Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne
σ = F/A
Odkształcenie
ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a
σ = E·ε
Wydłużenie
ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne
εT = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne
τ = T·r/J
Wał pełny
J = πd⁴/32
Wał drążony
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia
φ = TL/(GJ)
Moc
P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

  1. Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
  2. Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
  3. Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
  4. Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
  2. Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
  3. Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
  4. Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Prostokąt
I = bh³/12
Twierdzenie Steinera
I = Ic + A·d²
Przekrój złożony
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek
C = (σx + σy)/2
Promień
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Naprężenia główne
σ1,2 = C ± R
Kierunek główny
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Płaszczyzna ukośna
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metoda

  1. Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
  2. Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
  4. Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości
δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta
δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu
δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja
δ = δ1 + δ2

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera
Pcr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej
K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne
σcr = Pcr/A
Smukłość
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni
P = ?12600 mm500 mmØ40Ø50δ = 0,5 mm

Pręt składa się z odcinka (materiał: stal, średnica 40 mm, długość 600 mm, E = 200 GPa) połączonego końcami z odcinkiem (materiał: aluminium, średnica 50 mm, długość 500 mm, E = 70 GPa). Jest zamocowany na jednym końcu i rozciągany na drugim. Wyznacz obciążenie osiowe P, które wydłuża go łącznie o 0,5 mm.

odcinek 1: stal, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPaodcinek 2: aluminium, Ø50 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0,5 mm
P = kN
2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny
P = ?Ø30100 GPaØ80/60500 mm

Pręt (materiał: stal, średnica 30 mm, E = 200 GPa, naprężenie dopuszczalne 250 MPa) znajduje się wewnątrz rury (materiał: mosiądz, średnica zewnętrzna 80 mm, średnica wewnętrzna 60 mm, E = 100 GPa, naprężenie dopuszczalne 60 MPa). Są razem ściskane między sztywnymi płytami. Wyznacz największe obciążenie Pmax.

pręt: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MParura: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
3.Skręcanie wałówŚredni
d = ?T = 500 N·mL = 1 m

Pełny wał (aluminium) o długości 1 m przenosi moment skręcający 500 N·m. Kąt skręcenia między jego końcami nie może przekroczyć 0,5°. Wyznacz najmniejszą średnicę d, która spełnia ten warunek.

T = 500 N·mL = 1 mG = 26 GPaφallow = 0,5°
d = mm
4.Skręcanie wałówTrudny
d = 40 mmT0​ = 100 N·mACBa = 0,5 mb = 0,8 m

Pełny wał (mosiądz) o średnicy 40 mm jest utwierdzony w sztywnych ścianach na obu końcach A i B. W C, w odległości 0,5 m od A i 0,8 m od B, przyłożono moment skręcający 100 N·m. Wyznacz kąt obrotu φC przekroju C w stopniach.

d = 40 mmT0 = 100 N·ma = 0,5 mb = 0,8 mG = 39 GPa
φC = °
5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
M0​ = 25 kN·mAB2 m8 m

Belka swobodnie podparta jest obciążona momentem skupionym M0 = 25 kN·m działającym zgodnie z ruchem wskazówek zegara w x = 2 m od A i niczym więcej. Wyznacz moment zginający Mx tuż na lewo od momentu skupionego. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 10 mM0 = 25 kN·m zgodnie z ruchem wskazówek zegara, w odległości 2 m
Mx = kN·m
6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
6 kN/m50 kN60 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

50 kN @ 6 m60 kN @ 3 m6 kN/m, 0–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni
280101408xwymiary w mm

Wyznacz moment bezwładności Ix przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

bf = 280 mmtf = 10 mmtw = 8 mmhw = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny
1303201812xM = 80 kN·mwymiary w mm

Symetryczny dwuteownik ma półki o szerokości 130 mm i grubości 18 mm, wysokość całkowitą 320 mm i środnik o grubości 12 mm. Przenosi moment zginający 80 kN·m względem osi x. Wyznacz wartość naprężenia od zginania σj na styku środnika z górną półką.

B = 130 mmH = 320 mmtf = 18 mmtw = 12 mmM = 80 kN·m
σj = MPa
9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni
σx​ = 110σy​ = 40τxy​ = −10MPa

W punkcie σₓ = 110 MPa, σᵧ = 40 MPa i τₓᵧ = −10 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz kąt θs z przedziału od −90° do 90°, mierzony od osi x do normalnej płaszczyzny, na której naprężenie styczne osiąga maksymalną wartość dodatnią +R (naprężenie styczne dodatnie w tym samym sensie co τₓᵧ).

σx = 110 MPaσy = 40 MPaτxy = −10 MPa
θs = °
10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny
σx​τxy​górna powierzchnia wału

Pełny wał o średnicy 50 mm przenosi moment zginający 750 N·m wraz z momentem skręcającym 2000 N·m. Na górnej powierzchni, gdzie naprężenie od zginania jest rozciągające i największe, wyznacz maksymalne naprężenie styczne w płaszczyźnie τmax.

d = 50 mmM = 750 N·mT = 2000 N·m
τmax = MPa
11.Ugięcie belkiŚredni
w = 2 kN/mδL = 4 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz maksymalne ugięcie δmax w środku rozpiętości.

w = 2 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Ugięcie belkiTrudny
w = 2 kN/mABδ4,5 m

Belka drewniana swobodnie podparta o przekroju prostokątnym i szerokości 125 mm przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Jej ugięcie w środku rozpiętości nie może przekroczyć rozpiętość/300. Wyznacz najmniejszą wysokość hreq przekroju.

w = 2 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)b = 125 mm
hreq = mm
13.Wyboczenie słupówŚredni
PL = 1,5 m20 × 60 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną Pcr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (stal)b × h = 20 × 60 mm
Pcr = kN
14.Wyboczenie słupówTrudny
P = 25 kNL = 1,5 md = ?przekrój poprzeczny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Ma przenieść 25 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 25 kNn = 2L = 1,5 mE = 200 GPa (stal)
d = mm

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: P = 82,99 kN

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, Pi = P·EiAi/ΣEA, a σi = Ei·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1963 mm²

Podatności

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2,387 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·1963) = 3,638 × 10⁻⁶ mm/N

Obciążenie

P = 0,5/6,025 × 10⁻⁶ = 82985 N = 82,99 kN

Odpowiedź

P = 82,99 kN
2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: Pmax = 216,8 kN

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, Pi = P·EiAi/ΣEA, a σi = Ei·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Łączna sztywność osiowa

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·2199 = 3,613 × 10⁸ N

Decydujące odkształcenie

ε = min(0,00125, 0,0006) = 0,0006 (mosiądz)

Największe obciążenie

Pmax = 0,0006·3,613 × 10⁸ = 216770 N = 216,8 kN

Odpowiedź

Pmax = 216,8 kN
3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d = 68,83 mm

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τmax = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(do⁴ − di⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Wymagany biegunowy moment bezwładności

T = 500 N·m = 500000 N·mm
L = 1 m = 1000 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = 0,5·π/180 = 0,008727 rad
J = TL/(Gφ) = 500000·1000/(26000·0,008727) = 2,204 × 10⁶ mm⁴

Średnica

d = (32J/π)1/4 = 68,83 mm

Odpowiedź

d = 68,83 mm

W praktyce zaokrągla się w górę do najbliższego wymiaru znormalizowanego.

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φC = 0,1799 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τmax = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(do⁴ − di⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω. Gdy oba końce są utwierdzone, sama statyka daje tylko TA + TB = T₀; drugim równaniem jest warunek zgodności (równy kąt skręcenia obu części w obciążonym przekroju).

Równowaga i zgodność

TA + TB = 100
TA·a = TB·b
TA = 100·0,8/1,3 = 61,54 N·m
TB = 100·0,5/1,3 = 38,46 N·m

Obrót przekroju C

Użyj odcinka AC: jest utwierdzony w A i przenosi TA.

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 61538·500/(39000·251327) = 0,003139 rad = 0,1799°

Odpowiedź

φC = 0,1799°
5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mx = −5 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Przyłożony moment skupiony powoduje skok na wykresie momentów zginających o wartość tego momentu.

Reakcje podpór

Momenty względem A, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnie: RB·L − M0 = 0. Równowaga pionowa: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 25/10 = 2,5 kN (w górę)
RA = −RB = −2,5 kN (w dół)

Przekrój tuż na lewo od momentu skupionego

Lewa część zawiera tylko RA.

Mx = RA·a = −2,5·2 = −5 kN·m

Odpowiedź

Mx = −5 kN·m
6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: E (x = 4 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R1 = 2 kN, R2 = 132 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

MA = 0, MB = −1, MC = −8, MD = −21, ME = −100 kN·m, MF = −50, MG = 0

Odpowiedź

Punkt E: ME = −100 kN·m
7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: Ix = 6,353 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: Af = 280·10 = 2800 mm², yf = 140 + 10/2 = 145 mm
środnik: Aw = 8·140 = 1120 mm², yw = 140/2 = 70 mm

Środek ciężkości

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2800·145 + 1120·70)/3920 = 123,6 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 280·10³/12 + 2800·(145 − 123,6)² = 1,309 × 10⁶ mm⁴
środnik: 8·140³/12 + 1120·(70 − 123,6)² = 5,044 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1,309 × 10⁶ + 5,044 × 10⁶ = 6,353 × 10⁶ mm⁴ = 6,353 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

Ix = 6,353 × 10⁶ mm⁴
8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σj = 87,56 MPa

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Prostokąt zewnętrzny minus dwa boczne wycięcia

Oba wycięcia razem mają szerokość (B − tw) i wysokość hw = H − 2tf oraz wspólną oś x.

hw = 320 − 2·18 = 284 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (130·320³ − 118·284³)/12
Ix = 1,297 × 10⁸ mm⁴

Naprężenie od zginania

y = 160 − 18 = 142 mm
σ = M·y/I = 8 × 10⁷·142/1,297 × 10⁸ = 87,56 MPa

Odpowiedź

σj = 87,56 MPa
9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: θs = −52,97 °

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

στxyCτmax​

Kąt na kole

Na kole Mohra najwyższy punkt (+R) jest odległy o 90° od punktu głównego σ₁; na elemencie odpowiada to 45°.

cos 2θs = −10/36,4 = −0,2747, sin 2θs = −35/36,4 = −0,9615
2θs = atan2(−35, −10) = −105,9°

Kąt na elemencie

θs = −52,97°
sprawdzenie: θs − θp = −52,97 − (−7,973) = −45°

Odpowiedź

θs = −52,97°

Kąty dodatnie mierzy się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τmax = 87,03 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Naprężenia na powierzchni

σ = 32M/(πd³) = 32·750000/(π·50³) = 61,12 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·50³) = 81,49 MPa
στxyCτmax​

Koło Mohra

C = σ/2 = 30,56 MPa
R = √(30,56² + 81,49²) = 87,03 MPa

Odpowiedź

τmax = 87,03 MPa
11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δmax = 26,35 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4000 mm
EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Ugięcie

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·4000⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 26,35 mm

Odpowiedź

δmax = 26,35 mm
12.Ugięcie belki

Odpowiedź: hreq = 183,8 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Warunek ugięcia

δallow = L/300 = 4500/300 = 15 mm

Wymagany moment bezwładności

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·4500⁴/(384·11000·15) = 6,472 × 10⁷ mm⁴

Wymagana wysokość

bh³/12 = Ireq → h = (12·6,472 × 10⁷/125)1/3 = 183,8 mm

Odpowiedź

hreq = 183,8 mm

W praktyce wybierz najbliższą większą wysokość znormalizowaną.

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: Pcr = 140,4 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

Imin = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Siła krytyczna

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/750² = 140368 N = 140,4 kN

Odpowiedź

Pcr = 140,4 kN
14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 46,42 mm

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Wymagana siła krytyczna

Pcr = n·P = 2·25000 = 50000 N
KL = 2·1500 = 3000 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 46,42 mm

Odpowiedź

d = 46,42 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 258,5, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials