąta obrotu na dłuższym odcinku do zera daje położenie.

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 3500²)/3) = 4153 mm

Maksymalne ugięcie

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 14,66 mm

Odpowiedź

δ_max = 14,66 mm

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 8,636 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 2·1500 = 3000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/3000² = 8636 N = 8,636 kN

Odpowiedź

P_cr = 8,636 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 11,99 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/12,5 = 240

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/240² = 11,99 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 11,99 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials