Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Pręt (materiał: stal, średnica 25 mm, E = 200 GPa) znajduje się wewnątrz rury (materiał: miedź, średnica zewnętrzna 120 mm, średnica wewnętrzna 60 mm, E = 120 GPa). Oba mają długość 500 mm i są razem ściskane między sztywnymi płytami siłą 80 kN. Wyznacz skrócenie δ.

P = 80 kNpręt: Ø25 mm, E = 200 GParura: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt (materiał: stal, średnica 40 mm, E = 200 GPa, naprężenie dopuszczalne 160 MPa) znajduje się wewnątrz rury (materiał: miedź, średnica zewnętrzna 120 mm, średnica wewnętrzna 50 mm, E = 120 GPa, naprężenie dopuszczalne 100 MPa). Są razem ściskane między sztywnymi płytami. Wyznacz największe obciążenie P_max.

pręt: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MParura: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.Skręcanie wałówŚredni

W próbie skręcania pełna próbka o średnicy 12 mm jest skręcana momentem 75 N·m. Końce odcinka pomiarowego o długości 250 mm obracają się względem siebie o 13,53° (materiał jest jeszcze w zakresie sprężystym). Wyznacz moduł sprężystości postaciowej G materiału.

T = 75 N·md = 12 mmL = 250 mmφ = 13,53°

G = GPa

4.Skręcanie wałówTrudny

Wał drążony ma przenosić moc 20 kW przy 1800 rpm. Jego średnica wewnętrzna ma wynosić 0,7 średnicy zewnętrznej, a naprężenie styczne nie może przekroczyć 75 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę zewnętrzną d_o.

P = 20 kWN = 1800 rpmd_i/d_o = 0,7τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 1,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 4 mw = 6 kN/m od 0 do 4 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

40 kN @ 0 m60 kN @ 12 m10 kN @ 6 m4 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Płyta 150 mm × 200 mm ma okrągły otwór o średnicy 50 mm na pionowej osi symetrii, ze środkiem 140 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 150 mmh = 200 mmd = 50 mmśrodek otworu: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 40 kN·m. Wyznacz wartość naprężenia od zginania σ_góra na górnej krawędzi.

b_f = 160 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 180 mmM = 40 kN·m

σ_góra = MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 70 MPa, σᵧ = −80 MPa i τₓᵧ = −50 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz maksymalne naprężenie styczne w płaszczyźnie τ_max.

σ_x = 70 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −50 MPa

τ_max = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 60 MPa, σᵧ = 110 MPa i τₓᵧ = −60 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie styczne τ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 50° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem osi x (dodatnie w tym samym sensie co τₓᵧ).

σ_x = 60 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 50°

τ_θ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz maksymalne ugięcie δ_max w środku rozpiętości.

w = 2 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności I_req, który spełnia ten warunek.

w = 8 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (stal)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Ma przenieść 70 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 3 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 70 kNn = 3L = 2,5 mE = 200 GPa (stal)

d = mm

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 0,03584 mm

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Łączna sztywność osiowa

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·8482 = 1,116 × 10⁹ N

Skrócenie

δ = 80000·500/1,116 × 10⁹ = 0,03584 mm

Odpowiedź

δ = 0,03584 mm

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: P_max = 1098 kN

Pola

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Łączna sztywność osiowa

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·9346 = 1,373 × 10⁹ N

Decydujące odkształcenie

ε = min(0,0008, 0,0008333) = 0,0008 (stal)

Największe obciążenie

P_max = 0,0008·1,373 × 10⁹ = 1,098 × 10⁶ N = 1098 kN

Odpowiedź

P_max = 1098 kN

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: G = 39 GPa

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności i kąt

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 13,53·π/180 = 0,2361 rad

Moduł sprężystości poprzecznej

T = 75 N·m = 75000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 75000·250/(2036·0,2361) = 39003 MPa

G = 39 GPa

Odpowiedź

G = 39 GPa

Porównaj: stal ≈ 80 GPa, mosiądz ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d_o = 21,17 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 20000/188,5 = 106,1 N·m

Średnica zewnętrzna z naprężenia dopuszczalnego

T = 106,1 N·m = 106103 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·106103/(π·75·0,7599)) = 21,17 mm

d_i = 0,7·21,17 = 14,82 mm

Odpowiedź

d_o = 21,17 mm

Wał pełny wymagałby d = 19,31 mm; drążony jest nieco większy, ale znacznie lżejszy.

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 11,25 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, przyłożona w x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 6·4·2

R_B = 48/4 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

Przetnij w x = 1,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 12·1,5 − 6·1,5·0,75 = 11,25 kN·m

Odpowiedź

M_x = 11,25 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: E (x = 8 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 28,67 kN, R₂ = 105,3 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = −80, M_C = −110,7, M_D = −157,3, M_E = −240 kN·m, M_F = −120, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt E: M_E = −240 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 96,33 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (30000·100 − 1963·140)/(30000 − 1963) = 97,2 mm

Pełna płyta względem ȳ

150·200³/12 + 30000·2,801² = 100,2 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

π·50⁴/64 + 1963·42,8² = 3,904 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 96,33 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 96,33 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_góra = 134,3 MPa

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 160·15 = 2400 mm², y_f = 180 + 15/2 = 187,5 mm

środnik: A_w = 10·180 = 1800 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·187,5 + 1800·90)/4200 = 145,7 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 160·15³/12 + 2400·(187,5 − 145,7)² = 4,236 × 10⁶ mm⁴

środnik: 10·180³/12 + 1800·(90 − 145,7)² = 1,045 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,236 × 10⁶ + 1,045 × 10⁷ = 1,468 × 10⁷ mm⁴

Naprężenie od zginania

Górna krawędź jest w odległości h − ȳ od osi.

y = 195 − 145,7 = 49,29 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·49,29/1,468 × 10⁷ = 134,3 MPa

Odpowiedź

σ_góra = 134,3 MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_max = 90,14 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Promień koła Mohra

τ_max = R = √(((70 − −80)/2)² + −50²) = 90,14 MPa

Odpowiedź

τ_max = 90,14 MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_θ = 35,04 MPa

Równanie transformacji

τ_θ = −−25·0,9848 + −60·−0,1736 = 35,04 MPa

Odpowiedź

τ_θ = 35,04 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 56,72 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 6000 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Ugięcie

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·6000⁴/(384·5,95 × 10¹¹) = 56,72 mm

Odpowiedź

δ_max = 56,72 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: I_req = 53,27 × 10⁶ mm⁴

Warunek ugięcia

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·2500⁴/(384·11000·6,944) = 5,327 × 10⁷ mm⁴

I_req = 53,27 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_req = 53,27 × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 71,19 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/4200² = 71188 N = 71,19 kN

Odpowiedź

P_cr = 71,19 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 85,8 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 3·70000 = 210000 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 85,8 mm

Odpowiedź

d = 85,8 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 233,1, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials