Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz odkształcenie osiowe ε w pręcie (stal), w mikroodkształceniach (µε = 10⁻⁶).

P = 15 kNd = 30 mmL = 1 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz całkowite wydłużenie δ.

P = 30 kNodcinek 1: Ø30 mm, 0,5 m, miedź (E = 117 GPa)odcinek 2: Ø20 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Skręcanie wałówŚredni

W próbie skręcania pełna próbka o średnicy 10 mm jest skręcana momentem 20 N·m. Końce odcinka pomiarowego o długości 200 mm obracają się względem siebie o 8,98° (materiał jest jeszcze w zakresie sprężystym). Wyznacz moduł sprężystości postaciowej G materiału.

T = 20 N·md = 10 mmL = 200 mmφ = 8,98°

G = GPa

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał (mosiądz) o średnicy 25 mm jest utwierdzony w sztywnych ścianach na obu końcach A i B. W C, w odległości 3 m od A i 1,5 m od B, przyłożono moment skręcający 500 N·m. Wyznacz moment reakcji T_A w ścianie A.

d = 25 mmT₀ = 500 N·ma = 3 mb = 1,5 m

T_A = N·m

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

40 kN @ 3 m5 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone na części rozpiętości. Wyznacz odległość x₀ od A do przekroju, w którym moment zginający jest największy.

L = 4 mw = 12 kN/m od 0 do 2 m

x₀ = m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Płyta 100 mm × 240 mm ma okrągły otwór o średnicy 40 mm na pionowej osi symetrii, ze środkiem 84 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 100 mmh = 240 mmd = 40 mmśrodek otworu: y = 84 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Belka żeliwna ma pokazany przekrój teowy z półką u góry. Naprężenia dopuszczalne wynoszą 60 MPa przy rozciąganiu i 100 MPa przy ściskaniu. Wyznacz największy ujemny moment zginający M_allow, jaki może przenieść belka (podaj jego wartość bezwzględną).

b_f = 240 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 100 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 130 MPa, σᵧ = 110 MPa i τₓᵧ = −10 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz kąt θ_p od osi x do kierunku największego naprężenia głównego, z przedziału od −90° do 90°.

σ_x = 130 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_p = °

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = −70 MPa, σᵧ = −20 MPa i τₓᵧ = 20 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie normalne σ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 25° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem osi x.

σ_x = −70 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Wspornik o długości L jest utwierdzony w A i przenosi siłę skupioną P w odległości a = 3 m od A. Wyznacz ugięcie δ_P pod siłą.

P = 28 kNa = 3 mL = 4 mE = 200 GPa (stal)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności I_req, który spełnia ten warunek.

w = 20 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (stal)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (stal)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony na obu końcach. Ma przenieść 140 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 3 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 140 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (stal)

d = mm

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: ε = 106,1 µε

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 15·1000/706,9 = 21,22 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for stal = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 21,22/200000 = 0,0001061 = 106,1 µε

Odpowiedź

ε = 106,1 µε

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 2,228 mm

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 42,44 MPa

σ₂ = 95,49 MPa

Dodaj wydłużenia odcinków

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 42,44·500/117000 = 0,1814 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 95,49·1500/70000 = 2,046 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,228 mm

Odpowiedź

δ = 2,228 mm

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: G = 26 GPa

Biegunowy moment bezwładności i kąt

J = π·10⁴/32 = 981,7 mm⁴

φ = 8,98·π/180 = 0,1567 rad

Moduł sprężystości poprzecznej

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·200/(981,7·0,1567) = 25996 MPa

G = 26 GPa

Odpowiedź

G = 26 GPa

Porównaj: stal ≈ 80 GPa, mosiądz ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: T_A = 166,7 N·m

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω. Gdy oba końce są utwierdzone, sama statyka daje tylko T_A + T_B = T₀; drugim równaniem jest warunek zgodności (równy kąt skręcenia obu części w obciążonym przekroju).

Równowaga i zgodność

T_A + T_B = 500

T_A·a = T_B·b

T_A = 500·1,5/4,5 = 166,7 N·m

T_B = 500·3/4,5 = 333,3 N·m

Odpowiedź

T_A = 166,7 N·m

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: D (x = 3 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 35 kN, R₂ = 35 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 32,5, M_C = 60, M_D = 82,5 kN·m, M_E = 60, M_F = 32,5, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt D: M_D = 82,5 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: x₀ = 1,5 m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·2 = 24 kN, przyłożona w x̄ = 1 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12·2·1

R_B = 24/4 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 6 = 18 kN

Zerowa siła tnąca

Siła tnąca zaczyna od R_A, jest stała na każdym nieobciążonym odcinku i maleje z nachyleniem w wewnątrz obciążenia.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 18/12 = 1,5 m

Odpowiedź

x₀ = 1,5 m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 113,4 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (24000·120 − 1257·84)/(24000 − 1257) = 122 mm

Pełna płyta względem ȳ

100·240³/12 + 24000·−1,989² = 115,3 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−37,99² = 1,939 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 113,4 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 113,4 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: M_allow = 8,744 kN·m

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Środek ciężkości

ȳ = (7200·115 + 2000·50)/9200 = 100,9 mm

krawędź górna: c = 130 − 100,9 = 29,13 mm

Moment bezwładności przekroju

I = 240·30³/12 + 7200·14,13² + 20·100³/12 + 2000·50,87² = 8,82 × 10⁶ mm⁴

Moment dopuszczalny dla każdej krawędzi

Moment ujemny: góra jest rozciągana, dół ściskany.

krawędź górna: M = 60·8,82 × 10⁶/29,13 = 18,17 kN·m

krawędź dolna: M = 100·8,82 × 10⁶/100,9 = 8,744 kN·m

Wartość decydująca

M_allow = min = 8,744 kN·m (krawędź dolna)

Odpowiedź

M_allow = 8,744 kN·m

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: θ_p = −22,5 °

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Kąt na kole

Na kole Mohra punkt x leży pod kątem 2θp od osi σ; ćwiartka wynika ze znaków σₓ − σᵧ i τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−10, 130 − 110) = −45°

Kąt na elemencie

θ_p = −22,5°

Odpowiedź

θ_p = −22,5°

Kąty dodatnie mierzy się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_θ = −45,75 MPa

Równanie transformacji

σ_θ = −45 + −25·0,6428 + 20·0,766 = −45,75 MPa

Odpowiedź

σ_θ = −45,75 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_P = 22,11 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 28000 N, a = 3000 mm, L = 4000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Ugięcie pod siłą

δ_P = Pa³/(3EI) = 28000·3000³/(3·1,14 × 10¹³) = 22,11 mm

Odpowiedź

δ_P = 22,11 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: I_req = 240 × 10⁶ mm⁴

Warunek ugięcia

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·20·8000⁴/(384·200000·22,22) = 2,4 × 10⁸ mm⁴

I_req = 240 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_req = 240 × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 12,56 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 2·5000 = 10000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/10000² = 12558 N = 12,56 kN

Odpowiedź

P_cr = 12,56 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 72,15 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 3·140000 = 420000 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·420000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 72,15 mm

Odpowiedź

d = 72,15 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 138,6, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials