Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Pręt składa się z odcinka (materiał: stal, średnica 40 mm, długość 300 mm, E = 200 GPa) połączonego końcami z odcinkiem (materiał: mosiądz, średnica 30 mm, długość 300 mm, E = 100 GPa). Jest zamocowany na jednym końcu i rozciągany na drugim. Wyznacz obciążenie osiowe P, które wydłuża go łącznie o 0,5 mm.

odcinek 1: stal, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPaodcinek 2: mosiądz, Ø30 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt (materiał: stal, średnica 30 mm, E = 200 GPa, naprężenie dopuszczalne 160 MPa) znajduje się wewnątrz rury (materiał: aluminium, średnica zewnętrzna 120 mm, średnica wewnętrzna 60 mm, E = 70 GPa, naprężenie dopuszczalne 60 MPa). Są razem ściskane między sztywnymi płytami. Wyznacz największe obciążenie P_max.

pręt: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MParura: Ø120/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Skręcanie wałówŚredni

Drążony wał (stal) (średnica zewnętrzna 60 mm, wewnętrzna 42 mm, długość 2,5 m) jest utwierdzony na jednym końcu i skręcany momentem 200 N·m na drugim. Wyznacz kąt skręcenia φ w stopniach.

T = 200 N·md_o = 60 mmd_i = 42 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał (mosiądz) o średnicy 60 mm jest utwierdzony w A. Moment skręcający 1500 N·m działa w B, w odległości 3 m od A, a moment 250 N·m o tym samym kierunku działa na swobodnym końcu C, o 2,5 m dalej. Wyznacz wartość kąta skręcenia φ_C końca C w stopniach.

d = 60 mmT_B = 1500 N·mT_C = 250 N·mAB = 3 mBC = 2,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz siłę tnącą V_x w przekroju x = 4,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mw = 10 kN/m od 0 do 6 mx = 4,5 m

V_x = kN

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 1 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 4 mP = 45 kN w 2 mw = 4 kN/m od 0 do 4 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Ceownik leży otwartą stroną do góry: płaskownik podstawy o szerokości 120 mm z dwoma pionowymi ramionami, o całkowitej wysokości 200 mm. Podstawa i ramiona mają grubość 14 mm. Wyznacz jego moment bezwładności I_x względem poziomej osi x przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 120 mmh = 200 mmt = 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Symetryczny dwuteownik ma półki o szerokości 120 mm i grubości 16 mm, wysokość całkowitą 460 mm i środnik o grubości 6 mm. Przenosi moment zginający 60 kN·m względem osi x. Wyznacz wartość naprężenia od zginania σ_j na styku środnika z górną półką.

B = 120 mmH = 460 mmt_f = 16 mmt_w = 6 mmM = 60 kN·m

σ_j = MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = 80 MPa, σᵧ = −80 MPa i τₓᵧ = 50 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz kąt θ_s z przedziału od −90° do 90°, mierzony od osi x do normalnej płaszczyzny, na której naprężenie styczne osiąga maksymalną wartość dodatnią +R (naprężenie styczne dodatnie w tym samym sensie co τₓᵧ).

σ_x = 80 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_s = °

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = −10 MPa, σᵧ = −50 MPa i τₓᵧ = 30 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie normalne σ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 30° zgodnie z ruchem wskazówek zegara względem osi x.

σ_x = −10 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Wspornik przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości. Wyznacz ugięcie δ swobodnego końca.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (stal)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka jest utwierdzona w A i swobodnie podparta w B. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości. EI jest stałe. Wyznacz wartość momentu zginającego M_A w utwierdzeniu.

L = 4 mw = 15 kN/m

M_A = kN·m

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 20 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 5 mE = 200 GPa (stal)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: P = 91,95 kN

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706,9 mm²

Podatności

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1,194 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N

Obciążenie

P = 0,5/5,438 × 10⁻⁶ = 91949 N = 91,95 kN

Odpowiedź

P = 91,95 kN

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: P_max = 588,1 kN

Pola

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Łączna sztywność osiowa

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·8482 = 7,351 × 10⁸ N

Decydujące odkształcenie

ε = min(0,0008, 0,0008571) = 0,0008 (stal)

Największe obciążenie

P_max = 0,0008·7,351 × 10⁸ = 588106 N = 588,1 kN

Odpowiedź

P_max = 588,1 kN

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 0,3704 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴

Kąt skręcenia

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 200000·2500/(80000·966855) = 0,006464 rad

φ = 0,006464·180/π = 0,3704°

Odpowiedź

φ = 0,3704°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ_C = 6,784 °

Momenty wewnętrzne

Zwrot T_C przyjęty jako dodatni.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C + T_B = 250 + 1500 = 1750 N·m

Kąt skręcenia każdego odcinka

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 1,75 × 10⁶·3000/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,1058 rad

φ_BC = 250000·2500/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,0126 rad

Kąt skręcenia końca C

φ_C = 0,1058 + 0,0126 = 0,1184 rad → |φ_C| = 6,784°

Odpowiedź

φ_C = 6,784°

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: V_x = −15 kN

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·6·3

R_B = 180/6 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Przetnij w x = 4,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

V = R_A − (wszystkie obciążenia w dół na lewo od przekroju)

V_x = 30 − 10·4,5 = −15 kN

Odpowiedź

V_x = −15 kN

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 28,5 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, przyłożona w x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·2 + 4·4·2

R_B = 122/4 = 30,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 61 − 30,5 = 30,5 kN

Przetnij w x = 1 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 30,5·1 − 4·1·0,5 = 28,5 kN·m

Odpowiedź

M_x = 28,5 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 27,74 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na prostokąty

Przyjmij podstawę na pełnej szerokości i dwa ramiona nad nią (wysokość h − t), aby nic nie liczyć dwa razy.

baza: A₁ = 120·14 = 1680 mm², y₁ = 7 mm

dwa ramiona: A₂ = 2·14·186 = 5208 mm², y₂ = 14 + 186/2 = 107 mm

Środek ciężkości

ȳ = (1680·7 + 5208·107)/6888 = 82,61 mm

Twierdzenie Steinera

baza: 120·14³/12 + 1680·(7 − 82,61)² = 9,632 × 10⁶ mm⁴

dwa ramiona: 2·14·186³/12 + 5208·(107 − 82,61)² = 1,811 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,632 × 10⁶ + 1,811 × 10⁷

I_x = 2,774 × 10⁷ mm⁴ = 27,74 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 27,74 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_j = 56,18 MPa

Prostokąt zewnętrzny minus dwa boczne wycięcia

Oba wycięcia razem mają szerokość (B − t_w) i wysokość h_w = H − 2t_f oraz wspólną oś x.

h_w = 460 − 2·16 = 428 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (120·460³ − 114·428³)/12

I_x = 2,285 × 10⁸ mm⁴

Naprężenie od zginania

y = 230 − 16 = 214 mm

σ = M·y/I = 6 × 10⁷·214/2,285 × 10⁸ = 56,18 MPa

Odpowiedź

σ_j = 56,18 MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: θ_s = −29 °

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Kąt na kole

Na kole Mohra najwyższy punkt (+R) jest odległy o 90° od punktu głównego σ₁; na elemencie odpowiada to 45°.

cos 2θ_s = 50/94,34 = 0,53, sin 2θ_s = −80/94,34 = −0,848

2θ_s = atan2(−80, 50) = −57,99°

Kąt na elemencie

θ_s = −29°

sprawdzenie: θ_s − θ_p = −29 − 16 = −45°

Odpowiedź

θ_s = −29°

Kąty dodatnie mierzy się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_θ = −45,98 MPa

Równanie transformacji

σ_θ = −30 + 20·0,5 + 30·−0,866 = −45,98 MPa

Odpowiedź

σ_θ = −45,98 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ = 20 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 4000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Ugięcie

δ = wL⁴/(8EI) = 15·4000⁴/(8·2,4 × 10¹³) = 20 mm

Odpowiedź

δ = 20 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: M_A = 30 kN·m

Usuń podporę przesuwną

Bez podpory przesuwnej belka jest wspornikiem. Jej swobodny koniec ugiąłby się pod obciążeniem.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Warunek zgodności przemieszczeń na podporze

Sama reakcja podpory R_B podnosi swobodny koniec o R_BL³/(3EI). Podpora utrzymuje B przy zerowym ugięciu, więc oba ugięcia muszą się znosić. EI się skraca.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·15·4/8 = 22,5 kN

Moment w utwierdzeniu

Momenty obciążeń i reakcji podpory względem A.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 120 − 90 = 30 kN·m

Odpowiedź

M_A = 30 kN·m

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 3,473 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1250² = 3473 N = 3,473 kN

Odpowiedź

P_cr = 3,473 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 9,064 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/7,5 = 466,7

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/466,7² = 9,064 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 9,064 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials