Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz odkształcenie osiowe ε w pręcie (stal), w mikroodkształceniach (µε = 10⁻⁶).

P = 100 kNd = 12 mmL = 2 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Odcinek (materiał: stal, średnica 20 mm, długość 400 mm, E = 200 GPa) i odcinek (materiał: brąz, średnica 50 mm, długość 400 mm, E = 110 GPa) są połączone końcami i zamocowane między dwiema sztywnymi ścianami. W miejscu połączenia działa obciążenie osiowe 30 kN skierowane ku odcinkowi 2. Wyznacz wartość naprężenia σ₂ w odcinku 2.

odcinek 1: stal, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPaodcinek 2: brąz, Ø50 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.Skręcanie wałówŚredni

Wał drążony ma przenosić moment skręcający 1000 N·m. Jego średnica wewnętrzna ma wynosić 0,7 średnicy zewnętrznej, a naprężenie styczne nie może przekroczyć 50 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę zewnętrzną d_o.

T = 1000 N·md_i/d_o = 0,7τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał (aluminium) przenosi moc 5 kW przy 1450 rpm. Naprężenie styczne nie może przekroczyć 40 MPa, a kąt skręcenia 1° na m długości. Wyznacz najmniejszą średnicę d, która spełnia oba warunki.

P = 5 kWN = 1450 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 1°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz siłę tnącą V_x w przekroju x = 7,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 10 mw = 8 kN/m od 0 do 10 mx = 7,5 m

V_x = kN

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 1 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 8 mP = 55 kN w 1 mw = 10 kN/m od 0 do 8 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Płyta 100 mm × 300 mm ma okrągły otwór o średnicy 40 mm na pionowej osi symetrii, ze środkiem 180 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 100 mmh = 300 mmd = 40 mmśrodek otworu: y = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Belka żeliwna ma pokazany przekrój teowy z półką u góry. Naprężenia dopuszczalne wynoszą 60 MPa przy rozciąganiu i 120 MPa przy ściskaniu. Wyznacz największy ujemny moment zginający M_allow, jaki może przenieść belka (podaj jego wartość bezwzględną).

b_f = 100 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 300 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = −20 MPa i σᵧ = 10 MPa. Jak duże może być naprężenie styczne τ_xy (wartość bezwzględna), zanim największe naprężenie główne osiągnie 25 MPa?

σ_x = −20 MPaσ_y = 10 MPaσ₁ = 25 MPa

τ_xy = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 30 MPa, σᵧ = 110 MPa i τₓᵧ = 50 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie normalne σ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 45° zgodnie z ruchem wskazówek zegara względem osi x.

σ_x = 30 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 50 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz maksymalne ugięcie δ_max w środku rozpiętości.

w = 12 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka drewniana swobodnie podparta o przekroju prostokątnym i szerokości 125 mm przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Jej ugięcie w środku rozpiętości nie może przekroczyć rozpiętość/300. Wyznacz najmniejszą wysokość h_req przekroju.

w = 1,5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)b = 125 mm

h_req = mm

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (stal)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony na obu końcach. Ma przenieść 15 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 15 kNn = 2L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: ε = 4421 µε

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 100·1000/113,1 = 884,2 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for stal = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 884,2/200000 = 0,004421 = 4421 µε

Odpowiedź

ε = 4421 µε

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: σ₂ = 11,84 MPa

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Sztywności

k₁ = 200000·314,2/400 = 157080 N/mm

k₂ = 110000·1963/400 = 539961 N/mm

Udział odcinka 2

F₂ = 30000·539961/697041 = 23239 N

Naprężenie

σ₂ = 23239/1963 = 11,84 MPa (ściskanie)

Odpowiedź

σ₂ = 11,84 MPa

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d_o = 51,18 mm

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Średnica zewnętrzna z naprężenia dopuszczalnego

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1 × 10⁶/(π·50·0,7599)) = 51,18 mm

d_i = 0,7·51,18 = 35,82 mm

Odpowiedź

d_o = 51,18 mm

Wał pełny wymagałby d = 46,7 mm; drążony jest nieco większy, ale znacznie lżejszy.

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d = 29,32 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 5000/151,8 = 32,93 N·m

Średnica z warunku wytrzymałości

T = 32,93 N·m = 32929 N·mm

d_τ = ∛(16·32929/(π·40)) = 16,12 mm

Średnica z warunku sztywności

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·32929/(π·26000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 29,32 mm

Średnica decydująca

Oba warunki muszą być spełnione, więc decyduje większa średnica.

d = max(16,12, 29,32) = 29,32 mm

Odpowiedź

d = 29,32 mm

Tutaj decyduje sztywność.

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: V_x = −20 kN

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, przyłożona w x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 8·10·5

R_B = 400/10 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

Przetnij w x = 7,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

V = R_A − (wszystkie obciążenia w dół na lewo od przekroju)

V_x = 40 − 8·7,5 = −20 kN

Odpowiedź

V_x = −20 kN

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 83,13 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, przyłożona w x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·1 + 10·8·4

R_B = 375/8 = 46,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 135 − 46,88 = 88,13 kN

Przetnij w x = 1 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 88,13·1 − 10·1·0,5 = 83,13 kN·m

Odpowiedź

M_x = 83,13 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 223,7 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (30000·150 − 1257·180)/(30000 − 1257) = 148,7 mm

Pełna płyta względem ȳ

100·300³/12 + 30000·1,312² = 225,1 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

π·40⁴/64 + 1257·31,31² = 1,358 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 223,7 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 223,7 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: M_allow = 24,78 kN·m

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Środek ciężkości

ȳ = (2000·310 + 2400·150)/4400 = 222,7 mm

krawędź górna: c = 320 − 222,7 = 97,27 mm

Moment bezwładności przekroju

I = 100·20³/12 + 2000·87,27² + 8·300³/12 + 2400·72,73² = 4,599 × 10⁷ mm⁴

Moment dopuszczalny dla każdej krawędzi

Moment ujemny: góra jest rozciągana, dół ściskany.

krawędź górna: M = 60·4,599 × 10⁷/97,27 = 28,37 kN·m

krawędź dolna: M = 120·4,599 × 10⁷/222,7 = 24,78 kN·m

Wartość decydująca

M_allow = min = 24,78 kN·m (krawędź dolna)

Odpowiedź

M_allow = 24,78 kN·m

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_xy = 25,98 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Wymagany promień

C = (−20 + 10)/2 = −5 MPa

R = σ₁ − C = 25 − (−5) = 30 MPa

Naprężenie styczne

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(30² − 15²) = 25,98 MPa

Odpowiedź

τ_xy = 25,98 MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_θ = 20 MPa

Równanie transformacji

σ_θ = 70 + −40·0 + 50·−1 = 20 MPa

Odpowiedź

σ_θ = 20 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 6,606 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 2500 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Ugięcie

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2500⁴/(384·9,24 × 10¹¹) = 6,606 mm

Odpowiedź

δ_max = 6,606 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: h_req = 185,6 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Warunek ugięcia

δ_allow = L/300 = 5000/300 = 16,67 mm

Wymagany moment bezwładności

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1,5·5000⁴/(384·11000·16,67) = 6,658 × 10⁷ mm⁴

Wymagana wysokość

bh³/12 = I_req → h = (12·6,658 × 10⁷/125)^1/3 = 185,6 mm

Odpowiedź

h_req = 185,6 mm

W praktyce wybierz najbliższą większą wysokość znormalizowaną.

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 731,1 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/1500² = 731082 N = 731,1 kN

Odpowiedź

P_cr = 731,1 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 48,49 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 2·15000 = 30000 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 48,49 mm

Odpowiedź

d = 48,49 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 206,2, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials