Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Pręt (materiał: stal, średnica 40 mm, E = 200 GPa) znajduje się wewnątrz rury (materiał: aluminium, średnica zewnętrzna 120 mm, średnica wewnętrzna 50 mm, E = 70 GPa). Oba mają długość 500 mm i są razem ściskane między sztywnymi płytami siłą 50 kN. Wyznacz skrócenie δ.

P = 50 kNpręt: Ø40 mm, E = 200 GParura: Ø120/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz całkowite wydłużenie δ.

P = 95 kNodcinek 1: Ø25 mm, 0,5 m, aluminium (E = 70 GPa)odcinek 2: Ø12 mm, 1,5 m, mosiądz (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (mosiądz) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 100 N·md = 20 mmL = 0,8 mG = 39 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Wał drążony ma przenosić moc 5 kW przy 500 rpm. Jego średnica wewnętrzna ma wynosić 0,8 średnicy zewnętrznej, a naprężenie styczne nie może przekroczyć 50 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę zewnętrzną d_o.

P = 5 kWN = 500 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

25 kN @ 4 m4 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka opiera się na podporze nieprzesuwnej w A i przesuwnej w B i wystaje poza B o 2 m aż do swobodnego końca C. Na całej długości A–C działa obciążenie równomiernie rozłożone w. Wyznacz maksymalny dodatni moment zginający M_max między podporami.

L = 7 mw = 8 kN/m od 0 do 7 mpodpory w x = 0 i x = 5 m

M_max = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 260 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 20 kN·m. Wyznacz naprężenie od zginania σ_dół na dolnej krawędzi.

b_f = 100 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 240 mmM = 20 kN·m

σ_dół = MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

Punkt cienkiej płyty jest w płaskim stanie naprężenia: σₓ = 40 MPa, σᵧ = 10 MPa i τₓᵧ = −60 MPa, przy σ_z = 0. Wyznacz bezwzględne maksymalne naprężenie styczne τ_abs w tym punkcie (z uwzględnieniem wszystkich płaszczyzn w trzech wymiarach).

σ_x = 40 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −60 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = −20 MPa, σᵧ = −10 MPa i τₓᵧ = −50 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie normalne σ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 25° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem osi x.

σ_x = −20 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz maksymalne ugięcie δ_max w środku rozpiętości.

w = 20 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (stal)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności I_req, który spełnia ten warunek.

w = 20 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (stal)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 0,02761 mm

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Łączna sztywność osiowa

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·9346 = 9,056 × 10⁸ N

Skrócenie

δ = 50000·500/9,056 × 10⁸ = 0,02761 mm

Odpowiedź

δ = 0,02761 mm

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 13,98 mm

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 193,5 MPa

σ₂ = 840 MPa

Dodaj wydłużenia odcinków

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 193,5·500/70000 = 1,382 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 840·1500/100000 = 12,6 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 13,98 mm

Odpowiedź

δ = 13,98 mm

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 7,482 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 100·1000·800/(39000·15708) = 0,1306 rad

φ = 0,1306·180/π = 7,482°

Odpowiedź

φ = 7,482°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d_o = 25,45 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 5000/52,36 = 95,49 N·m

Średnica zewnętrzna z naprężenia dopuszczalnego

T = 95,49 N·m = 95493 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·95493/(π·50·0,5904)) = 25,45 mm

d_i = 0,8·25,45 = 20,36 mm

Odpowiedź

d_o = 25,45 mm

Wał pełny wymagałby d = 21,35 mm; drążony jest nieco większy, ale znacznie lżejszy.

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: E (x = 4 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 20,33 kN, R₂ = 28,67 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 18,33, M_C = 32,67, M_D = 43, M_E = 49,33 kN·m, M_F = 26,67, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt E: M_E = 49,33 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 17,64 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki, łącznie z obciążeniem na wsporniku.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 8·7 = 56 kN, przyłożona w x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 8·7·3,5

R_B = 196/5 = 39,2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 56 − 39,2 = 16,8 kN

Zerowa siła tnąca

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 16,8/8 = 2,1 m

Maksymalny moment dodatni

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 16,8²/(2·8) = 17,64 kN·m

Odpowiedź

M_max = 17,64 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 14,48 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 260·10 = 2600 mm², y_f = 180 + 10/2 = 185 mm

środnik: A_w = 10·180 = 1800 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2600·185 + 1800·90)/4400 = 146,1 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 260·10³/12 + 2600·(185 − 146,1)² = 3,949 × 10⁶ mm⁴

środnik: 10·180³/12 + 1800·(90 − 146,1)² = 1,053 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,949 × 10⁶ + 1,053 × 10⁷ = 1,448 × 10⁷ mm⁴ = 14,48 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 14,48 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_dół = 72,21 MPa

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 100·15 = 1500 mm², y_f = 240 + 15/2 = 247,5 mm

środnik: A_w = 20·240 = 4800 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1500·247,5 + 4800·120)/6300 = 150,4 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 100·15³/12 + 1500·(247,5 − 150,4)² = 1,418 × 10⁷ mm⁴

środnik: 20·240³/12 + 4800·(120 − 150,4)² = 2,746 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,418 × 10⁷ + 2,746 × 10⁷ = 4,165 × 10⁷ mm⁴

Naprężenie od zginania

Dolna krawędź jest w odległości ȳ od osi.

y = 150,4 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·150,4/4,165 × 10⁷ = 72,21 MPa

Odpowiedź

σ_dół = 72,21 MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_abs = 61,85 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R. W trzech wymiarach bezwzględne maksymalne naprężenie styczne wynosi (σ_max − σ_min)/2 ze wszystkich trzech naprężeń głównych; w płaskim stanie naprężenia trzecie jest równe zeru.

Naprężenia główne w płaszczyźnie

C = 25 MPa, R = √(15² + (−60)²) = 61,85 MPa

σ₁ = 86,85 MPa, σ₂ = −36,85 MPa, σ_z = 0

Największe z trzech kół

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(123,7, 86,85, 36,85)/2 = 61,85 MPa

Odpowiedź

τ_abs = 61,85 MPa

Tutaj σ₁ i σ₂ mają przeciwne znaki, więc maksimum w płaszczyźnie R jest też maksimum bezwzględnym.

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_θ = −56,52 MPa

Równanie transformacji

σ_θ = −15 + −5·0,6428 + −50·0,766 = −56,52 MPa

Odpowiedź

σ_θ = −56,52 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 5,086 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 5000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Ugięcie

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·5000⁴/(384·3,2 × 10¹³) = 5,086 mm

Odpowiedź

δ_max = 5,086 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: I_req = 10,71 × 10⁶ mm⁴

Warunek ugięcia

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·20·2000⁴/(384·70000·5,556) = 1,071 × 10⁷ mm⁴

I_req = 10,71 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_req = 10,71 × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 2,665 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 2·5000 = 10000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/10000² = 2665 N = 2,665 kN

Odpowiedź

P_cr = 2,665 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 26,99 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/12,5 = 160

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26,99 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 26,99 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials