Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz odkształcenie osiowe ε w pręcie (miedź), w mikroodkształceniach (µε = 10⁻⁶).

P = 50 kNd = 25 mmL = 1 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz największe naprężenie normalne σ_max w pręcie.

P = 100 kNodcinek 1: Ø40 mm, 0,5 m, mosiądz (E = 100 GPa)odcinek 2: Ø20 mm, 2 m, mosiądz (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (mosiądz) o długości 3 m przenosi moment skręcający 400 N·m. Kąt skręcenia między jego końcami nie może przekroczyć 1,5°. Wyznacz najmniejszą średnicę d, która spełnia ten warunek.

T = 400 N·mL = 3 mG = 39 GPaφ_allow = 1,5°

d = mm

4.Skręcanie wałówTrudny

Wał drążony przenosi 20 kW przy 1800 obr/min. Wyznacz maksymalne naprężenie styczne τ_max w wale.

P = 20 kWN = 1800 rpmd_o = 50 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

20 kN @ 2 m55 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 2 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mP = 10 kN w 4 mw = 2 kN/m od 0 do 6 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 140 mmt_f = 25 mmt_w = 8 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Płyta 200 mm × 200 mm ma prostokątne wycięcie o szerokości 50 mm i wysokości 40 mm, umieszczone na pionowej osi symetrii, ze środkiem 70 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 200 mmh = 200 mmwycięcie: 50 × 40 mmśrodek otworu: y = 70 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = −70 MPa, σᵧ = −80 MPa i τₓᵧ = −30 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz maksymalne naprężenie styczne w płaszczyźnie τ_max.

σ_x = −70 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −30 MPa

τ_max = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

Punkt cienkiej płyty jest w płaskim stanie naprężenia: σₓ = 150 MPa, σᵧ = −60 MPa i τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). Granica plastyczności materiału wynosi 350 MPa. Wyznacz współczynnik bezpieczeństwa n względem uplastycznienia według hipotezy Hubera-Misesa (energii odkształcenia postaciowego).

σ_x = 150 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 50 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.Ugięcie belkiŚredni

Wspornik przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości i siłę skupioną P na swobodnym końcu. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie δ swobodnego końca.

P = 22 kNw = 10 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (stal)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności I_req, który spełnia ten warunek.

w = 15 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (stal)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 2 mE = 200 GPa (stal)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: ε = 870,6 µε

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 50·1000/490,9 = 101,9 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for miedź = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 101,9/117000 = 0,0008706 = 870,6 µε

Odpowiedź

ε = 870,6 µε

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: σ_max = 318,3 MPa

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 79,58 MPa

σ₂ = 318,3 MPa

Największe naprężenie

Cieńszy odcinek ma mniejsze pole, więc przenosi większe naprężenie.

σ_max = 318,3 MPa

Odpowiedź

σ_max = 318,3 MPa

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d = 58,82 mm

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Wymagany biegunowy moment bezwładności

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 1,5·π/180 = 0,02618 rad

J = TL/(Gφ) = 400000·3000/(39000·0,02618) = 1,175 × 10⁶ mm⁴

Średnica

d = (32J/π)^1/4 = 58,82 mm

Odpowiedź

d = 58,82 mm

W praktyce zaokrągla się w górę do najbliższego wymiaru znormalizowanego.

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: τ_max = 4,967 MPa

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 20000/188,5 = 106,1 N·m

Biegunowy moment bezwładności

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

Maksymalne naprężenie styczne

τ_max = T·(d_o/2)/J = 106103·25/534071 = 4,967 MPa

Odpowiedź

τ_max = 4,967 MPa

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: D (x = 6 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 44,17 kN, R₂ = 30,83 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 88,33, M_C = 136,7, M_D = 185 kN·m, M_E = 123,3, M_F = 61,67, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt D: M_D = 185 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 14,67 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·4 + 2·6·3

R_B = 76/6 = 12,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 22 − 12,67 = 9,333 kN

Przetnij w x = 2 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 9,333·2 − 2·2·1 = 14,67 kN·m

Odpowiedź

M_x = 14,67 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 14,79 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 140·25 = 3500 mm², y_f = 180 + 25/2 = 192,5 mm

środnik: A_w = 8·180 = 1440 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3500·192,5 + 1440·90)/4940 = 162,6 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 140·25³/12 + 3500·(192,5 − 162,6)² = 3,307 × 10⁶ mm⁴

środnik: 8·180³/12 + 1440·(90 − 162,6)² = 1,148 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,307 × 10⁶ + 1,148 × 10⁷ = 1,479 × 10⁷ mm⁴ = 14,79 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 14,79 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 131,2 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (40000·100 − 2000·70)/(40000 − 2000) = 101,6 mm

Pełna płyta względem ȳ

200·200³/12 + 40000·−1,579² = 133,4 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

50·40³/12 + 2000·−31,58² = 2,261 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 131,2 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 131,2 × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_max = 30,41 MPa

Promień koła Mohra

τ_max = R = √(((−70 − −80)/2)² + −30²) = 30,41 MPa

Odpowiedź

τ_max = 30,41 MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: n = 1,696

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R. Hipotezy wytężeniowe: według hipotezy Hubera-Misesa uplastycznienie następuje, gdy σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) osiąga σ_Y; według hipotezy Tresci, gdy bezwzględne maksymalne naprężenie styczne osiąga σ_Y/2.

Naprężenia główne

C = 45 MPa, R = 116,3 MPa

σ₁ = 161,3 MPa, σ₂ = −71,3 MPa, σ₃ = 0

Huber-Mises

σ_vM = √(161,3² − 161,3·(−71,3) + (−71,3)²) = 206,4 MPa

n = 350/206,4 = 1,696

Odpowiedź

n = 1,696

n > 1 oznacza, że punkt się nie uplastycznia; hipoteza Tresci jest nieco bardziej zachowawcza niż hipoteza Hubera-Misesa.

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ = 32,78 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 22000 N, w = 10 N/mm, L = 2000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Każde obciążenie osobno

δ_P = PL³/(3EI) = 22000·2000³/(3·2,4 × 10¹²) = 24,44 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 10·2000⁴/(8·2,4 × 10¹²) = 8,333 mm

Dodaj

δ = 24,44 + 8,333 = 32,78 mm

Odpowiedź

δ = 32,78 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: I_req = 15,69 × 10⁶ mm⁴

Warunek ugięcia

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·2500⁴/(384·70000·6,944) = 1,569 × 10⁷ mm⁴

I_req = 15,69 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_req = 15,69 × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 29,24 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 2·3000 = 6000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/6000² = 29243 N = 29,24 kN

Odpowiedź

P_cr = 29,24 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 39,34 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/6,25 = 224

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/224² = 39,34 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 39,34 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials