Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Pręt składa się z odcinka (materiał: stal, średnica 20 mm, długość 400 mm, E = 200 GPa) połączonego końcami z odcinkiem (materiał: brąz, średnica 40 mm, długość 200 mm, E = 110 GPa). Jest zamocowany na jednym końcu i rozciągany na drugim. Wyznacz obciążenie osiowe P, które wydłuża go łącznie o 0,5 mm.

odcinek 1: stal, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPaodcinek 2: brąz, Ø40 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Odcinek (materiał: stal, średnica 30 mm, długość 600 mm, E = 200 GPa) i odcinek (materiał: mosiądz, średnica 50 mm, długość 300 mm, E = 100 GPa) są połączone końcami i zamocowane między dwiema sztywnymi ścianami. W miejscu połączenia działa obciążenie osiowe 40 kN skierowane ku odcinkowi 2. Wyznacz wartość naprężenia σ₂ w odcinku 2.

odcinek 1: stal, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPaodcinek 2: mosiądz, Ø50 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (aluminium) o długości 0,5 m przenosi moment skręcający 250 N·m. Kąt skręcenia między jego końcami nie może przekroczyć 1,5°. Wyznacz najmniejszą średnicę d, która spełnia ten warunek.

T = 250 N·mL = 0,5 mG = 26 GPaφ_allow = 1,5°

d = mm

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał (aluminium) przenosi moc 10 kW przy 750 rpm. Naprężenie styczne nie może przekroczyć 40 MPa, a kąt skręcenia 0,5° na m długości. Wyznacz najmniejszą średnicę d, która spełnia oba warunki.

P = 10 kWN = 750 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz siłę tnącą V_x w przekroju x = 2,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mw = 3 kN/m od 0 do 6 mx = 2,5 m

V_x = kN

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości oraz siłę skupioną P. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 5 mP = 50 kN w 1,5 mw = 6 kN/m od 0 do 5 m

M_max = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Płyta 100 mm × 240 mm ma okrągły otwór o średnicy 60 mm na pionowej osi symetrii, ze środkiem 72 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 100 mmh = 240 mmd = 60 mmśrodek otworu: y = 72 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Płyta 120 mm × 200 mm ma prostokątne wycięcie o szerokości 60 mm i wysokości 40 mm, umieszczone na pionowej osi symetrii, ze środkiem 80 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju I_x względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 120 mmh = 200 mmwycięcie: 60 × 40 mmśrodek otworu: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 40 MPa, σᵧ = 100 MPa i τₓᵧ = 60 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz kąt θ_p od osi x do kierunku największego naprężenia głównego, z przedziału od −90° do 90°.

σ_x = 40 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_p = °

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 100 MPa, σᵧ = 10 MPa i τₓᵧ = −30 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie styczne τ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 15° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem osi x (dodatnie w tym samym sensie co τₓᵧ).

σ_x = 100 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 15°

τ_θ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Wspornik o długości L jest utwierdzony w A i przenosi siłę skupioną P w odległości a = 0,5 m od A. Wyznacz ugięcie δ_B swobodnego końca B.

P = 29 kNa = 0,5 mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka jest utwierdzona w A i swobodnie podparta w B. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości. EI jest stałe. Wyznacz wartość momentu zginającego M_A w utwierdzeniu.

L = 6 mw = 10 kN/m

M_A = kN·m

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Ma przenieść 70 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 3 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 70 kNn = 3L = 1 mE = 200 GPa (stal)

d = mm

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: P = 64 kN

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1257 mm²

Podatności

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·314,2) = 6,366 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·1257) = 1,447 × 10⁻⁶ mm/N

Obciążenie

P = 0,5/7,813 × 10⁻⁶ = 63995 N = 64 kN

Odpowiedź

P = 64 kN

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: σ₂ = 14,98 MPa

Sztywności

k₁ = 200000·706,9/600 = 235619 N/mm

k₂ = 100000·1963/300 = 654498 N/mm

Udział odcinka 2

F₂ = 40000·654498/890118 = 29412 N

Naprężenie

σ₂ = 29412/1963 = 14,98 MPa (ściskanie)

Odpowiedź

σ₂ = 14,98 MPa

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d = 36,98 mm

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Wymagany biegunowy moment bezwładności

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 1,5·π/180 = 0,02618 rad

J = TL/(Gφ) = 250000·500/(26000·0,02618) = 183640 mm⁴

Średnica

d = (32J/π)^1/4 = 36,98 mm

Odpowiedź

d = 36,98 mm

W praktyce zaokrągla się w górę do najbliższego wymiaru znormalizowanego.

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d = 48,9 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 10000/78,54 = 127,3 N·m

Średnica z warunku wytrzymałości

T = 127,3 N·m = 127324 N·mm

d_τ = ∛(16·127324/(π·40)) = 25,31 mm

Średnica z warunku sztywności

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·127324/(π·26000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 48,9 mm

Średnica decydująca

Oba warunki muszą być spełnione, więc decyduje większa średnica.

d = max(25,31, 48,9) = 48,9 mm

Odpowiedź

d = 48,9 mm

Tutaj decyduje sztywność.

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: V_x = 1,5 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 3·6·3

R_B = 54/6 = 9 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 9 = 9 kN

Przetnij w x = 2,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

V = R_A − (wszystkie obciążenia w dół na lewo od przekroju)

V_x = 9 − 3·2,5 = 1,5 kN

Odpowiedź

V_x = 1,5 kN

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 68,25 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·1,5 + 6·5·2,5

R_B = 150/5 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 30 = 50 kN

Gdzie V = 0?

V(1,5⁻) = R_A − w·1,5 = 41 kN

V(1,5⁺) = 41 − 50 = −9 kN

Siła tnąca zmienia znak w obrębie obciążenia, więc maksimum leży pod obciążeniem.

Moment maksymalny

M_max = R_A·1,5 − w·1,5²/2 = 50·1,5 − 6·1,5²/2 = 68,25 kN·m

Odpowiedź

M_max = 68,25 kN·m

Występuje w x = 1,5 m od A.

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 107,2 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma I_c = bh³/12, a koło I_c = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (24000·120 − 2827·72)/(24000 − 2827) = 126,4 mm

Pełna płyta względem ȳ

100·240³/12 + 24000·−6,41² = 116,2 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−54,41² = 9,007 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 107,2 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 107,2 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 78,61 × 10⁶ mm⁴

Środek ciężkości

ȳ = (24000·100 − 2400·80)/(24000 − 2400) = 102,2 mm

Pełna płyta względem ȳ

120·200³/12 + 24000·−2,222² = 80,12 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

60·40³/12 + 2400·−22,22² = 1,505 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

I_x = 78,61 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 78,61 × 10⁶ mm⁴

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: θ_p = 58,28 °

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Kąt na kole

Na kole Mohra punkt x leży pod kątem 2θp od osi σ; ćwiartka wynika ze znaków σₓ − σᵧ i τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·60, 40 − 100) = 116,6°

Kąt na elemencie

θ_p = 58,28°

Odpowiedź

θ_p = 58,28°

Kąty dodatnie mierzy się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_θ = −48,48 MPa

Równanie transformacji

τ_θ = −45·0,5 + −30·0,866 = −48,48 MPa

Odpowiedź

τ_θ = −48,48 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_B = 17,26 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 29000 N, a = 500 mm, L = 3000 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Ugięcie swobodnego końca

Ugięcie pod siłą plus kąt obrotu pod siłą razy pozostała długość.

δ_P = Pa³/(3EI) = 2,031 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,006092 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 17,26 mm

Odpowiedź

δ_B = 17,26 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: M_A = 45 kN·m

Usuń podporę przesuwną

Bez podpory przesuwnej belka jest wspornikiem. Jej swobodny koniec ugiąłby się pod obciążeniem.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Warunek zgodności przemieszczeń na podporze

Sama reakcja podpory R_B podnosi swobodny koniec o R_BL³/(3EI). Podpora utrzymuje B przy zerowym ugięciu, więc oba ugięcia muszą się znosić. EI się skraca.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·10·6/8 = 22,5 kN

Moment w utwierdzeniu

Momenty obciążeń i reakcji podpory względem A.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 180 − 135 = 45 kN·m

Odpowiedź

M_A = 45 kN·m

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 14,74 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/1250² = 14739 N = 14,74 kN

Odpowiedź

P_cr = 14,74 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 54,26 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 3·70000 = 210000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 54,26 mm

Odpowiedź

d = 54,26 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 147,4, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials