Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Pręt składa się z odcinka (materiał: stal, średnica 20 mm, długość 600 mm, E = 200 GPa) połączonego końcami z odcinkiem (materiał: aluminium, średnica 60 mm, długość 300 mm, E = 70 GPa). Jest zamocowany na jednym końcu i rozciągany na drugim. Wyznacz obciążenie osiowe P, które wydłuża go łącznie o 0,3 mm.

odcinek 1: stal, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPaodcinek 2: aluminium, Ø60 mm, 300 mm, E = 70 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Odcinek (materiał: stal, średnica 30 mm, długość 300 mm, E = 200 GPa) i odcinek (materiał: mosiądz, średnica 30 mm, długość 300 mm, E = 100 GPa) są połączone końcami i zamocowane między dwiema sztywnymi ścianami. W miejscu połączenia działa obciążenie osiowe 50 kN skierowane ku odcinkowi 2. Wyznacz wartość naprężenia σ₂ w odcinku 2.

odcinek 1: stal, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPaodcinek 2: mosiądz, Ø30 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (stal) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 500 N·md = 30 mmL = 1,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał ma przenosić 10 kW przy 3000 obr/min bez przekroczenia naprężenia stycznego 50 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę d, która wystarczy.

P = 10 kWN = 3000 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 3 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mw = 8 kN/m od 0 do 6 mx = 3 m

M_x = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 3 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 8 mP = 35 kN w 3 mw = 2 kN/m od 0 do 8 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Symetryczny dwuteownik ma półki o szerokości 170 mm i grubości 20 mm, wysokość całkowitą 280 mm i środnik o grubości 10 mm. Wyznacz jego moment bezwładności I_x względem poziomej osi centralnej x.

B = 170 mmH = 280 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Belka żeliwna ma pokazany przekrój teowy z półką u góry. Naprężenia dopuszczalne wynoszą 60 MPa przy rozciąganiu i 100 MPa przy ściskaniu. Wyznacz największy ujemny moment zginający M_allow, jaki może przenieść belka (podaj jego wartość bezwzględną).

b_f = 240 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 200 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

Punkt cienkiej płyty jest w płaskim stanie naprężenia: σₓ = 160 MPa, σᵧ = −40 MPa i τₓᵧ = −30 MPa, przy σ_z = 0. Wyznacz bezwzględne maksymalne naprężenie styczne τ_abs w tym punkcie (z uwzględnieniem wszystkich płaszczyzn w trzech wymiarach).

σ_x = 160 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

Pełny wał o średnicy 30 mm przenosi moment zginający 200 N·m wraz z momentem skręcającym 1000 N·m. Na górnej powierzchni, gdzie naprężenie od zginania jest rozciągające i największe, wyznacz największe naprężenie główne σ₁.

d = 30 mmM = 200 N·mT = 1000 N·m

σ₁ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Wspornik o długości L jest utwierdzony w A i przenosi siłę skupioną P w odległości a = 3 m od A. Wyznacz ugięcie δ_B swobodnego końca B.

P = 23 kNa = 3 mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka drewniana swobodnie podparta o przekroju prostokątnym i szerokości 75 mm przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Jej ugięcie w środku rozpiętości nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszą wysokość h_req przekroju.

w = 2,5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)b = 75 mm

h_req = mm

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: P = 27,11 kN

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 2827 mm²

Podatności

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314,2) = 9,549 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(70000·2827) = 1,516 × 10⁻⁶ mm/N

Obciążenie

P = 0,3/1,107 × 10⁻⁵ = 27112 N = 27,11 kN

Odpowiedź

P = 27,11 kN

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: σ₂ = 23,58 MPa

Sztywności

k₁ = 200000·706,9/300 = 471239 N/mm

k₂ = 100000·706,9/300 = 235619 N/mm

Udział odcinka 2

F₂ = 50000·235619/706858 = 16667 N

Naprężenie

σ₂ = 16667/706,9 = 23,58 MPa (ściskanie)

Odpowiedź

σ₂ = 23,58 MPa

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 6,755 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1500/(80000·79522) = 0,1179 rad

φ = 0,1179·180/π = 6,755°

Odpowiedź

φ = 6,755°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d = 14,8 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 10000/314,2 = 31,83 N·m

Średnica z naprężenia dopuszczalnego

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·31831/(π·50)) = 14,8 mm

Odpowiedź

d = 14,8 mm

W praktyce zaokrągla się w górę do najbliższego wymiaru znormalizowanego.

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 36 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 8·6·3

R_B = 144/6 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

Przetnij w x = 3 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 24·3 − 8·3·1,5 = 36 kN·m

Odpowiedź

M_x = 36 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 80,63 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, przyłożona w x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·3 + 2·8·4

R_B = 169/8 = 21,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 51 − 21,13 = 29,88 kN

Przetnij w x = 3 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 29,88·3 − 2·3·1,5 = 80,63 kN·m

Odpowiedź

M_x = 80,63 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 126,7 × 10⁶ mm⁴

Moment bezwładności: dla prostokąta względem własnej osi centralnej I = bh³/12, a względem podstawy bh³/3 (twierdzenie Steinera I = I_c + A·d²). Otwór uwzględnia się, odejmując jego I, o ile obie części odnoszą się do tej samej osi. Sprężysty wskaźnik wytrzymałości to S = I/c, gdzie c jest odległością do skrajnych włókien.

Prostokąt zewnętrzny minus dwa boczne wycięcia

Oba wycięcia razem mają szerokość (B − t_w) i wysokość h_w = H − 2t_f oraz wspólną oś x.

h_w = 280 − 2·20 = 240 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (170·280³ − 160·240³)/12

I_x = 1,267 × 10⁸ mm⁴ = 126,7 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 126,7 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: M_allow = 9,778 kN·m

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Środek ciężkości

ȳ = (2400·205 + 1600·100)/4000 = 163 mm

krawędź górna: c = 210 − 163 = 47 mm

Moment bezwładności przekroju

I = 240·10³/12 + 2400·42² + 8·200³/12 + 1600·63² = 1,594 × 10⁷ mm⁴

Moment dopuszczalny dla każdej krawędzi

Moment ujemny: góra jest rozciągana, dół ściskany.

krawędź górna: M = 60·1,594 × 10⁷/47 = 20,35 kN·m

krawędź dolna: M = 100·1,594 × 10⁷/163 = 9,778 kN·m

Wartość decydująca

M_allow = min = 9,778 kN·m (krawędź dolna)

Odpowiedź

M_allow = 9,778 kN·m

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_abs = 104,4 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R. W trzech wymiarach bezwzględne maksymalne naprężenie styczne wynosi (σ_max − σ_min)/2 ze wszystkich trzech naprężeń głównych; w płaskim stanie naprężenia trzecie jest równe zeru.

Naprężenia główne w płaszczyźnie

C = 60 MPa, R = √(100² + (−30)²) = 104,4 MPa

σ₁ = 164,4 MPa, σ₂ = −44,4 MPa, σ_z = 0

Największe z trzech kół

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(208,8, 164,4, 44,4)/2 = 104,4 MPa

Odpowiedź

τ_abs = 104,4 MPa

Tutaj σ₁ i σ₂ mają przeciwne znaki, więc maksimum w płaszczyźnie R jest też maksimum bezwzględnym.

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ₁ = 230,1 MPa

Naprężenia na powierzchni

σ = 32M/(πd³) = 32·200000/(π·30³) = 75,45 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·30³) = 188,6 MPa

Koło Mohra

C = σ/2 = 37,73 MPa

R = √(37,73² + 188,6²) = 192,4 MPa

σ₁ = C + R = 230,1 MPa

σ₂ = C − R = −154,6 MPa

Odpowiedź

σ₁ = 230,1 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_B = 61,61 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 23000 N, a = 3000 mm, L = 6000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Ugięcie swobodnego końca

Ugięcie pod siłą plus kąt obrotu pod siłą razy pozostała długość.

δ_P = Pa³/(3EI) = 24,64 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,01232 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 61,61 mm

Odpowiedź

δ_B = 61,61 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: h_req = 277,2 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Warunek ugięcia

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Wymagany moment bezwładności

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·5000⁴/(384·11000·13,89) = 1,332 × 10⁸ mm⁴

Wymagana wysokość

bh³/12 = I_req → h = (12·1,332 × 10⁸/75)^1/3 = 277,2 mm

Odpowiedź

h_req = 277,2 mm

W praktyce wybierz najbliższą większą wysokość znormalizowaną.

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 2,12 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 2·5000 = 10000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/10000² = 2120 N = 2,12 kN

Odpowiedź

P_cr = 2,12 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 44,22 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/20 = 125

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/125² = 44,22 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 44,22 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials