Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Pręt składa się z odcinka (materiał: stal, średnica 20 mm, długość 500 mm, E = 200 GPa) połączonego końcami z odcinkiem (materiał: mosiądz, średnica 60 mm, długość 200 mm, E = 100 GPa). Jest zamocowany na jednym końcu i rozciągany na drugim. Wyznacz obciążenie osiowe P, które wydłuża go łącznie o 0,4 mm.

odcinek 1: stal, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPaodcinek 2: mosiądz, Ø60 mm, 200 mm, E = 100 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz największe naprężenie normalne σ_max w pręcie.

P = 120 kNodcinek 1: Ø40 mm, 1 m, miedź (E = 117 GPa)odcinek 2: Ø16 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (aluminium) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 400 N·md = 50 mmL = 1,2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Wał drążony przenosi 15 kW przy 1000 obr/min. Wyznacz maksymalne naprężenie styczne τ_max w wale.

P = 15 kWN = 1000 rpmd_o = 40 mmd_i = 24 mm

τ_max = MPa

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

30 kN @ 1 m60 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 3,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5 mP = 30 kN w 3,5 mw = 3 kN/m od 0 do 5 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Ceownik leży otwartą stroną do góry: płaskownik podstawy o szerokości 200 mm z dwoma pionowymi ramionami, o całkowitej wysokości 110 mm. Podstawa i ramiona mają grubość 8 mm. Wyznacz jego moment bezwładności I_x względem poziomej osi x przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 200 mmh = 110 mmt = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Symetryczny dwuteownik ma półki o szerokości 200 mm i grubości 18 mm, wysokość całkowitą 320 mm i środnik o grubości 8 mm. Przenosi moment zginający 80 kN·m względem osi x. Wyznacz wartość naprężenia od zginania σ_j na styku środnika z górną półką.

B = 200 mmH = 320 mmt_f = 18 mmt_w = 8 mmM = 80 kN·m

σ_j = MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = 140 MPa, σᵧ = 0 MPa i τₓᵧ = −60 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz kąt θ_s z przedziału od −90° do 90°, mierzony od osi x do normalnej płaszczyzny, na której naprężenie styczne osiąga maksymalną wartość dodatnią +R (naprężenie styczne dodatnie w tym samym sensie co τₓᵧ).

σ_x = 140 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_s = °

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 80 MPa, σᵧ = 60 MPa i τₓᵧ = −60 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie normalne σ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 30° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem osi x.

σ_x = 80 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz maksymalne ugięcie δ_max w środku rozpiętości.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w i siłę skupioną P w środku rozpiętości. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie w środku δ_max.

P = 4 kNw = 12 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (stal)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (stal)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Ma przenieść 10 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 3 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 10 kNn = 3L = 1 mE = 200 GPa (stal)

d = mm

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: P = 46,16 kN

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 2827 mm²

Podatności

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314,2) = 7,958 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(100000·2827) = 7,074 × 10⁻⁷ mm/N

Obciążenie

P = 0,4/8,665 × 10⁻⁶ = 46162 N = 46,16 kN

Odpowiedź

P = 46,16 kN

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: σ_max = 596,8 MPa

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 95,49 MPa

σ₂ = 596,8 MPa

Największe naprężenie

Cieńszy odcinek ma mniejsze pole, więc przenosi większe naprężenie.

σ_max = 596,8 MPa

Odpowiedź

σ_max = 596,8 MPa

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 1,724 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1200/(26000·613592) = 0,03009 rad

φ = 0,03009·180/π = 1,724°

Odpowiedź

φ = 1,724°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: τ_max = 13,1 MPa

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 15000/104,7 = 143,2 N·m

Biegunowy moment bezwładności

J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴

Maksymalne naprężenie styczne

τ_max = T·(d_o/2)/J = 143239·20/218755 = 13,1 MPa

Odpowiedź

τ_max = 13,1 MPa

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: E (x = 4 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 45 kN, R₂ = 45 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 45, M_C = 60, M_D = 75, M_E = 90 kN·m, M_F = 45, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt E: M_E = 90 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 39,38 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·3,5 + 3·5·2,5

R_B = 142,5/5 = 28,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 28,5 = 16,5 kN

Przetnij w x = 3,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 16,5·3,5 − 3·3,5·1,75 = 39,38 kN·m

Odpowiedź

M_x = 39,38 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 3,867 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na prostokąty

Przyjmij podstawę na pełnej szerokości i dwa ramiona nad nią (wysokość h − t), aby nic nie liczyć dwa razy.

baza: A₁ = 200·8 = 1600 mm², y₁ = 4 mm

dwa ramiona: A₂ = 2·8·102 = 1632 mm², y₂ = 8 + 102/2 = 59 mm

Środek ciężkości

ȳ = (1600·4 + 1632·59)/3232 = 31,77 mm

Twierdzenie Steinera

baza: 200·8³/12 + 1600·(4 − 31,77)² = 1,243 × 10⁶ mm⁴

dwa ramiona: 2·8·102³/12 + 1632·(59 − 31,77)² = 2,625 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,243 × 10⁶ + 2,625 × 10⁶

I_x = 3,867 × 10⁶ mm⁴ = 3,867 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 3,867 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_j = 63,24 MPa

Prostokąt zewnętrzny minus dwa boczne wycięcia

Oba wycięcia razem mają szerokość (B − t_w) i wysokość h_w = H − 2t_f oraz wspólną oś x.

h_w = 320 − 2·18 = 284 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (200·320³ − 192·284³)/12

I_x = 1,796 × 10⁸ mm⁴

Naprężenie od zginania

y = 160 − 18 = 142 mm

σ = M·y/I = 8 × 10⁷·142/1,796 × 10⁸ = 63,24 MPa

Odpowiedź

σ_j = 63,24 MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: θ_s = −65,3 °

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Kąt na kole

Na kole Mohra najwyższy punkt (+R) jest odległy o 90° od punktu głównego σ₁; na elemencie odpowiada to 45°.

cos 2θ_s = −60/92,2 = −0,6508, sin 2θ_s = −70/92,2 = −0,7593

2θ_s = atan2(−70, −60) = −130,6°

Kąt na elemencie

θ_s = −65,3°

sprawdzenie: θ_s − θ_p = −65,3 − (−20,3) = −45°

Odpowiedź

θ_s = −65,3°

Kąty dodatnie mierzy się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_θ = 23,04 MPa

Równanie transformacji

σ_θ = 70 + 10·0,5 + −60·0,866 = 23,04 MPa

Odpowiedź

σ_θ = 23,04 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 3,995 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Ugięcie

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·3000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 3,995 mm

Odpowiedź

δ_max = 3,995 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 9,855 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 4000 N, w = 12 N/mm, L = 4000 mm, EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Każde obciążenie osobno

δ_P = PL³/(48EI) = 4000·4000³/(48·4,6 × 10¹²) = 1,159 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·4000⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 8,696 mm

Dodaj

δ_max = 1,159 + 8,696 = 9,855 mm

Odpowiedź

δ_max = 9,855 mm

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 322,3 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/1050² = 322273 N = 322,3 kN

Odpowiedź

P_cr = 322,3 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 23,59 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 3·10000 = 30000 N

KL = 1·1000 = 1000 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 23,59 mm

Odpowiedź

d = 23,59 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 169,6, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials