Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz wydłużenie δ pręta (mosiądz) pod obciążeniem osiowym.

P = 95 kNd = 12 mmL = 1,5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt (materiał: stal, średnica 20 mm, E = 200 GPa, naprężenie dopuszczalne 120 MPa) znajduje się wewnątrz rury (materiał: brąz, średnica zewnętrzna 100 mm, średnica wewnętrzna 70 mm, E = 110 GPa, naprężenie dopuszczalne 70 MPa). Są razem ściskane między sztywnymi płytami. Wyznacz największe obciążenie P_max.

pręt: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MParura: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (mosiądz) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 200 N·md = 40 mmL = 2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał ma przenosić 10 kW przy 750 obr/min bez przekroczenia naprężenia stycznego 50 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę d, która wystarczy.

P = 10 kWN = 750 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Belka swobodnie podparta jest obciążona momentem skupionym M₀ = 25 kN·m działającym zgodnie z ruchem wskazówek zegara w x = 2 m od A i niczym więcej. Wyznacz moment zginający M_x tuż na lewo od momentu skupionego. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mM₀ = 25 kN·m zgodnie z ruchem wskazówek zegara, w odległości 2 m

M_x = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości oraz siłę skupioną P. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 8 mP = 55 kN w 7 mw = 12 kN/m od 0 do 8 m

M_max = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Płyta 150 mm × 200 mm ma okrągły otwór o średnicy 60 mm na pionowej osi symetrii, ze środkiem 60 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 150 mmh = 200 mmd = 60 mmśrodek otworu: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 40 kN·m. Wyznacz wartość naprężenia od zginania σ_góra na górnej krawędzi.

b_f = 100 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 140 mmM = 40 kN·m

σ_góra = MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 10 MPa, σᵧ = 30 MPa i τₓᵧ = −40 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz kąt θ_p od osi x do kierunku największego naprężenia głównego, z przedziału od −90° do 90°.

σ_x = 10 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 90 MPa, σᵧ = 90 MPa i τₓᵧ = −20 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie normalne σ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 15° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem osi x.

σ_x = 90 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Wspornik przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości i siłę skupioną P na swobodnym końcu. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie δ swobodnego końca.

P = 9 kNw = 10 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (stal)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w i siłę skupioną P w środku rozpiętości. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie w środku δ_max.

P = 24 kNw = 4 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (stal)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 12,6 mm

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 95·1000/113,1 = 840 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for mosiądz = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 840/100000 = 0,0084 = 8400 µε

Wydłużenie

δ = ε·L = 0,0084·1500 mm = 12,6 mm

Odpowiedź

δ = 12,6 mm

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: P_max = 302,1 kN

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Łączna sztywność osiowa

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·4006 = 5,034 × 10⁸ N

Decydujące odkształcenie

ε = min(0,0006, 0,0006364) = 0,0006 (stal)

Największe obciążenie

P_max = 0,0006·5,034 × 10⁸ = 302064 N = 302,1 kN

Odpowiedź

P_max = 302,1 kN

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 2,338 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2000/(39000·251327) = 0,04081 rad

φ = 0,04081·180/π = 2,338°

Odpowiedź

φ = 2,338°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d = 23,49 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 10000/78,54 = 127,3 N·m

Średnica z naprężenia dopuszczalnego

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·127324/(π·50)) = 23,49 mm

Odpowiedź

d = 23,49 mm

W praktyce zaokrągla się w górę do najbliższego wymiaru znormalizowanego.

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = −8,333 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Przyłożony moment skupiony powoduje skok na wykresie momentów zginających o wartość tego momentu.

Reakcje podpór

Momenty względem A, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnie: R_B·L − M₀ = 0. Równowaga pionowa: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 25/6 = 4,167 kN (w górę)

R_A = −R_B = −4,167 kN (w dół)

Przekrój tuż na lewo od momentu skupionego

Lewa część zawiera tylko R_A.

M_x = R_A·a = −4,167·2 = −8,333 kN·m

Odpowiedź

M_x = −8,333 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 125,5 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, przyłożona w x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·7 + 12·8·4

R_B = 769/8 = 96,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 151 − 96,13 = 54,88 kN

Gdzie V = 0?

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 54,88/12 = 4,573 m

Moment maksymalny

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 54,88·4,573 − 12·4,573²/2 = 125,5 kN·m

Odpowiedź

M_max = 125,5 kN·m

Występuje w x = 4,573 m od A.

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 94,37 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (30000·100 − 2827·60)/(30000 − 2827) = 104,2 mm

Pełna płyta względem ȳ

150·200³/12 + 30000·−4,162² = 100,5 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−44,16² = 6,151 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 94,37 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 94,37 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_góra = 284,7 MPa

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 100·15 = 1500 mm², y_f = 140 + 15/2 = 147,5 mm

środnik: A_w = 8·140 = 1120 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1500·147,5 + 1120·70)/2620 = 114,4 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 100·15³/12 + 1500·(147,5 − 114,4)² = 1,674 × 10⁶ mm⁴

środnik: 8·140³/12 + 1120·(70 − 114,4)² = 4,034 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,674 × 10⁶ + 4,034 × 10⁶ = 5,709 × 10⁶ mm⁴

Naprężenie od zginania

Górna krawędź jest w odległości h − ȳ od osi.

y = 155 − 114,4 = 40,63 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·40,63/5,709 × 10⁶ = 284,7 MPa

Odpowiedź

σ_góra = 284,7 MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: θ_p = −52,02 °

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Kąt na kole

Na kole Mohra punkt x leży pod kątem 2θp od osi σ; ćwiartka wynika ze znaków σₓ − σᵧ i τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−40, 10 − 30) = −104°

Kąt na elemencie

θ_p = −52,02°

Odpowiedź

θ_p = −52,02°

Kąty dodatnie mierzy się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_θ = 80 MPa

Równanie transformacji

σ_θ = 90 + 0·0,866 + −20·0,5 = 80 MPa

Odpowiedź

σ_θ = 80 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ = 8,395 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 9000 N, w = 10 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Każde obciążenie osobno

δ_P = PL³/(3EI) = 9000·2500³/(3·1,14 × 10¹³) = 4,112 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 10·2500⁴/(8·1,14 × 10¹³) = 4,283 mm

Dodaj

δ = 4,112 + 4,283 = 8,395 mm

Odpowiedź

δ = 8,395 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 2,468 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 24000 N, w = 4 N/mm, L = 2500 mm, EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Każde obciążenie osobno

δ_P = PL³/(48EI) = 24000·2500³/(48·3,99 × 10¹²) = 1,958 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·2500⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 0,5099 mm

Dodaj

δ_max = 1,958 + 0,5099 = 2,468 mm

Odpowiedź

δ_max = 2,468 mm

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 10,28 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 2·2500 = 5000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/5000² = 10281 N = 10,28 kN

Odpowiedź

P_cr = 10,28 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 1,079 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·5000 = 10000 mm

KL/r = 10000/12,5 = 800

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/800² = 1,079 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 1,079 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials