Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Pręt (materiał: stal, średnica 25 mm, E = 200 GPa) znajduje się wewnątrz rury (materiał: brąz, średnica zewnętrzna 120 mm, średnica wewnętrzna 70 mm, E = 110 GPa). Oba mają długość 500 mm i są razem ściskane między sztywnymi płytami siłą 250 kN. Wyznacz skrócenie δ.

P = 250 kNpręt: Ø25 mm, E = 200 GParura: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz największe naprężenie normalne σ_max w pręcie.

P = 115 kNodcinek 1: Ø25 mm, 2 m, miedź (E = 117 GPa)odcinek 2: Ø16 mm, 0,5 m, miedź (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał schodkowy (stal) jest utwierdzony w A. Odcinek AB ma średnicę 75 mm i długość 3 m; odcinek BC ma średnicę 25 mm i długość 2 m. Na swobodnym końcu C działa moment skręcający 500 N·m. Wyznacz maksymalne naprężenie styczne τ_max w wale.

T = 500 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 3 md₂ = 25 mm, L₂ = 2 m

τ_max = MPa

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał (aluminium) o średnicy 40 mm jest utwierdzony w A. Moment skręcający 250 N·m działa w B, w odległości 2 m od A, a moment 2000 N·m o tym samym kierunku działa na swobodnym końcu C, o 3 m dalej. Wyznacz maksymalne naprężenie styczne τ_max w wale.

d = 40 mmT_B = 250 N·mT_C = 2000 N·mAB = 2 mBC = 3 m

τ_max = MPa

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 3,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 8 mw = 8 kN/m od 0 do 8 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości oraz siłę skupioną P. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 6 mP = 55 kN w 2 mw = 2 kN/m od 0 do 6 m

M_max = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 100 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 25 kN·m. Wyznacz naprężenie od zginania σ_dół na dolnej krawędzi.

b_f = 180 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 120 mmM = 25 kN·m

σ_dół = MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 70 MPa, σᵧ = 60 MPa i τₓᵧ = −20 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz maksymalne naprężenie styczne w płaszczyźnie τ_max.

σ_x = 70 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −20 MPa

τ_max = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 20 MPa, σᵧ = −80 MPa i τₓᵧ = 10 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie normalne σ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 20° zgodnie z ruchem wskazówek zegara względem osi x.

σ_x = 20 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 10 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz maksymalne ugięcie δ_max w środku rozpiętości.

w = 6 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (stal)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności I_req, który spełnia ten warunek.

w = 10 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (stal)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (stal)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest przegubowo podparty na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 0,136 mm

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Łączna sztywność osiowa

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·7461 = 9,189 × 10⁸ N

Skrócenie

δ = 250000·500/9,189 × 10⁸ = 0,136 mm

Odpowiedź

δ = 0,136 mm

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: σ_max = 572 MPa

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 234,3 MPa

σ₂ = 572 MPa

Największe naprężenie

Cieńszy odcinek ma mniejsze pole, więc przenosi większe naprężenie.

σ_max = 572 MPa

Odpowiedź

σ_max = 572 MPa

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: τ_max = 163 MPa

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Naprężenie w każdym odcinku

T = 500 N·m = 500000 N·mm

τ_AB = 16·500000/(π·75³) = 6,036 MPa

τ_BC = 16·500000/(π·25³) = 163 MPa

Odpowiedź

τ_max = 163 MPa

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: τ_max = 179 MPa

Momenty wewnętrzne

Zwrot T_C przyjęty jako dodatni.

T_BC = T_C = 2000 N·m

T_AB = T_C + T_B = 2000 + 250 = 2250 N·m

Maksymalne naprężenie styczne

Największe naprężenie ma odcinek z największym momentem wewnętrznym (ta sama średnica).

|T|_max = 2250 N·m

τ_max = 16·2,25 × 10⁶/(π·40³) = 179 MPa

Odpowiedź

τ_max = 179 MPa

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 63 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, przyłożona w x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 8·8·4

R_B = 256/8 = 32 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 32 = 32 kN

Przetnij w x = 3,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 32·3,5 − 8·3,5·1,75 = 63 kN·m

Odpowiedź

M_x = 63 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 81,33 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·2 + 2·6·3

R_B = 146/6 = 24,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 67 − 24,33 = 42,67 kN

Gdzie V = 0?

V(2⁻) = R_A − w·2 = 38,67 kN

V(2⁺) = 38,67 − 55 = −16,33 kN

Siła tnąca zmienia znak w obrębie obciążenia, więc maksimum leży pod obciążeniem.

Moment maksymalny

M_max = R_A·2 − w·2²/2 = 42,67·2 − 2·2²/2 = 81,33 kN·m

Odpowiedź

M_max = 81,33 kN·m

Występuje w x = 2 m od A.

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 76,91 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 100·25 = 2500 mm², y_f = 280 + 25/2 = 292,5 mm

środnik: A_w = 20·280 = 5600 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2500·292,5 + 5600·140)/8100 = 187,1 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 100·25³/12 + 2500·(292,5 − 187,1)² = 2,792 × 10⁷ mm⁴

środnik: 20·280³/12 + 5600·(140 − 187,1)² = 4,899 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,792 × 10⁷ + 4,899 × 10⁷ = 7,691 × 10⁷ mm⁴ = 76,91 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 76,91 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_dół = 259,5 MPa

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 180·25 = 4500 mm², y_f = 120 + 25/2 = 132,5 mm

środnik: A_w = 18·120 = 2160 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·132,5 + 2160·60)/6660 = 109 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 180·25³/12 + 4500·(132,5 − 109)² = 2,722 × 10⁶ mm⁴

środnik: 18·120³/12 + 2160·(60 − 109)² = 7,775 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,722 × 10⁶ + 7,775 × 10⁶ = 1,05 × 10⁷ mm⁴

Naprężenie od zginania

Dolna krawędź jest w odległości ȳ od osi.

y = 109 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·109/1,05 × 10⁷ = 259,5 MPa

Odpowiedź

σ_dół = 259,5 MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_max = 20,62 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Promień koła Mohra

τ_max = R = √(((70 − 60)/2)² + −20²) = 20,62 MPa

Odpowiedź

τ_max = 20,62 MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_θ = 1,874 MPa

Równanie transformacji

σ_θ = −30 + 50·0,766 + 10·−0,6428 = 1,874 MPa

Odpowiedź

σ_θ = 1,874 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 2,035 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 5000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Ugięcie

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·5000⁴/(384·2,4 × 10¹³) = 2,035 mm

Odpowiedź

δ_max = 2,035 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: I_req = 50,63 × 10⁶ mm⁴

Warunek ugięcia

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·6000⁴/(384·200000·16,67) = 5,063 × 10⁷ mm⁴

I_req = 50,63 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_req = 50,63 × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 40,28 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/2100² = 40284 N = 40,28 kN

Odpowiedź

P_cr = 40,28 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 4,318 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/6,25 = 400

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 4,318 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials