Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz wydłużenie δ pręta (aluminium) pod obciążeniem osiowym.

P = 85 kNd = 16 mmL = 1,5 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz całkowite wydłużenie δ.

P = 10 kNodcinek 1: Ø35 mm, 1 m, miedź (E = 117 GPa)odcinek 2: Ø12 mm, 0,5 m, stal (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (aluminium) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 200 N·md = 25 mmL = 1,2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał ma przenosić 100 kW przy 300 obr/min bez przekroczenia naprężenia stycznego 50 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę d, która wystarczy.

P = 100 kWN = 300 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi dwie siły skupione. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 6 mP₁ = 50 kN w 1,5 mP₂ = 55 kN w 2,5 m

M_max = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości oraz siłę skupioną P. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 5 mP = 40 kN w 1,5 mw = 6 kN/m od 0 do 5 m

M_max = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Symetryczny dwuteownik ma półki o szerokości 170 mm i grubości 22 mm, wysokość całkowitą 320 mm i środnik o grubości 10 mm. Wyznacz jego sprężysty wskaźnik wytrzymałości S_x przy zginaniu względem poziomej osi centralnej x.

B = 170 mmH = 320 mmt_f = 22 mmt_w = 10 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 5 kN·m. Wyznacz naprężenie od zginania σ_dół na dolnej krawędzi.

b_f = 200 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 120 mmM = 5 kN·m

σ_dół = MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = 100 MPa i σᵧ = 80 MPa. Jak duże może być naprężenie styczne τ_xy (wartość bezwzględna), zanim największe naprężenie główne osiągnie 125 MPa?

σ_x = 100 MPaσ_y = 80 MPaσ₁ = 125 MPa

τ_xy = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 60 MPa, σᵧ = 80 MPa i τₓᵧ = 30 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie normalne σ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 20° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem osi x.

σ_x = 60 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz kąt obrotu θ_A belki na podporze A, w radianach.

w = 6 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 23 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności I_req, który spełnia ten warunek.

w = 12 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (stal)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest przegubowo podparty na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony na obu końcach. Ma przenieść 90 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2,5 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 90 kNn = 2,5L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 9,059 mm

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 85·1000/201,1 = 422,8 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 422,8/70000 = 0,006039 = 6039 µε

Wydłużenie

δ = ε·L = 0,006039·1500 mm = 9,059 mm

Odpowiedź

δ = 9,059 mm

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 0,3099 mm

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 10,39 MPa

σ₂ = 88,42 MPa

Dodaj wydłużenia odcinków

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 10,39·1000/117000 = 0,08884 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 88,42·500/200000 = 0,221 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,3099 mm

Odpowiedź

δ = 0,3099 mm

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 13,79 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1200/(26000·38350) = 0,2407 rad

φ = 0,2407·180/π = 13,79°

Odpowiedź

φ = 13,79°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d = 68,7 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 100000/31,42 = 3183 N·m

Średnica z naprężenia dopuszczalnego

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·3,183 × 10⁶/(π·50)) = 68,7 mm

Odpowiedź

d = 68,7 mm

W praktyce zaokrągla się w górę do najbliższego wymiaru znormalizowanego.

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 124 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 50·1,5 + 55·2,5

R_B = 212,5/6 = 35,42 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 35,42 = 69,58 kN

Moment pod każdą siłą

Zostaw część na lewo od każdej siły.

pod P₁: M = R_A·1,5 = 69,58·1,5 = 104,4 kN·m

pod P₂: M = R_B·3,5 = 35,42·3,5 = 124 kN·m

Największa wartość

M_max = 124 kN·m (pod P₂)

Odpowiedź

M_max = 124 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 57,75 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 40·1,5 + 6·5·2,5

R_B = 135/5 = 27 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 27 = 43 kN

Gdzie V = 0?

V(1,5⁻) = R_A − w·1,5 = 34 kN

V(1,5⁺) = 34 − 40 = −6 kN

Siła tnąca zmienia znak w obrębie obciążenia, więc maksimum leży pod obciążeniem.

Moment maksymalny

M_max = R_A·1,5 − w·1,5²/2 = 43·1,5 − 6·1,5²/2 = 57,75 kN·m

Odpowiedź

M_max = 57,75 kN·m

Występuje w x = 1,5 m od A.

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: S_x = 1149 × 10³ mm³

Moment bezwładności: dla prostokąta względem własnej osi centralnej I = bh³/12, a względem podstawy bh³/3 (twierdzenie Steinera I = I_c + A·d²). Otwór uwzględnia się, odejmując jego I, o ile obie części odnoszą się do tej samej osi. Sprężysty wskaźnik wytrzymałości to S = I/c, gdzie c jest odległością do skrajnych włókien.

Prostokąt zewnętrzny minus dwa boczne wycięcia

Oba wycięcia razem mają szerokość (B − t_w) i wysokość h_w = H − 2t_f oraz wspólną oś x.

h_w = 320 − 2·22 = 276 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (170·320³ − 160·276³)/12

I_x = 1,839 × 10⁸ mm⁴

Wskaźnik wytrzymałości przekroju

c = H/2 = 160 mm

S_x = I/c = 1,839 × 10⁸/160

S_x = 1,149 × 10⁶ mm³ = 1149 × 10³ mm³

Odpowiedź

S_x = 1149 × 10³ mm³

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_dół = 48,07 MPa

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 200·30 = 6000 mm², y_f = 120 + 30/2 = 135 mm

środnik: A_w = 18·120 = 2160 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·135 + 2160·60)/8160 = 115,1 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 200·30³/12 + 6000·(135 − 115,1)² = 2,815 × 10⁶ mm⁴

środnik: 18·120³/12 + 2160·(60 − 115,1)² = 9,161 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,815 × 10⁶ + 9,161 × 10⁶ = 1,198 × 10⁷ mm⁴

Naprężenie od zginania

Dolna krawędź jest w odległości ȳ od osi.

y = 115,1 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·115,1/1,198 × 10⁷ = 48,07 MPa

Odpowiedź

σ_dół = 48,07 MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_xy = 33,54 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Wymagany promień

C = (100 + 80)/2 = 90 MPa

R = σ₁ − C = 125 − 90 = 35 MPa

Naprężenie styczne

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(35² − 10²) = 33,54 MPa

Odpowiedź

τ_xy = 33,54 MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_θ = 81,62 MPa

Równanie transformacji

σ_θ = 70 + −10·0,766 + 30·0,6428 = 81,62 MPa

Odpowiedź

σ_θ = 81,62 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: θ_A = 0,007905 rad

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja). Kąt obrotu θ = dv/dx to pierwsza całka z M/(EI); w spójnych jednostkach wychodzi w radianach.

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 2000 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Kąt obrotu końca

θ_A = wL³/(24EI) = 6·2000³/(24·2,53 × 10¹¹) = 0,007905 rad

Odpowiedź

θ_A = 0,007905 rad

To 0,4529°.

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: I_req = 35,16 × 10⁶ mm⁴

Warunek ugięcia

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·5000⁴/(384·200000·13,89) = 3,516 × 10⁷ mm⁴

I_req = 35,16 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_req = 35,16 × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 77,72 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 1·1000 = 1000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/1000² = 77723 N = 77,72 kN

Odpowiedź

P_cr = 77,72 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 71,77 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 2,5·90000 = 225000 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·225000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 71,77 mm

Odpowiedź

d = 71,77 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 111,5, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials