Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne
σ = F/A
Odkształcenie
ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a
σ = E·ε
Wydłużenie
ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne
εT = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne
τ = T·r/J
Wał pełny
J = πd⁴/32
Wał drążony
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia
φ = TL/(GJ)
Moc
P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

  1. Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
  2. Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
  3. Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
  4. Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8

Metoda

  1. Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
  2. Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
  3. Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
  4. Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Prostokąt
I = bh³/12
Twierdzenie Steinera
I = Ic + A·d²
Przekrój złożony
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek
C = (σx + σy)/2
Promień
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Naprężenia główne
σ1,2 = C ± R
Kierunek główny
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Płaszczyzna ukośna
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metoda

  1. Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
  2. Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
  4. Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości
δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta
δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu
δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja
δ = δ1 + δ2

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera
Pcr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej
K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne
σcr = Pcr/A
Smukłość
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni
Ø 25 mmMosiądz1 mP = 85 kN

Wyznacz wydłużenie δ pręta (mosiądz) pod obciążeniem osiowym.

P = 85 kNd = 25 mmL = 1 mE = 100 GPa
δ = mm
2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny
Ø 35 mmStal0,5 mØ 20 mmMosiądz1 mP = 70 kN

Pręt schodkowy jest utwierdzony w ścianie i obciążony na swobodnym końcu. Wyznacz największe naprężenie normalne σmax w pręcie.

P = 70 kNodcinek 1: Ø35 mm, 0,5 m, stal (E = 200 GPa)odcinek 2: Ø20 mm, 1 m, mosiądz (E = 100 GPa)
σmax = MPa
3.Skręcanie wałówŚredni
T = 250 N·md = 30 mmL = 1 mφ = ?

Pełny wał (mosiądz) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 250 N·md = 30 mmL = 1 mG = 39 GPa
φ = °
4.Skręcanie wałówTrudny
d = 25 mmT0​ = 2000 N·mACBa = 0,8 mb = 2 m

Pełny wał (mosiądz) o średnicy 25 mm jest utwierdzony w sztywnych ścianach na obu końcach A i B. W C, w odległości 0,8 m od A i 2 m od B, przyłożono moment skręcający 2000 N·m. Wyznacz moment reakcji TA w ścianie A.

d = 25 mmT0 = 2000 N·ma = 0,8 mb = 2 m
TA = N·m
5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
P1​ = 35 kNP2​ = 55 kNABC2 m2 m1 m

Belka opiera się na podporze nieprzesuwnej w A i przesuwnej w B i wystaje poza B o 1 m aż do swobodnego końca C. Przenosi siłę skupioną P1 między podporami i siłę skupioną P2 w C. Wyznacz moment zginający Mx pod siłą P1. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5 mP1 = 35 kN w 2 mP2 = 55 kN w 5 mpodpory w x = 0 i x = 4 m
Mx = kN·m
6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
w = 10 kN/mP = 30 kNABprzekrój1 m2,5 m4,5 m

Wyznacz moment zginający Mx w przekroju x = 3,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 8 mP = 30 kN w 1 mw = 10 kN/m od 0 do 8 mx = 3,5 m
Mx = kN·m
7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni
100 mm150 mm90 mmØ50xIx​ = ?

Płyta 100 mm × 150 mm ma okrągły otwór o średnicy 50 mm na pionowej osi symetrii, ze środkiem 90 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju Ix względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.

b = 100 mmh = 150 mmd = 50 mmśrodek otworu: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny
3003020020xM = 10 kN·mwymiary w mm

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 10 kN·m. Wyznacz naprężenie od zginania σdół na dolnej krawędzi.

bf = 300 mmtf = 30 mmtw = 20 mmhw = 200 mmM = 10 kN·m
σdół = MPa
9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni
σx​ = 110σy​ = 30τxy​ = 30MPa

W punkcie σₓ = 110 MPa, σᵧ = 30 MPa i τₓᵧ = 30 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz kąt θs z przedziału od −90° do 90°, mierzony od osi x do normalnej płaszczyzny, na której naprężenie styczne osiąga maksymalną wartość dodatnią +R (naprężenie styczne dodatnie w tym samym sensie co τₓᵧ).

σx = 110 MPaσy = 30 MPaτxy = 30 MPa
θs = °
10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny
σx​τxy​powierzchnia wału

Pełny wał o średnicy 50 mm przenosi osiową siłę ściskającą 120 kN wraz z momentem skręcającym 400 N·m. Na powierzchni wału, wyznacz największe naprężenie główne σ1.

d = 50 mmF = −120 kNT = 400 N·m
σ1 = MPa
11.Ugięcie belkiŚredni
w = 6 kN/mδL = 5 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz maksymalne ugięcie δmax w środku rozpiętości.

w = 6 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Ugięcie belkiTrudny
w = 10 kN/mδL = 2,5 m

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności Ireq, który spełnia ten warunek.

w = 10 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Wyboczenie słupówŚredni
PL = 6 m40 × 80 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną Pcr.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 40 × 80 mm
Pcr = kN
14.Wyboczenie słupówTrudny
PL = 4 md = 25 mmprzekrój poprzeczny

Słup o długości L z materiału (stal) jest przegubowo podparty na obu końcach. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σcr ze wzoru Eulera.

L = 4 mE = 200 GPa (stal)d = 25 mm
σcr = MPa

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 1,732 mm

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·25²/4 = 490,9 mm²
σ = P/A = 85·1000/490,9 = 173,2 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for mosiądz = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 173,2/100000 = 0,001732 = 1732 µε

Wydłużenie

δ = ε·L = 0,001732·1000 mm = 1,732 mm

Odpowiedź

δ = 1,732 mm
2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: σmax = 222,8 MPa

Pręty obciążone osiowo: każdy pryzmatyczny odcinek spełnia δ = PL/(AE). Dla odcinków połączonych szeregowo wydłużenia się sumują.

Ta sama siła w obu odcinkach

Swobodny koniec przenosi P, więc każdy przekrój pręta przenosi tę samą siłę osiową P. Zmieniają się tylko pola przekroju i materiały.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 72,76 MPa
σ2 = 222,8 MPa

Największe naprężenie

Cieńszy odcinek ma mniejsze pole, więc przenosi większe naprężenie.

σmax = 222,8 MPa

Odpowiedź

σmax = 222,8 MPa
3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 4,619 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τmax = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(do⁴ − di⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1000/(39000·79522) = 0,08061 rad
φ = 0,08061·180/π = 4,619°

Odpowiedź

φ = 4,619°
4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: TA = 1429 N·m

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τmax = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(do⁴ − di⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω. Gdy oba końce są utwierdzone, sama statyka daje tylko TA + TB = T₀; drugim równaniem jest warunek zgodności (równy kąt skręcenia obu części w obciążonym przekroju).

Równowaga i zgodność

TA + TB = 2000
TA·a = TB·b
TA = 2000·2/2,8 = 1429 N·m
TB = 2000·0,8/2,8 = 571,4 N·m

Odpowiedź

TA = 1429 N·m
5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mx = 7,5 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki. Siła na wsporniku też daje moment względem A.

ΣMA = 0: RB·4 = 35·2 + 55·5
RB = 345/4 = 86,25 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 86,25 = 3,75 kN

Przekrój pod P1, zostaw lewą część

Mx = RA·2 = 3,75·2 = 7,5 kN·m

Odpowiedź

Mx = 7,5 kN·m
6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: Mx = 95,63 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, przyłożona w x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 30·1 + 10·8·4
RB = 350/8 = 43,75 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 43,75 = 66,25 kN
w = 10 kN/mP = 30 kNABRA​ = 66,25RB​ = 43,75przekrój1 m2,5 m4,5 m

Przetnij w x = 3,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = RA·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)
Mx = 66,25·3,5 − 30·(3,5 − 1) − 10·3,5·1,75 = 95,63 kN·m

Odpowiedź

Mx = 95,63 kN·m
7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: Ix = 27,31 × 10⁶ mm⁴

Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma Ic = bh³/12, a koło Ic = πd⁴/64.

Środek ciężkości

ȳ = (15000·75 − 1963·90)/(15000 − 1963) = 72,74 mm

Pełna płyta względem ȳ

100·150³/12 + 15000·2,259² = 28,2 × 10⁶ mm⁴

Otwór względem ȳ

π·50⁴/64 + 1963·17,26² = 0,8917 × 10⁶ mm⁴

Odejmij

Ix = 27,31 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

Ix = 27,31 × 10⁶ mm⁴
8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σdół = 35,48 MPa

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: Af = 300·30 = 9000 mm², yf = 200 + 30/2 = 215 mm
środnik: Aw = 20·200 = 4000 mm², yw = 200/2 = 100 mm

Środek ciężkości

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (9000·215 + 4000·100)/13000 = 179,6 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 300·30³/12 + 9000·(215 − 179,6)² = 1,194 × 10⁷ mm⁴
środnik: 20·200³/12 + 4000·(100 − 179,6)² = 3,869 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,194 × 10⁷ + 3,869 × 10⁷ = 5,063 × 10⁷ mm⁴

Naprężenie od zginania

Dolna krawędź jest w odległości ȳ od osi.

y = 179,6 mm
σ = M·y/I = 1 × 10⁷·179,6/5,063 × 10⁷ = 35,48 MPa

Odpowiedź

σdół = 35,48 MPa
9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: θs = −26,57 °

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

στxyCτmax​

Kąt na kole

Na kole Mohra najwyższy punkt (+R) jest odległy o 90° od punktu głównego σ₁; na elemencie odpowiada to 45°.

cos 2θs = 30/50 = 0,6, sin 2θs = −40/50 = −0,8
2θs = atan2(−40, 30) = −53,13°

Kąt na elemencie

θs = −26,57°
sprawdzenie: θs − θp = −26,57 − 18,43 = −45°

Odpowiedź

θs = −26,57°

Kąty dodatnie mierzy się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ1 = 4,074 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Naprężenia na powierzchni

σ = F/A = −120000/(π·50²/4) = −120000/1963 = −61,12 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·50³) = 16,3 MPa
στxyCσ1​σ2​

Koło Mohra

C = σ/2 = −30,56 MPa
R = √((−30,56)² + 16,3²) = 34,63 MPa
σ1 = C + R = 4,074 MPa
σ2 = C − R = −65,19 MPa

Odpowiedź

σ1 = 4,074 MPa
11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δmax = 77,88 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 5000 mm
EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Ugięcie

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·5000⁴/(384·6,27 × 10¹¹) = 77,88 mm

Odpowiedź

δmax = 77,88 mm
12.Ugięcie belki

Odpowiedź: Ireq = 10,46 × 10⁶ mm⁴

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Warunek ugięcia

δallow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·10·2500⁴/(384·70000·6,944) = 1,046 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 10,46 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

Ireq = 10,46 × 10⁶ mm⁴
13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: Pcr = 16,71 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

Imin = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Siła krytyczna

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/4200² = 16710 N = 16,71 kN

Odpowiedź

Pcr = 16,71 kN
14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σcr = 4,819 MPa

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy Pcr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 1·4000 = 4000 mm
KL/r = 4000/6,25 = 640

Naprężenie krytyczne

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/640² = 4,819 MPa

Odpowiedź

σcr = 4,819 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials