Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz wydłużenie δ pręta (stal) pod obciążeniem osiowym.

P = 110 kNd = 25 mmL = 2,5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz całkowite wydłużenie δ.

P = 25 kNodcinek 1: Ø40 mm, 1 m, miedź (E = 117 GPa)odcinek 2: Ø12 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Skręcanie wałówŚredni

Drążony wał (mosiądz) (średnica zewnętrzna 75 mm, wewnętrzna 38 mm, długość 2 m) jest utwierdzony na jednym końcu i skręcany momentem 1500 N·m na drugim. Wyznacz kąt skręcenia φ w stopniach.

T = 1500 N·md_o = 75 mmd_i = 38 mmL = 2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał (stal) o średnicy 40 mm jest utwierdzony w A. Moment skręcający 200 N·m działa w B, w odległości 0,5 m od A, a moment 1000 N·m o tym samym kierunku działa na swobodnym końcu C, o 2 m dalej. Wyznacz wartość kąta skręcenia φ_C końca C w stopniach.

d = 40 mmT_B = 200 N·mT_C = 1000 N·mAB = 0,5 mBC = 2 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz siłę tnącą V_x w przekroju x = 2 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 10 mw = 4 kN/m od 0 do 10 mx = 2 m

V_x = kN

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

20 kN @ 6 m45 kN @ 1 m5 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Płyta 200 mm × 240 mm ma okrągły otwór o średnicy 40 mm na pionowej osi symetrii, ze środkiem 168 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 200 mmh = 240 mmd = 40 mmśrodek otworu: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Spawany dwuteownik ma półkę górną 120 × 22 mm, środnik o wysokości 280 mm i grubości 8 mm oraz półkę dolną 290 × 24 mm (szerokość × grubość). Wyznacz jego moment bezwładności I_x względem poziomej osi x przechodzącej przez środek ciężkości.

półka górna: 120 × 22 mmśrodnik: 8 × 280 mmpółka dolna: 290 × 24 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = 70 MPa, σᵧ = 90 MPa i τₓᵧ = −30 MPa (rozciąganie dodatnie). Element obrócono o 25° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Wyznacz naprężenie normalne σ_y′ na ściankach obróconego elementu prostopadłych do obróconej osi y′.

σ_x = 70 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 25°

σ_y′ = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 70 MPa, σᵧ = 60 MPa i τₓᵧ = 60 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie styczne τ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 45° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem osi x (dodatnie w tym samym sensie co τₓᵧ).

σ_x = 70 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 45°

τ_θ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz maksymalne ugięcie δ_max w środku rozpiętości.

w = 5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka jest utwierdzona w A i swobodnie podparta w B. Przenosi siłę skupioną P w środku rozpiętości. EI jest stałe. Wyznacz reakcję R_B na podporze przesuwnej.

L = 6 mP = 20 kN w 3 m

R_B = kN

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 2,801 mm

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 110·1000/490,9 = 224,1 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for stal = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 224,1/200000 = 0,00112 = 1120 µε

Wydłużenie

δ = ε·L = 0,00112·2500 mm = 2,801 mm

Odpowiedź

δ = 2,801 mm

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 4,907 mm

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 19,89 MPa

σ₂ = 221 MPa

Dodaj wydłużenia odcinków

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 19,89·1000/117000 = 0,17 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 221·1500/70000 = 4,737 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,907 mm

Odpowiedź

δ = 4,907 mm

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 1,519 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π(75⁴ − 38⁴)/32 = 2,902 × 10⁶ mm⁴

Kąt skręcenia

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1,5 × 10⁶·2000/(39000·2,902 × 10⁶) = 0,02651 rad

φ = 0,02651·180/π = 1,519°

Odpowiedź

φ = 1,519°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ_C = 7,409 °

Momenty wewnętrzne

Zwrot T_C przyjęty jako dodatni.

T_BC = T_C = 1000 N·m

T_AB = T_C + T_B = 1000 + 200 = 1200 N·m

Kąt skręcenia każdego odcinka

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 1,2 × 10⁶·500/(80000·251327) = 0,02984 rad

φ_BC = 1 × 10⁶·2000/(80000·251327) = 0,09947 rad

Kąt skręcenia końca C

φ_C = 0,02984 + 0,09947 = 0,1293 rad → |φ_C| = 7,409°

Odpowiedź

φ_C = 7,409°

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: V_x = 12 kN

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, przyłożona w x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 4·10·5

R_B = 200/10 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Przetnij w x = 2 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

V = R_A − (wszystkie obciążenia w dół na lewo od przekroju)

V_x = 20 − 4·2 = 12 kN

Odpowiedź

V_x = 12 kN

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: B (x = 1 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 44,5 kN, R₂ = 45,5 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 42 kN·m, M_C = 34, M_D = 21, M_E = 3, M_F = −20, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt B: M_B = 42 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 227,3 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (48000·120 − 1257·168)/(48000 − 1257) = 118,7 mm

Pełna płyta względem ȳ

200·240³/12 + 48000·1,29² = 230,5 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

π·40⁴/64 + 1257·49,29² = 3,179 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 227,3 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 227,3 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 199,4 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na trzy prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka górna: A = 2640 mm², y = 315 mm

środnik: A = 2240 mm², y = 164 mm

półka dolna: A = 6960 mm², y = 12 mm

Środek ciężkości

ȳ = (2640·315 + 2240·164 + 6960·12)/11840 = 108,3 mm

Twierdzenie Steinera

półka górna: 120·22³/12 + 2640·206,7² = 1,129 × 10⁸ mm⁴

środnik: 8·280³/12 + 2240·55,68² = 2,158 × 10⁷ mm⁴

półka dolna: 290·24³/12 + 6960·96,32² = 6,49 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,129 × 10⁸ + 2,158 × 10⁷ + 6,49 × 10⁷

I_x = 1,994 × 10⁸ mm⁴ = 199,4 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 199,4 × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_y′ = 109,4 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Równanie transformacji dla ścianki y′

σ_y′ = 80 − (−10)·0,6428 − (−30)·0,766 = 109,4 MPa

Sprawdzenie

Suma naprężeń normalnych nie zmienia się przy obrocie.

σ_x′ = 50,59 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 160 = σ_x + σ_y

Odpowiedź

σ_y′ = 109,4 MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_θ = −5 MPa

Równanie transformacji

τ_θ = −5·1 + 60·0 = −5 MPa

Odpowiedź

τ_θ = −5 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 64,9 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 5000 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Ugięcie

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·5000⁴/(384·6,27 × 10¹¹) = 64,9 mm

Odpowiedź

δ_max = 64,9 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: R_B = 6,25 kN

Usuń podporę przesuwną

Bez podpory przesuwnej belka jest wspornikiem. Jej swobodny koniec ugiąłby się pod obciążeniem.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Warunek zgodności przemieszczeń na podporze

Sama reakcja podpory R_B podnosi swobodny koniec o R_BL³/(3EI). Podpora utrzymuje B przy zerowym ugięciu, więc oba ugięcia muszą się znosić. EI się skraca.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·20/16 = 6,25 kN

Odpowiedź

R_B = 6,25 kN

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 35,25 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/2100² = 35249 N = 35,25 kN

Odpowiedź

P_cr = 35,25 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 79,31 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/15 = 93,33

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/93,33² = 79,31 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 79,31 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials