Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Pręt (materiał: stal, średnica 20 mm, E = 200 GPa) znajduje się wewnątrz rury (materiał: miedź, średnica zewnętrzna 120 mm, średnica wewnętrzna 60 mm, E = 120 GPa). Oba mają długość 400 mm i są razem ściskane między sztywnymi płytami siłą 50 kN. Wyznacz skrócenie δ.

P = 50 kNpręt: Ø20 mm, E = 200 GParura: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Odcinek (materiał: stal, średnica 40 mm, długość 500 mm, E = 200 GPa) i odcinek (materiał: aluminium, średnica 40 mm, długość 400 mm, E = 70 GPa) są połączone końcami i zamocowane między dwiema sztywnymi ścianami. W miejscu połączenia działa obciążenie osiowe 30 kN skierowane ku odcinkowi 2. Wyznacz wartość naprężenia σ₂ w odcinku 2.

odcinek 1: stal, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPaodcinek 2: aluminium, Ø40 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (stal) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 250 N·md = 40 mmL = 0,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Wał drążony przenosi 20 kW przy 500 obr/min. Wyznacz maksymalne naprężenie styczne τ_max w wale.

P = 20 kWN = 500 rpmd_o = 75 mmd_i = 38 mm

τ_max = MPa

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 3 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 8 mw = 8 kN/m od 0 do 8 mx = 3 m

M_x = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

55 kN @ 6 m12 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 260 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 20 kN·m. Wyznacz wartość naprężenia od zginania σ_góra na górnej krawędzi.

b_f = 260 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 180 mmM = 20 kN·m

σ_góra = MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = 140 MPa, σᵧ = 120 MPa i τₓᵧ = 60 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz kąt θ_s z przedziału od −90° do 90°, mierzony od osi x do normalnej płaszczyzny, na której naprężenie styczne osiąga maksymalną wartość dodatnią +R (naprężenie styczne dodatnie w tym samym sensie co τₓᵧ).

σ_x = 140 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_s = °

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

Pełny wał o średnicy 50 mm przenosi osiową siłę ściskającą 150 kN wraz z momentem skręcającym 2000 N·m. Na powierzchni wału, wyznacz największe naprężenie główne σ₁.

d = 50 mmF = −150 kNT = 2000 N·m

σ₁ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz maksymalne ugięcie δ_max w środku rozpiętości.

w = 8 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w i siłę skupioną P w środku rozpiętości. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie w środku δ_max.

P = 6 kNw = 4 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Ma przenieść 40 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 40 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (stal)

d = mm

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 0,01851 mm

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Łączna sztywność osiowa

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·8482 = 1,081 × 10⁹ N

Skrócenie

δ = 50000·400/1,081 × 10⁹ = 0,01851 mm

Odpowiedź

δ = 0,01851 mm

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: σ₂ = 7,266 MPa

Sztywności

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm

k₂ = 70000·1257/400 = 219911 N/mm

Udział odcinka 2

F₂ = 30000·219911/722566 = 9130 N

Naprężenie

σ₂ = 9130/1257 = 7,266 MPa (ściskanie)

Odpowiedź

σ₂ = 7,266 MPa

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 0,3562 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 250·1000·500/(80000·251327) = 0,006217 rad

φ = 0,006217·180/π = 0,3562°

Odpowiedź

φ = 0,3562°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: τ_max = 4,937 MPa

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 20000/52,36 = 382 N·m

Biegunowy moment bezwładności

J = π(75⁴ − 38⁴)/32 = 2,902 × 10⁶ mm⁴

Maksymalne naprężenie styczne

τ_max = T·(d_o/2)/J = 381972·37,5/2,902 × 10⁶ = 4,937 MPa

Odpowiedź

τ_max = 4,937 MPa

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 60 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, przyłożona w x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 8·8·4

R_B = 256/8 = 32 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 32 = 32 kN

Przetnij w x = 3 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 32·3 − 8·3·1,5 = 60 kN·m

Odpowiedź

M_x = 60 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: F (x = 5 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 19 kN, R₂ = 96 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 13, M_C = 14, M_D = 3, M_E = −20, M_F = −55 kN·m, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt F: M_F = −55 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 25,24 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 260·15 = 3900 mm², y_f = 200 + 15/2 = 207,5 mm

środnik: A_w = 12·200 = 2400 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3900·207,5 + 2400·100)/6300 = 166,5 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 260·15³/12 + 3900·(207,5 − 166,5)² = 6,614 × 10⁶ mm⁴

środnik: 12·200³/12 + 2400·(100 − 166,5)² = 1,863 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,614 × 10⁶ + 1,863 × 10⁷ = 2,524 × 10⁷ mm⁴ = 25,24 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 25,24 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_góra = 25,71 MPa

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 260·30 = 7800 mm², y_f = 180 + 30/2 = 195 mm

środnik: A_w = 20·180 = 3600 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7800·195 + 3600·90)/11400 = 161,8 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 260·30³/12 + 7800·(195 − 161,8)² = 9,161 × 10⁶ mm⁴

środnik: 20·180³/12 + 3600·(90 − 161,8)² = 2,83 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,161 × 10⁶ + 2,83 × 10⁷ = 3,746 × 10⁷ mm⁴

Naprężenie od zginania

Górna krawędź jest w odległości h − ȳ od osi.

y = 210 − 161,8 = 48,16 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·48,16/3,746 × 10⁷ = 25,71 MPa

Odpowiedź

σ_góra = 25,71 MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: θ_s = −4,731 °

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Kąt na kole

Na kole Mohra najwyższy punkt (+R) jest odległy o 90° od punktu głównego σ₁; na elemencie odpowiada to 45°.

cos 2θ_s = 60/60,83 = 0,9864, sin 2θ_s = −10/60,83 = −0,1644

2θ_s = atan2(−10, 60) = −9,462°

Kąt na elemencie

θ_s = −4,731°

sprawdzenie: θ_s − θ_p = −4,731 − 40,27 = −45°

Odpowiedź

θ_s = −4,731°

Kąty dodatnie mierzy się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ₁ = 51,8 MPa

Naprężenia na powierzchni

σ = F/A = −150000/(π·50²/4) = −150000/1963 = −76,39 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·50³) = 81,49 MPa

Koło Mohra

C = σ/2 = −38,2 MPa

R = √((−38,2)² + 81,49²) = 90 MPa

σ₁ = C + R = 51,8 MPa

σ₂ = C − R = −128,2 MPa

Odpowiedź

σ₁ = 51,8 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 5,813 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Ugięcie

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·5000⁴/(384·1,12 × 10¹³) = 5,813 mm

Odpowiedź

δ_max = 5,813 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 25,4 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 6000 N, w = 4 N/mm, L = 4000 mm, EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Każde obciążenie osobno

δ_P = PL³/(48EI) = 6000·4000³/(48·8,4 × 10¹¹) = 9,524 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·4000⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 15,87 mm

Dodaj

δ_max = 9,524 + 15,87 = 25,4 mm

Odpowiedź

δ_max = 25,4 mm

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 8,188 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·26667/1500² = 8188 N = 8,188 kN

Odpowiedź

P_cr = 8,188 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 50,44 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 2·40000 = 80000 N

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·80000·2800²/(π³·200000))^(1/4) = 50,44 mm

Odpowiedź

d = 50,44 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 222, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials