Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Pręt (materiał: stal, średnica 40 mm, E = 200 GPa) znajduje się wewnątrz rury (materiał: brąz, średnica zewnętrzna 100 mm, średnica wewnętrzna 70 mm, E = 110 GPa). Oba mają długość 500 mm i są razem ściskane między sztywnymi płytami siłą 150 kN. Wyznacz skrócenie δ.

P = 150 kNpręt: Ø40 mm, E = 200 GParura: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz całkowite wydłużenie δ.

P = 95 kNodcinek 1: Ø30 mm, 0,5 m, mosiądz (E = 100 GPa)odcinek 2: Ø20 mm, 0,5 m, stal (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (stal) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 100 N·md = 20 mmL = 0,8 mG = 80 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Wał drążony przenosi 100 kW przy 1800 obr/min. Wyznacz maksymalne naprężenie styczne τ_max w wale.

P = 100 kWN = 1800 rpmd_o = 100 mmd_i = 80 mm

τ_max = MPa

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Belka swobodnie podparta jest obciążona momentem skupionym M₀ = 30 kN·m działającym zgodnie z ruchem wskazówek zegara w x = 2,5 m od A i niczym więcej. Wyznacz moment zginający M_x tuż na lewo od momentu skupionego. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mM₀ = 30 kN·m zgodnie z ruchem wskazówek zegara, w odległości 2,5 m

M_x = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 0,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 10 mP = 25 kN w 2 mw = 3 kN/m od 0 do 10 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 260 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 15 kN·m. Wyznacz naprężenie od zginania σ_dół na dolnej krawędzi.

b_f = 300 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 280 mmM = 15 kN·m

σ_dół = MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 90 MPa, σᵧ = 100 MPa i τₓᵧ = −60 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz maksymalne naprężenie styczne w płaszczyźnie τ_max.

σ_x = 90 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −60 MPa

τ_max = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 130 MPa, σᵧ = −30 MPa i τₓᵧ = 30 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie normalne σ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 20° zgodnie z ruchem wskazówek zegara względem osi x.

σ_x = 130 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz kąt obrotu θ_A belki na podporze A, w radianach.

w = 15 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 57 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi siłę skupioną P w odległości b = 1 m od podpory B. Wyznacz maksymalne ugięcie δ_max belki.

P = 29 kNb = 1 mL = 4 mE = 200 GPa (stal)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest przegubowo podparty na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony na obu końcach. Ma przenieść 110 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 3 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 110 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (stal)

d = mm

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 0,1084 mm

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Łączna sztywność osiowa

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·4006 = 6,919 × 10⁸ N

Skrócenie

δ = 150000·500/6,919 × 10⁸ = 0,1084 mm

Odpowiedź

δ = 0,1084 mm

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 1,428 mm

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 134,4 MPa

σ₂ = 302,4 MPa

Dodaj wydłużenia odcinków

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 134,4·500/100000 = 0,672 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 302,4·500/200000 = 0,756 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,428 mm

Odpowiedź

δ = 1,428 mm

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 3,648 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 100·1000·800/(80000·15708) = 0,06366 rad

φ = 0,06366·180/π = 3,648°

Odpowiedź

φ = 3,648°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: τ_max = 4,576 MPa

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 100000/188,5 = 530,5 N·m

Biegunowy moment bezwładności

J = π(100⁴ − 80⁴)/32 = 5,796 × 10⁶ mm⁴

Maksymalne naprężenie styczne

τ_max = T·(d_o/2)/J = 530516·50/5,796 × 10⁶ = 4,576 MPa

Odpowiedź

τ_max = 4,576 MPa

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = −12,5 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Przyłożony moment skupiony powoduje skok na wykresie momentów zginających o wartość tego momentu.

Reakcje podpór

Momenty względem A, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnie: R_B·L − M₀ = 0. Równowaga pionowa: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 30/6 = 5 kN (w górę)

R_A = −R_B = −5 kN (w dół)

Przekrój tuż na lewo od momentu skupionego

Lewa część zawiera tylko R_A.

M_x = R_A·a = −5·2,5 = −12,5 kN·m

Odpowiedź

M_x = −12,5 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 17,13 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, przyłożona w x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 25·2 + 3·10·5

R_B = 200/10 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 20 = 35 kN

Przetnij w x = 0,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 35·0,5 − 3·0,5·0,25 = 17,13 kN·m

Odpowiedź

M_x = 17,13 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 10,18 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 260·15 = 3900 mm², y_f = 160 + 15/2 = 167,5 mm

środnik: A_w = 8·160 = 1280 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3900·167,5 + 1280·80)/5180 = 145,9 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 260·15³/12 + 3900·(167,5 − 145,9)² = 1,896 × 10⁶ mm⁴

środnik: 8·160³/12 + 1280·(80 − 145,9)² = 8,286 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,896 × 10⁶ + 8,286 × 10⁶ = 1,018 × 10⁷ mm⁴ = 10,18 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 10,18 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_dół = 30,57 MPa

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 300·25 = 7500 mm², y_f = 280 + 25/2 = 292,5 mm

środnik: A_w = 20·280 = 5600 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7500·292,5 + 5600·140)/13100 = 227,3 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 300·25³/12 + 7500·(292,5 − 227,3)² = 3,226 × 10⁷ mm⁴

środnik: 20·280³/12 + 5600·(140 − 227,3)² = 7,927 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,226 × 10⁷ + 7,927 × 10⁷ = 1,115 × 10⁸ mm⁴

Naprężenie od zginania

Dolna krawędź jest w odległości ȳ od osi.

y = 227,3 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·227,3/1,115 × 10⁸ = 30,57 MPa

Odpowiedź

σ_dół = 30,57 MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_max = 60,21 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Promień koła Mohra

τ_max = R = √(((90 − 100)/2)² + −60²) = 60,21 MPa

Odpowiedź

τ_max = 60,21 MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_θ = 92 MPa

Równanie transformacji

σ_θ = 50 + 80·0,766 + 30·−0,6428 = 92 MPa

Odpowiedź

σ_θ = 92 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: θ_A = 0,02691 rad

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja). Kąt obrotu θ = dv/dx to pierwsza całka z M/(EI); w spójnych jednostkach wychodzi w radianach.

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 3000 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Kąt obrotu końca

θ_A = wL³/(24EI) = 15·3000³/(24·6,27 × 10¹¹) = 0,02691 rad

Odpowiedź

θ_A = 0,02691 rad

To 1,542°.

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 1,608 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 29000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Położenie maksimum

Przyrównanie kąta obrotu na dłuższym odcinku do zera daje położenie.

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1000²)/3) = 2236 mm

Maksymalne ugięcie

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 1,608 mm

Odpowiedź

δ_max = 1,608 mm

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 11,51 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 1·2500 = 2500 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/2500² = 11515 N = 11,51 kN

Odpowiedź

P_cr = 11,51 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 60,75 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 3·110000 = 330000 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·330000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 60,75 mm

Odpowiedź

d = 60,75 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 131,7, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials