Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz odkształcenie osiowe ε w pręcie (stal), w mikroodkształceniach (µε = 10⁻⁶).

P = 25 kNd = 20 mmL = 2,5 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Odcinek (materiał: stal, średnica 30 mm, długość 300 mm, E = 200 GPa) i odcinek (materiał: brąz, średnica 60 mm, długość 300 mm, E = 110 GPa) są połączone końcami i zamocowane między dwiema sztywnymi ścianami. W miejscu połączenia działa obciążenie osiowe 80 kN skierowane ku odcinkowi 2. Wyznacz wartość naprężenia σ₂ w odcinku 2.

odcinek 1: stal, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPaodcinek 2: brąz, Ø60 mm, 300 mm, E = 110 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał schodkowy (mosiądz) jest utwierdzony w A. Odcinek AB ma średnicę 75 mm i długość 0,8 m; odcinek BC ma średnicę 60 mm i długość 2 m. Na swobodnym końcu C działa moment skręcający 1000 N·m. Wyznacz kąt skręcenia φ_C końca C w stopniach.

T = 1000 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 0,8 md₂ = 60 mm, L₂ = 2 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał (aluminium) o średnicy 40 mm jest utwierdzony w sztywnych ścianach na obu końcach A i B. W C, w odległości 2 m od A i 1 m od B, przyłożono moment skręcający 250 N·m. Wyznacz moment reakcji T_A w ścianie A.

d = 40 mmT₀ = 250 N·ma = 2 mb = 1 m

T_A = N·m

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wspornik jest utwierdzony w A. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości oraz siłę skupioną P w odległości 2,5 m od A. Wyznacz moment zginający M_A w utwierdzeniu A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 2,5 mP = 75 kN w 2,5 mw = 8 kN/m od 0 do 2,5 m

M_A = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 8 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 10 mP = 35 kN w 3 mw = 3 kN/m od 0 do 10 mx = 8 m

M_x = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Symetryczny dwuteownik ma półki o szerokości 210 mm i grubości 24 mm, wysokość całkowitą 500 mm i środnik o grubości 8 mm. Wyznacz jego sprężysty wskaźnik wytrzymałości S_x przy zginaniu względem poziomej osi centralnej x.

B = 210 mmH = 500 mmt_f = 24 mmt_w = 8 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Belka żeliwna ma pokazany przekrój teowy z półką u góry. Naprężenia dopuszczalne wynoszą 35 MPa przy rozciąganiu i 100 MPa przy ściskaniu. Wyznacz największy ujemny moment zginający M_allow, jaki może przenieść belka (podaj jego wartość bezwzględną).

b_f = 220 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 280 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 90 MPa, σᵧ = 0 MPa i τₓᵧ = −20 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz kąt θ_p od osi x do kierunku największego naprężenia głównego, z przedziału od −90° do 90°.

σ_x = 90 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_p = °

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

Pełny wał o średnicy 40 mm przenosi osiową siłę rozciągającą 70 kN wraz z momentem skręcającym 750 N·m. Na powierzchni wału, wyznacz największe naprężenie główne σ₁.

d = 40 mmF = 70 kNT = 750 N·m

σ₁ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz maksymalne ugięcie δ_max w środku rozpiętości.

w = 6 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (stal)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka drewniana swobodnie podparta o przekroju prostokątnym i szerokości 50 mm przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Jej ugięcie w środku rozpiętości nie może przekroczyć rozpiętość/250. Wyznacz najmniejszą wysokość h_req przekroju.

w = 1 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)b = 50 mm

h_req = mm

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (stal)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony na obu końcach. Ma przenieść 50 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 50 kNn = 2L = 1,5 mE = 200 GPa (stal)

d = mm

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: ε = 397,9 µε

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 25·1000/314,2 = 79,58 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for stal = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 79,58/200000 = 0,0003979 = 397,9 µε

Odpowiedź

ε = 397,9 µε

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: σ₂ = 19,45 MPa

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Sztywności

k₁ = 200000·706,9/300 = 471239 N/mm

k₂ = 110000·2827/300 = 1,037 × 10⁶ N/mm

Udział odcinka 2

F₂ = 80000·1,037 × 10⁶/1,508 × 10⁶ = 55000 N

Naprężenie

σ₂ = 55000/2827 = 19,45 MPa (ściskanie)

Odpowiedź

σ₂ = 19,45 MPa

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ_C = 2,688 °

Biegunowe momenty bezwładności

J₁ = π·75⁴/32 = 3,106 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

Kąt skręcenia każdego odcinka

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 1 × 10⁶·800/(39000·3,106 × 10⁶) = 0,006604 rad

φ_BC = 1 × 10⁶·2000/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,04031 rad

Całkowity kąt skręcenia

φ_C = 0,006604 + 0,04031 = 0,04691 rad = 2,688°

Odpowiedź

φ_C = 2,688°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: T_A = 83,33 N·m

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω. Gdy oba końce są utwierdzone, sama statyka daje tylko T_A + T_B = T₀; drugim równaniem jest warunek zgodności (równy kąt skręcenia obu części w obciążonym przekroju).

Równowaga i zgodność

T_A + T_B = 250

T_A·a = T_B·b

T_A = 250·1/3 = 83,33 N·m

T_B = 250·2/3 = 166,7 N·m

Odpowiedź

T_A = 83,33 N·m

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_A = −212,5 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Zostaw część ze swobodnym końcem

P: −75·2,5 = −187,5 kN·m

w: −8·2,5²/2 = −25 kN·m

M_A = −187,5 − 25 = −212,5 kN·m

Odpowiedź

M_A = −212,5 kN·m

Wartość ujemna oznacza moment ujemny: rozciągane są górne włókna.

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 45 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, przyłożona w x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 35·3 + 3·10·5

R_B = 255/10 = 25,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 25,5 = 39,5 kN

Przetnij w x = 8 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 39,5·8 − 35·(8 − 3) − 3·8·4 = 45 kN·m

Odpowiedź

M_x = 45 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: S_x = 2532 × 10³ mm³

Moment bezwładności: dla prostokąta względem własnej osi centralnej I = bh³/12, a względem podstawy bh³/3 (twierdzenie Steinera I = I_c + A·d²). Otwór uwzględnia się, odejmując jego I, o ile obie części odnoszą się do tej samej osi. Sprężysty wskaźnik wytrzymałości to S = I/c, gdzie c jest odległością do skrajnych włókien.

Prostokąt zewnętrzny minus dwa boczne wycięcia

Oba wycięcia razem mają szerokość (B − t_w) i wysokość h_w = H − 2t_f oraz wspólną oś x.

h_w = 500 − 2·24 = 452 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (210·500³ − 202·452³)/12

I_x = 6,33 × 10⁸ mm⁴

Wskaźnik wytrzymałości przekroju

c = H/2 = 250 mm

S_x = I/c = 6,33 × 10⁸/250

S_x = 2,532 × 10⁶ mm³ = 2532 × 10³ mm³

Odpowiedź

S_x = 2532 × 10³ mm³

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: M_allow = 26,53 kN·m

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Środek ciężkości

ȳ = (6600·295 + 2800·140)/9400 = 248,8 mm

krawędź górna: c = 310 − 248,8 = 61,17 mm

Moment bezwładności przekroju

I = 220·30³/12 + 6600·46,17² + 10·280³/12 + 2800·108,8² = 6,602 × 10⁷ mm⁴

Moment dopuszczalny dla każdej krawędzi

Moment ujemny: góra jest rozciągana, dół ściskany.

krawędź górna: M = 35·6,602 × 10⁷/61,17 = 37,78 kN·m

krawędź dolna: M = 100·6,602 × 10⁷/248,8 = 26,53 kN·m

Wartość decydująca

M_allow = min = 26,53 kN·m (krawędź dolna)

Odpowiedź

M_allow = 26,53 kN·m

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: θ_p = −11,98 °

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Kąt na kole

Na kole Mohra punkt x leży pod kątem 2θp od osi σ; ćwiartka wynika ze znaków σₓ − σᵧ i τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−20, 90 − 0) = −23,96°

Kąt na elemencie

θ_p = −11,98°

Odpowiedź

θ_p = −11,98°

Kąty dodatnie mierzy się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ₁ = 93,71 MPa

Naprężenia na powierzchni

σ = F/A = 70000/(π·40²/4) = 70000/1257 = 55,7 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·40³) = 59,68 MPa

Koło Mohra

C = σ/2 = 27,85 MPa

R = √(27,85² + 59,68²) = 65,86 MPa

σ₁ = C + R = 93,71 MPa

σ₂ = C − R = −38,01 MPa

Odpowiedź

σ₁ = 93,71 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 1,376 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 3000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Ugięcie

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·3000⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 1,376 mm

Odpowiedź

δ_max = 1,376 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: h_req = 165,7 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

Warunek ugięcia

δ_allow = L/250 = 4000/250 = 16 mm

Wymagany moment bezwładności

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1·4000⁴/(384·11000·16) = 1,894 × 10⁷ mm⁴

Wymagana wysokość

bh³/12 = I_req → h = (12·1,894 × 10⁷/50)^1/3 = 165,7 mm

Odpowiedź

h_req = 165,7 mm

W praktyce wybierz najbliższą większą wysokość znormalizowaną.

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 110,2 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 1·1500 = 1500 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1500² = 110245 N = 110,2 kN

Odpowiedź

P_cr = 110,2 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 27,6 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 2·50000 = 100000 N

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·750²/(π³·200000))^(1/4) = 27,6 mm

Odpowiedź

d = 27,6 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 108,7, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials