Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Pręt składa się z odcinka (materiał: stal, średnica 20 mm, długość 600 mm, E = 200 GPa) połączonego końcami z odcinkiem (materiał: miedź, średnica 40 mm, długość 500 mm, E = 120 GPa). Jest zamocowany na jednym końcu i rozciągany na drugim. Wyznacz obciążenie osiowe P, które wydłuża go łącznie o 0,3 mm.

odcinek 1: stal, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPaodcinek 2: miedź, Ø40 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt (materiał: stal, średnica 20 mm, E = 200 GPa, naprężenie dopuszczalne 200 MPa) znajduje się wewnątrz rury (materiał: brąz, średnica zewnętrzna 120 mm, średnica wewnętrzna 70 mm, E = 110 GPa, naprężenie dopuszczalne 80 MPa). Są razem ściskane między sztywnymi płytami. Wyznacz największe obciążenie P_max.

pręt: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MParura: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (mosiądz) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 250 N·md = 40 mmL = 1,2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał ma przenosić 100 kW przy 1500 obr/min bez przekroczenia naprężenia stycznego 40 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę d, która wystarczy.

P = 100 kWN = 1500 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Belka opiera się na podporze nieprzesuwnej w A i przesuwnej w B i wystaje poza B o 2 m aż do swobodnego końca C. Przenosi siłę skupioną P₁ między podporami i siłę skupioną P₂ w C. Wyznacz moment zginający M_x pod siłą P₁. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mP₁ = 45 kN w 3 mP₂ = 20 kN w 6 mpodpory w x = 0 i x = 4 m

M_x = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 1,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mP = 30 kN w 1,5 mw = 2 kN/m od 0 do 6 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Ceownik leży otwartą stroną do góry: płaskownik podstawy o szerokości 240 mm z dwoma pionowymi ramionami, o całkowitej wysokości 100 mm. Podstawa i ramiona mają grubość 12 mm. Wyznacz jego moment bezwładności I_x względem poziomej osi x przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 240 mmh = 100 mmt = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 50 kN·m. Wyznacz wartość naprężenia od zginania σ_góra na górnej krawędzi.

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 140 mmM = 50 kN·m

σ_góra = MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = −60 MPa, σᵧ = 100 MPa i τₓᵧ = −40 MPa (rozciąganie dodatnie). Element obrócono o 40° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Wyznacz naprężenie normalne σ_y′ na ściankach obróconego elementu prostopadłych do obróconej osi y′.

σ_x = −60 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 40°

σ_y′ = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

Punkt cienkiej płyty jest w płaskim stanie naprężenia: σₓ = 20 MPa, σᵧ = 70 MPa i τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0). Wyznacz naprężenie zastępcze σ_vM według hipotezy Hubera-Misesa.

σ_x = 20 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 10 MPa

σ_vM = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz maksymalne ugięcie δ_max w środku rozpiętości.

w = 8 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (stal)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi siłę skupioną P w odległości b = 1 m od podpory B. Wyznacz maksymalne ugięcie δ_max belki.

P = 23 kNb = 1 mL = 5 mE = 200 GPa (stal)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (stal)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 5 mE = 200 GPa (stal)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: P = 23,32 kN

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1257 mm²

Podatności

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314,2) = 9,549 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·1257) = 3,316 × 10⁻⁶ mm/N

Obciążenie

P = 0,3/1,287 × 10⁻⁵ = 23319 N = 23,32 kN

Odpowiedź

P = 23,32 kN

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: P_max = 642,6 kN

Pola

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Łączna sztywność osiowa

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·7461 = 8,836 × 10⁸ N

Decydujące odkształcenie

ε = min(0,001, 0,0007273) = 0,0007273 (brąz)

Największe obciążenie

P_max = 0,0007273·8,836 × 10⁸ = 642598 N = 642,6 kN

Odpowiedź

P_max = 642,6 kN

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 1,754 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1200/(39000·251327) = 0,03061 rad

φ = 0,03061·180/π = 1,754°

Odpowiedź

φ = 1,754°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d = 43,28 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 100000/157,1 = 636,6 N·m

Średnica z naprężenia dopuszczalnego

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·636620/(π·40)) = 43,28 mm

Odpowiedź

d = 43,28 mm

W praktyce zaokrągla się w górę do najbliższego wymiaru znormalizowanego.

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 3,75 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki. Siła na wsporniku też daje moment względem A.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·3 + 20·6

R_B = 255/4 = 63,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 63,75 = 1,25 kN

Przekrój pod P₁, zostaw lewą część

M_x = R_A·3 = 1,25·3 = 3,75 kN·m

Odpowiedź

M_x = 3,75 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 40,5 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·1,5 + 2·6·3

R_B = 81/6 = 13,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 42 − 13,5 = 28,5 kN

Przetnij w x = 1,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 28,5·1,5 − 2·1,5·0,75 = 40,5 kN·m

Odpowiedź

M_x = 40,5 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 4,444 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na prostokąty

Przyjmij podstawę na pełnej szerokości i dwa ramiona nad nią (wysokość h − t), aby nic nie liczyć dwa razy.

baza: A₁ = 240·12 = 2880 mm², y₁ = 6 mm

dwa ramiona: A₂ = 2·12·88 = 2112 mm², y₂ = 12 + 88/2 = 56 mm

Środek ciężkości

ȳ = (2880·6 + 2112·56)/4992 = 27,15 mm

Twierdzenie Steinera

baza: 240·12³/12 + 2880·(6 − 27,15)² = 1,323 × 10⁶ mm⁴

dwa ramiona: 2·12·88³/12 + 2112·(56 − 27,15)² = 3,12 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,323 × 10⁶ + 3,12 × 10⁶

I_x = 4,444 × 10⁶ mm⁴ = 4,444 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 4,444 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_góra = 191 MPa

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 280·10 = 2800 mm², y_f = 140 + 10/2 = 145 mm

środnik: A_w = 12·140 = 1680 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·145 + 1680·70)/4480 = 116,9 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 280·10³/12 + 2800·(145 − 116,9)² = 2,238 × 10⁶ mm⁴

środnik: 12·140³/12 + 1680·(70 − 116,9)² = 6,435 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,238 × 10⁶ + 6,435 × 10⁶ = 8,674 × 10⁶ mm⁴

Naprężenie od zginania

Górna krawędź jest w odległości h − ȳ od osi.

y = 150 − 116,9 = 33,13 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·33,13/8,674 × 10⁶ = 191 MPa

Odpowiedź

σ_góra = 191 MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_y′ = 73,28 MPa

Równanie transformacji dla ścianki y′

σ_y′ = 20 − (−80)·0,1736 − (−40)·0,9848 = 73,28 MPa

Sprawdzenie

Suma naprężeń normalnych nie zmienia się przy obrocie.

σ_x′ = −33,28 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 40 = σ_x + σ_y

Odpowiedź

σ_y′ = 73,28 MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_vM = 64,81 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R. Hipotezy wytężeniowe: według hipotezy Hubera-Misesa uplastycznienie następuje, gdy σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) osiąga σ_Y; według hipotezy Tresci, gdy bezwzględne maksymalne naprężenie styczne osiąga σ_Y/2.

Naprężenia główne

C = 45 MPa, R = 26,93 MPa

σ₁ = 71,93 MPa, σ₂ = 18,07 MPa, σ₃ = 0

Huber-Mises

σ_vM = √(71,93² − 71,93·18,07 + 18,07²) = 64,81 MPa

Odpowiedź

σ_vM = 64,81 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 59,26 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 8000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Ugięcie

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·8000⁴/(384·7,2 × 10¹²) = 59,26 mm

Odpowiedź

δ_max = 59,26 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 1,446 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 23000 N, b = 1000 mm, L = 5000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Położenie maksimum

Przyrównanie kąta obrotu na dłuższym odcinku do zera daje położenie.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1000²)/3) = 2828 mm

Maksymalne ugięcie

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 1,446 mm

Odpowiedź

δ_max = 1,446 mm

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 2,984 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/4200² = 2984 N = 2,984 kN

Odpowiedź

P_cr = 2,984 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 4,441 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 1·5000 = 5000 mm

KL/r = 5000/7,5 = 666,7

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/666,7² = 4,441 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 4,441 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials

Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Skręcanie wałów

Metoda

Siła tnąca i moment zginający

Metoda

Środek ciężkości i moment bezwładności

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Metoda

Ugięcie belki

Wyboczenie słupów

2Zadania do ćwiczenia

3Roztwory

Pola

Podatności

Obciążenie

Odpowiedź

Pola

Łączna sztywność osiowa

Decydujące odkształcenie

Największe obciążenie

Odpowiedź

Biegunowy moment bezwładności

Kąt skręcenia

Odpowiedź

Moment skręcający

Średnica z naprężenia dopuszczalnego

Odpowiedź

Reakcje podpór

Przekrój pod P1, zostaw lewą część

Odpowiedź

Reakcje podpór

Przetnij w x = 1,5 m i zostaw lewą część

Odpowiedź

Podziel na prostokąty

Środek ciężkości

Twierdzenie Steinera

Odpowiedź

Podziel na dwa prostokąty

Środek ciężkości

Twierdzenie Steinera

Naprężenie od zginania

Odpowiedź

Równanie transformacji dla ścianki y′

Sprawdzenie

Odpowiedź

Naprężenia główne

Huber-Mises

Odpowiedź

Spójne jednostki

Ugięcie

Odpowiedź

Spójne jednostki

Położenie maksimum

Maksymalne ugięcie

Odpowiedź

Najmniejszy moment bezwładności

Długość wyboczeniowa

Siła krytyczna

Odpowiedź

Najmniejszy moment bezwładności

Promień bezwładności i smukłość

Naprężenie krytyczne

Odpowiedź

Przekrój pod P₁, zostaw lewą część