Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Pręt składa się z odcinka (materiał: stal, średnica 40 mm, długość 300 mm, E = 200 GPa) połączonego końcami z odcinkiem (materiał: miedź, średnica 30 mm, długość 300 mm, E = 120 GPa). Jest zamocowany na jednym końcu i rozciągany na drugim. Wyznacz obciążenie osiowe P, które wydłuża go łącznie o 0,2 mm.

odcinek 1: stal, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPaodcinek 2: miedź, Ø30 mm, 300 mm, E = 120 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz całkowite wydłużenie δ.

P = 25 kNodcinek 1: Ø35 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)odcinek 2: Ø16 mm, 2 m, miedź (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał schodkowy (aluminium) jest utwierdzony w A. Odcinek AB ma średnicę 60 mm i długość 0,8 m; odcinek BC ma średnicę 40 mm i długość 0,5 m. Na swobodnym końcu C działa moment skręcający 1000 N·m. Wyznacz maksymalne naprężenie styczne τ_max w wale.

T = 1000 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 0,8 md₂ = 40 mm, L₂ = 0,5 m

τ_max = MPa

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał (aluminium) przenosi moc 5 kW przy 1450 rpm. Naprężenie styczne nie może przekroczyć 50 MPa, a kąt skręcenia 0,5° na m długości. Wyznacz najmniejszą średnicę d, która spełnia oba warunki.

P = 5 kWN = 1450 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 1,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 8 mw = 12 kN/m od 0 do 8 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

45 kN @ 6 m60 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Ceownik leży otwartą stroną do góry: płaskownik podstawy o szerokości 120 mm z dwoma pionowymi ramionami, o całkowitej wysokości 170 mm. Podstawa i ramiona mają grubość 14 mm. Wyznacz wysokość ȳ środka ciężkości nad dolną krawędzią.

b = 120 mmh = 170 mmt = 14 mm

ȳ = mm

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Symetryczny dwuteownik ma półki o szerokości 120 mm i grubości 20 mm, wysokość całkowitą 260 mm i środnik o grubości 12 mm. Przenosi moment zginający 80 kN·m względem osi x. Wyznacz wartość maksymalnego naprężenia od zginania σ_max w przekroju.

B = 120 mmH = 260 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmM = 80 kN·m

σ_max = MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

Punkt cienkiej płyty jest w płaskim stanie naprężenia: σₓ = −50 MPa, σᵧ = −30 MPa i τₓᵧ = −20 MPa, przy σ_z = 0. Wyznacz bezwzględne maksymalne naprężenie styczne τ_abs w tym punkcie (z uwzględnieniem wszystkich płaszczyzn w trzech wymiarach).

σ_x = −50 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

Punkt cienkiej płyty jest w płaskim stanie naprężenia: σₓ = 20 MPa, σᵧ = 100 MPa i τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0). Wyznacz naprężenie zastępcze σ_vM według hipotezy Hubera-Misesa.

σ_x = 20 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 10 MPa

σ_vM = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Wspornik o długości L jest utwierdzony w A i przenosi siłę skupioną P w odległości a = 0,5 m od A. Wyznacz ugięcie δ_P pod siłą.

P = 10 kNa = 0,5 mL = 2 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka jest utwierdzona w A i swobodnie podparta w B. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości. EI jest stałe. Wyznacz reakcję R_B na podporze przesuwnej.

L = 8 mw = 5 kN/m

R_B = kN

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (stal)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Ma przenieść 30 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 30 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (stal)

d = mm

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: P = 42,28 kN

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706,9 mm²

Podatności

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1,194 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(120000·706,9) = 3,537 × 10⁻⁶ mm/N

Obciążenie

P = 0,2/4,73 × 10⁻⁶ = 42279 N = 42,28 kN

Odpowiedź

P = 42,28 kN

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 2,868 mm

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 25,98 MPa

σ₂ = 124,3 MPa

Dodaj wydłużenia odcinków

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 25,98·2000/70000 = 0,7424 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 124,3·2000/117000 = 2,125 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,868 mm

Odpowiedź

δ = 2,868 mm

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: τ_max = 79,58 MPa

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Naprężenie w każdym odcinku

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

τ_AB = 16·1 × 10⁶/(π·60³) = 23,58 MPa

τ_BC = 16·1 × 10⁶/(π·40³) = 79,58 MPa

Odpowiedź

τ_max = 79,58 MPa

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d = 34,87 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 5000/151,8 = 32,93 N·m

Średnica z warunku wytrzymałości

T = 32,93 N·m = 32929 N·mm

d_τ = ∛(16·32929/(π·50)) = 14,97 mm

Średnica z warunku sztywności

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·32929/(π·26000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 34,87 mm

Średnica decydująca

Oba warunki muszą być spełnione, więc decyduje większa średnica.

d = max(14,97, 34,87) = 34,87 mm

Odpowiedź

d = 34,87 mm

Tutaj decyduje sztywność.

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 58,5 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, przyłożona w x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 12·8·4

R_B = 384/8 = 48 kN

ΣF_y = 0: R_A = 96 − 48 = 48 kN

Przetnij w x = 1,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 48·1,5 − 12·1,5·0,75 = 58,5 kN·m

Odpowiedź

M_x = 58,5 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: E (x = 4 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 7,5 kN, R₂ = 97,5 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 7,5, M_C = 15, M_D = −37,5, M_E = −90 kN·m, M_F = −45, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt E: M_E = −90 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: ȳ = 68,39 mm

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na prostokąty

Przyjmij podstawę na pełnej szerokości i dwa ramiona nad nią (wysokość h − t), aby nic nie liczyć dwa razy.

baza: A₁ = 120·14 = 1680 mm², y₁ = 7 mm

dwa ramiona: A₂ = 2·14·156 = 4368 mm², y₂ = 14 + 156/2 = 92 mm

Środek ciężkości

ȳ = (1680·7 + 4368·92)/6048 = 68,39 mm

Odpowiedź

ȳ = 68,39 mm

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_max = 130,1 MPa

Prostokąt zewnętrzny minus dwa boczne wycięcia

Oba wycięcia razem mają szerokość (B − t_w) i wysokość h_w = H − 2t_f oraz wspólną oś x.

h_w = 260 − 2·20 = 220 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (120·260³ − 108·220³)/12

I_x = 7,993 × 10⁷ mm⁴

Naprężenie od zginania

y = 130 mm

σ = M·y/I = 8 × 10⁷·130/7,993 × 10⁷ = 130,1 MPa

Odpowiedź

σ_max = 130,1 MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_abs = 31,18 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R. W trzech wymiarach bezwzględne maksymalne naprężenie styczne wynosi (σ_max − σ_min)/2 ze wszystkich trzech naprężeń głównych; w płaskim stanie naprężenia trzecie jest równe zeru.

Naprężenia główne w płaszczyźnie

C = −40 MPa, R = √((−10)² + (−20)²) = 22,36 MPa

σ₁ = −17,64 MPa, σ₂ = −62,36 MPa, σ_z = 0

Największe z trzech kół

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(44,72, 17,64, 62,36)/2 = 31,18 MPa

Odpowiedź

τ_abs = 31,18 MPa

Tutaj decyduje koło spoza płaszczyzny: maksimum bezwzględne jest większe niż maksimum w płaszczyźnie R.

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_vM = 93,27 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R. Hipotezy wytężeniowe: według hipotezy Hubera-Misesa uplastycznienie następuje, gdy σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) osiąga σ_Y; według hipotezy Tresci, gdy bezwzględne maksymalne naprężenie styczne osiąga σ_Y/2.

Naprężenia główne

C = 60 MPa, R = 41,23 MPa

σ₁ = 101,2 MPa, σ₂ = 18,77 MPa, σ₃ = 0

Huber-Mises

σ_vM = √(101,2² − 101,2·18,77 + 18,77²) = 93,27 MPa

Odpowiedź

σ_vM = 93,27 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_P = 1,052 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 10000 N, a = 500 mm, L = 2000 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Ugięcie pod siłą

δ_P = Pa³/(3EI) = 10000·500³/(3·3,96 × 10¹¹) = 1,052 mm

Odpowiedź

δ_P = 1,052 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: R_B = 15 kN

Usuń podporę przesuwną

Bez podpory przesuwnej belka jest wspornikiem. Jej swobodny koniec ugiąłby się pod obciążeniem.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Warunek zgodności przemieszczeń na podporze

Sama reakcja podpory R_B podnosi swobodny koniec o R_BL³/(3EI). Podpora utrzymuje B przy zerowym ugięciu, więc oba ugięcia muszą się znosić. EI się skraca.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·5·8/8 = 15 kN

Odpowiedź

R_B = 15 kN

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 9,462 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 2·4000 = 8000 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/8000² = 9462 N = 9,462 kN

Odpowiedź

P_cr = 9,462 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 33,19 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 2·30000 = 60000 N

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 33,19 mm

Odpowiedź

d = 33,19 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 168,7, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials