Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Pręt (materiał: stal, średnica 25 mm, E = 200 GPa) znajduje się wewnątrz rury (materiał: mosiądz, średnica zewnętrzna 120 mm, średnica wewnętrzna 60 mm, E = 100 GPa). Oba mają długość 500 mm i są razem ściskane między sztywnymi płytami siłą 150 kN. Wyznacz skrócenie δ.

P = 150 kNpręt: Ø25 mm, E = 200 GParura: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt (materiał: stal, średnica 20 mm, E = 200 GPa, naprężenie dopuszczalne 150 MPa) znajduje się wewnątrz rury (materiał: aluminium, średnica zewnętrzna 100 mm, średnica wewnętrzna 60 mm, E = 70 GPa, naprężenie dopuszczalne 80 MPa). Są razem ściskane między sztywnymi płytami. Wyznacz największe obciążenie P_max.

pręt: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MParura: Ø100/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał schodkowy (stal) jest utwierdzony w A. Odcinek AB ma średnicę 60 mm i długość 3 m; odcinek BC ma średnicę 50 mm i długość 2,5 m. Na swobodnym końcu C działa moment skręcający 1000 N·m. Wyznacz kąt skręcenia φ_C końca C w stopniach.

T = 1000 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 3 md₂ = 50 mm, L₂ = 2,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Wał drążony przenosi 50 kW przy 750 obr/min. Wyznacz maksymalne naprężenie styczne τ_max w wale.

P = 50 kWN = 750 rpmd_o = 40 mmd_i = 28 mm

τ_max = MPa

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 2 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 10 mw = 12 kN/m od 0 do 10 mx = 2 m

M_x = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

55 kN @ 0 m30 kN @ 6 m35 kN @ 3 m4 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 180 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 40 kN·m. Wyznacz wartość naprężenia od zginania σ_góra na górnej krawędzi.

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 160 mmM = 40 kN·m

σ_góra = MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = 150 MPa, σᵧ = −70 MPa i τₓᵧ = 50 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz kąt θ_s z przedziału od −90° do 90°, mierzony od osi x do normalnej płaszczyzny, na której naprężenie styczne osiąga maksymalną wartość dodatnią +R (naprężenie styczne dodatnie w tym samym sensie co τₓᵧ).

σ_x = 150 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_s = °

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

Pełny wał o średnicy 30 mm przenosi osiową siłę ściskającą 190 kN wraz z momentem skręcającym 1000 N·m. Na powierzchni wału, wyznacz największe naprężenie główne σ₁.

d = 30 mmF = −190 kNT = 1000 N·m

σ₁ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz maksymalne ugięcie δ_max w środku rozpiętości.

w = 5 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka jest utwierdzona w A i swobodnie podparta w B. Przenosi siłę skupioną P w środku rozpiętości. EI jest stałe. Wyznacz reakcję R_B na podporze przesuwnej.

L = 6 mP = 80 kN w 3 m

R_B = kN

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (stal)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 4 mE = 200 GPa (stal)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 0,07925 mm

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Łączna sztywność osiowa

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·8482 = 9,464 × 10⁸ N

Skrócenie

δ = 150000·500/9,464 × 10⁸ = 0,07925 mm

Odpowiedź

δ = 0,07925 mm

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: P_max = 311 kN

Pola

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Łączna sztywność osiowa

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·5027 = 4,147 × 10⁸ N

Decydujące odkształcenie

ε = min(0,00075, 0,001143) = 0,00075 (stal)

Największe obciążenie

P_max = 0,00075·4,147 × 10⁸ = 311018 N = 311 kN

Odpowiedź

P_max = 311 kN

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ_C = 4,607 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowe momenty bezwładności

J₁ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Kąt skręcenia każdego odcinka

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 1 × 10⁶·3000/(80000·1,272 × 10⁶) = 0,02947 rad

φ_BC = 1 × 10⁶·2500/(80000·613592) = 0,05093 rad

Całkowity kąt skręcenia

φ_C = 0,02947 + 0,05093 = 0,0804 rad = 4,607°

Odpowiedź

φ_C = 4,607°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: τ_max = 66,67 MPa

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 50000/78,54 = 636,6 N·m

Biegunowy moment bezwładności

J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴

Maksymalne naprężenie styczne

τ_max = T·(d_o/2)/J = 636620·20/190984 = 66,67 MPa

Odpowiedź

τ_max = 66,67 MPa

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 96 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, przyłożona w x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 12·10·5

R_B = 600/10 = 60 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 60 = 60 kN

Przetnij w x = 2 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 60·2 − 12·2·1 = 96 kN·m

Odpowiedź

M_x = 96 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: E (x = 4 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 71 kN, R₂ = 61 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = −55, M_C = −41, M_D = −31, M_E = −60 kN·m, M_F = −30, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt E: M_E = −60 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 37,64 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 180·30 = 5400 mm², y_f = 200 + 30/2 = 215 mm

środnik: A_w = 16·200 = 3200 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5400·215 + 3200·100)/8600 = 172,2 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 180·30³/12 + 5400·(215 − 172,2)² = 1,029 × 10⁷ mm⁴

środnik: 16·200³/12 + 3200·(100 − 172,2)² = 2,735 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,029 × 10⁷ + 2,735 × 10⁷ = 3,764 × 10⁷ mm⁴ = 37,64 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 37,64 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_góra = 275,1 MPa

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 100·10 = 1000 mm², y_f = 160 + 10/2 = 165 mm

środnik: A_w = 12·160 = 1920 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1000·165 + 1920·80)/2920 = 109,1 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 100·10³/12 + 1000·(165 − 109,1)² = 3,132 × 10⁶ mm⁴

środnik: 12·160³/12 + 1920·(80 − 109,1)² = 5,723 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,132 × 10⁶ + 5,723 × 10⁶ = 8,855 × 10⁶ mm⁴

Naprężenie od zginania

Górna krawędź jest w odległości h − ȳ od osi.

y = 170 − 109,1 = 60,89 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·60,89/8,855 × 10⁶ = 275,1 MPa

Odpowiedź

σ_góra = 275,1 MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: θ_s = −32,78 °

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Kąt na kole

Na kole Mohra najwyższy punkt (+R) jest odległy o 90° od punktu głównego σ₁; na elemencie odpowiada to 45°.

cos 2θ_s = 50/120,8 = 0,4138, sin 2θ_s = −110/120,8 = −0,9104

2θ_s = atan2(−110, 50) = −65,56°

Kąt na elemencie

θ_s = −32,78°

sprawdzenie: θ_s − θ_p = −32,78 − 12,22 = −45°

Odpowiedź

θ_s = −32,78°

Kąty dodatnie mierzy się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ₁ = 97,21 MPa

Naprężenia na powierzchni

σ = F/A = −190000/(π·30²/4) = −190000/706,9 = −268,8 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·30³) = 188,6 MPa

Koło Mohra

C = σ/2 = −134,4 MPa

R = √((−134,4)² + 188,6²) = 231,6 MPa

σ₁ = C + R = 97,21 MPa

σ₂ = C − R = −366 MPa

Odpowiedź

σ₁ = 97,21 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 1,24 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 2000 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Ugięcie

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2000⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 1,24 mm

Odpowiedź

δ_max = 1,24 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: R_B = 25 kN

Usuń podporę przesuwną

Bez podpory przesuwnej belka jest wspornikiem. Jej swobodny koniec ugiąłby się pod obciążeniem.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Warunek zgodności przemieszczeń na podporze

Sama reakcja podpory R_B podnosi swobodny koniec o R_BL³/(3EI). Podpora utrzymuje B przy zerowym ugięciu, więc oba ugięcia muszą się znosić. EI się skraca.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·80/16 = 25 kN

Odpowiedź

R_B = 25 kN

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 10,53 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 2·5000 = 10000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/10000² = 10528 N = 10,53 kN

Odpowiedź

P_cr = 10,53 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 19,28 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/6,25 = 320

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/320² = 19,28 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 19,28 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials