Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Pręt składa się z odcinka (materiał: stal, średnica 40 mm, długość 600 mm, E = 200 GPa) połączonego końcami z odcinkiem (materiał: aluminium, średnica 30 mm, długość 500 mm, E = 70 GPa). Jest zamocowany na jednym końcu i rozciągany na drugim. Wyznacz obciążenie osiowe P, które wydłuża go łącznie o 0,5 mm.

odcinek 1: stal, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPaodcinek 2: aluminium, Ø30 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz największe naprężenie normalne σ_max w pręcie.

P = 85 kNodcinek 1: Ø35 mm, 2 m, mosiądz (E = 100 GPa)odcinek 2: Ø20 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Skręcanie wałówŚredni

Wał drążony ma przenosić moment skręcający 500 N·m. Jego średnica wewnętrzna ma wynosić 0,75 średnicy zewnętrznej, a naprężenie styczne nie może przekroczyć 80 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę zewnętrzną d_o.

T = 500 N·md_i/d_o = 0,75τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał ma przenosić 5 kW przy 3000 obr/min bez przekroczenia naprężenia stycznego 75 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę d, która wystarczy.

P = 5 kWN = 3000 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz siłę tnącą V_x w przekroju x = 3,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 10 mw = 3 kN/m od 0 do 10 mx = 3,5 m

V_x = kN

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 3 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5 mP = 30 kN w 3 mw = 8 kN/m od 0 do 5 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 200 mmt_f = 20 mmt_w = 16 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Spawany dwuteownik ma półkę górną 110 × 14 mm, środnik o wysokości 370 mm i grubości 14 mm oraz półkę dolną 160 × 16 mm (szerokość × grubość). Wyznacz jego moment bezwładności I_x względem poziomej osi x przechodzącej przez środek ciężkości.

półka górna: 110 × 14 mmśrodnik: 14 × 370 mmpółka dolna: 160 × 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = −20 MPa, σᵧ = −40 MPa i τₓᵧ = 20 MPa (rozciąganie dodatnie). Element obrócono o 20° zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Wyznacz naprężenie normalne σ_y′ na ściankach obróconego elementu prostopadłych do obróconej osi y′.

σ_x = −20 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 20 MPaθ = -20°

σ_y′ = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

Punkt cienkiej płyty jest w płaskim stanie naprężenia: σₓ = 0 MPa, σᵧ = 120 MPa i τₓᵧ = 60 MPa (σ_z = 0). Wyznacz naprężenie zastępcze σ_vM według hipotezy Hubera-Misesa.

σ_x = 0 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 60 MPa

σ_vM = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Wspornik przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości i siłę skupioną P na swobodnym końcu. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie δ swobodnego końca.

P = 25 kNw = 5 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi siłę skupioną P w odległości b = 1 m od podpory B. Wyznacz ugięcie δ_mid w środku rozpiętości.

P = 28 kNb = 1 mL = 4 mE = 200 GPa (stal)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest przegubowo podparty na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Ma przenieść 145 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 145 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (stal)

d = mm

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: P = 40,02 kN

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706,9 mm²

Podatności

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2,387 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·706,9) = 1,011 × 10⁻⁵ mm/N

Obciążenie

P = 0,5/1,249 × 10⁻⁵ = 40024 N = 40,02 kN

Odpowiedź

P = 40,02 kN

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: σ_max = 270,6 MPa

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 88,35 MPa

σ₂ = 270,6 MPa

Największe naprężenie

Cieńszy odcinek ma mniejsze pole, więc przenosi większe naprężenie.

σ_max = 270,6 MPa

Odpowiedź

σ_max = 270,6 MPa

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d_o = 35,98 mm

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Średnica zewnętrzna z naprężenia dopuszczalnego

T = 500 N·m = 500000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·500000/(π·80·0,6836)) = 35,98 mm

d_i = 0,75·35,98 = 26,98 mm

Odpowiedź

d_o = 35,98 mm

Wał pełny wymagałby d = 31,69 mm; drążony jest nieco większy, ale znacznie lżejszy.

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d = 10,26 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 5000/314,2 = 15,92 N·m

Średnica z naprężenia dopuszczalnego

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·15915/(π·75)) = 10,26 mm

Odpowiedź

d = 10,26 mm

W praktyce zaokrągla się w górę do najbliższego wymiaru znormalizowanego.

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: V_x = 4,5 kN

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, przyłożona w x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 3·10·5

R_B = 150/10 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Przetnij w x = 3,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

V = R_A − (wszystkie obciążenia w dół na lewo od przekroju)

V_x = 15 − 3·3,5 = 4,5 kN

Odpowiedź

V_x = 4,5 kN

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 60 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·3 + 8·5·2,5

R_B = 190/5 = 38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 38 = 32 kN

Przetnij w x = 3 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 32·3 − 8·3·1,5 = 60 kN·m

Odpowiedź

M_x = 60 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 51,68 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 200·20 = 4000 mm², y_f = 240 + 20/2 = 250 mm

środnik: A_w = 16·240 = 3840 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4000·250 + 3840·120)/7840 = 186,3 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 200·20³/12 + 4000·(250 − 186,3)² = 1,635 × 10⁷ mm⁴

środnik: 16·240³/12 + 3840·(120 − 186,3)² = 3,532 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,635 × 10⁷ + 3,532 × 10⁷ = 5,168 × 10⁷ mm⁴ = 51,68 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 51,68 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 207,1 × 10⁶ mm⁴

Podziel na trzy prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka górna: A = 1540 mm², y = 393 mm

środnik: A = 5180 mm², y = 201 mm

półka dolna: A = 2560 mm², y = 8 mm

Środek ciężkości

ȳ = (1540·393 + 5180·201 + 2560·8)/9280 = 179,6 mm

Twierdzenie Steinera

półka górna: 110·14³/12 + 1540·213,4² = 7,014 × 10⁷ mm⁴

środnik: 14·370³/12 + 5180·21,38² = 6,146 × 10⁷ mm⁴

półka dolna: 160·16³/12 + 2560·171,6² = 7,546 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,014 × 10⁷ + 6,146 × 10⁷ + 7,546 × 10⁷

I_x = 2,071 × 10⁸ mm⁴ = 207,1 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 207,1 × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_y′ = −24,8 MPa

Równanie transformacji dla ścianki y′

σ_y′ = −30 − 10·0,766 − 20·(−0,6428) = −24,8 MPa

Sprawdzenie

Suma naprężeń normalnych nie zmienia się przy obrocie.

σ_x′ = −35,2 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −60 = σ_x + σ_y

Odpowiedź

σ_y′ = −24,8 MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_vM = 158,7 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R. Hipotezy wytężeniowe: według hipotezy Hubera-Misesa uplastycznienie następuje, gdy σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) osiąga σ_Y; według hipotezy Tresci, gdy bezwzględne maksymalne naprężenie styczne osiąga σ_Y/2.

Naprężenia główne

C = 60 MPa, R = 84,85 MPa

σ₁ = 144,9 MPa, σ₂ = −24,85 MPa, σ₃ = 0

Huber-Mises

σ_vM = √(144,9² − 144,9·(−24,85) + (−24,85)²) = 158,7 MPa

Odpowiedź

σ_vM = 158,7 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ = 61,9 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 25000 N, w = 5 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Każde obciążenie osobno

δ_P = PL³/(3EI) = 25000·4000³/(3·1,12 × 10¹³) = 47,62 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 5·4000⁴/(8·1,12 × 10¹³) = 14,29 mm

Dodaj

δ = 47,62 + 14,29 = 61,9 mm

Odpowiedź

δ = 61,9 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_mid = 5,58 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 28000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Ugięcie w środku rozpiętości

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 28000·1000·(3·4000² − 4·1000²)/(48·4,6 × 10¹²) = 5,58 mm

Odpowiedź

δ_mid = 5,58 mm

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 12,21 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 1·1500 = 1500 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1500² = 12209 N = 12,21 kN

Odpowiedź

P_cr = 12,21 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 144,1 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 2·145000 = 290000 N

KL = 2·6000 = 12000 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·290000·12000²/(π³·200000))^(1/4) = 144,1 mm

Odpowiedź

d = 144,1 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 333,1, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials