Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Pręt składa się z odcinka (materiał: stal, średnica 25 mm, długość 500 mm, E = 200 GPa) połączonego końcami z odcinkiem (materiał: aluminium, średnica 40 mm, długość 200 mm, E = 70 GPa). Jest zamocowany na jednym końcu i rozciągany na drugim. Wyznacz obciążenie osiowe P, które wydłuża go łącznie o 0,2 mm.

odcinek 1: stal, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPaodcinek 2: aluminium, Ø40 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt (materiał: stal, średnica 30 mm, E = 200 GPa, naprężenie dopuszczalne 150 MPa) znajduje się wewnątrz rury (materiał: aluminium, średnica zewnętrzna 120 mm, średnica wewnętrzna 70 mm, E = 70 GPa, naprężenie dopuszczalne 70 MPa). Są razem ściskane między sztywnymi płytami. Wyznacz największe obciążenie P_max.

pręt: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MParura: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał schodkowy (stal) jest utwierdzony w A. Odcinek AB ma średnicę 50 mm i długość 2 m; odcinek BC ma średnicę 25 mm i długość 2,5 m. Na swobodnym końcu C działa moment skręcający 250 N·m. Wyznacz kąt skręcenia φ_C końca C w stopniach.

T = 250 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 2 md₂ = 25 mm, L₂ = 2,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał ma przenosić 15 kW przy 1450 obr/min bez przekroczenia naprężenia stycznego 75 MPa. Wyznacz najmniejszą średnicę d, która wystarczy.

P = 15 kWN = 1450 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi dwie siły skupione. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 4 mP₁ = 20 kN w 1 mP₂ = 50 kN w 1,5 m

M_max = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka opiera się na podporze nieprzesuwnej w A i przesuwnej w B i wystaje poza B o 1,5 m aż do swobodnego końca C. Na całej długości A–C działa obciążenie równomiernie rozłożone w. Wyznacz moment zginający M_B nad podporą B. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5,5 mw = 12 kN/m od 0 do 5,5 mpodpory w x = 0 i x = 4 m

M_B = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 25 kN·m. Wyznacz naprężenie od zginania σ_dół na dolnej krawędzi.

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 240 mmM = 25 kN·m

σ_dół = MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 0 MPa, σᵧ = 80 MPa i τₓᵧ = 40 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz maksymalne naprężenie styczne w płaszczyźnie τ_max.

σ_x = 0 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = 70 MPa, σᵧ = 20 MPa i τₓᵧ = −30 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie styczne τ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 15° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem osi x (dodatnie w tym samym sensie co τₓᵧ).

σ_x = 70 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 15°

τ_θ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz kąt obrotu θ_A belki na podporze A, w radianach.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 84 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w i siłę skupioną P w środku rozpiętości. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie w środku δ_max.

P = 15 kNw = 12 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (stal)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: P = 27,15 kN

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1257 mm²

Podatności

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·490,9) = 5,093 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·1257) = 2,274 × 10⁻⁶ mm/N

Obciążenie

P = 0,2/7,367 × 10⁻⁶ = 27150 N = 27,15 kN

Odpowiedź

P = 27,15 kN

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: P_max = 497,7 kN

Pola

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Łączna sztywność osiowa

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·7461 = 6,637 × 10⁸ N

Decydujące odkształcenie

ε = min(0,00075, 0,001) = 0,00075 (stal)

Największe obciążenie

P_max = 0,00075·6,637 × 10⁸ = 497746 N = 497,7 kN

Odpowiedź

P_max = 497,7 kN

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ_C = 12,26 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowe momenty bezwładności

J₁ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Kąt skręcenia każdego odcinka

T = 250 N·m = 250000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 250000·2000/(80000·613592) = 0,01019 rad

φ_BC = 250000·2500/(80000·38350) = 0,2037 rad

Całkowity kąt skręcenia

φ_C = 0,01019 + 0,2037 = 0,2139 rad = 12,26°

Odpowiedź

φ_C = 12,26°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d = 18,86 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 15000/151,8 = 98,79 N·m

Średnica z naprężenia dopuszczalnego

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·98786/(π·75)) = 18,86 mm

Odpowiedź

d = 18,86 mm

W praktyce zaokrągla się w górę do najbliższego wymiaru znormalizowanego.

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 59,38 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 20·1 + 50·1,5

R_B = 95/4 = 23,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 23,75 = 46,25 kN

Moment pod każdą siłą

Zostaw część na lewo od każdej siły.

pod P₁: M = R_A·1 = 46,25·1 = 46,25 kN·m

pod P₂: M = R_B·2,5 = 23,75·2,5 = 59,38 kN·m

Największa wartość

M_max = 59,38 kN·m (pod P₂)

Odpowiedź

M_max = 59,38 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_B = −13,5 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki, łącznie z obciążeniem na wsporniku.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·5,5 = 66 kN, przyłożona w x̄ = 2,75 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12·5,5·2,75

R_B = 181,5/4 = 45,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 66 − 45,38 = 20,63 kN

Przekrój w B, zostaw wspornik

Obciążenie na wsporniku, w·a, działa w odległości a/2 od B i wygina belkę nad podporą wypukłością do góry.

M_B = −w·a²/2 = −12·1,5²/2 = −13,5 kN·m

Odpowiedź

M_B = −13,5 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 37,99 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 220·10 = 2200 mm², y_f = 280 + 10/2 = 285 mm

środnik: A_w = 8·280 = 2240 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2200·285 + 2240·140)/4440 = 211,8 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 220·10³/12 + 2200·(285 − 211,8)² = 1,179 × 10⁷ mm⁴

środnik: 8·280³/12 + 2240·(140 − 211,8)² = 2,62 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,179 × 10⁷ + 2,62 × 10⁷ = 3,799 × 10⁷ mm⁴ = 37,99 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 37,99 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_dół = 107,4 MPa

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 200·15 = 3000 mm², y_f = 240 + 15/2 = 247,5 mm

środnik: A_w = 14·240 = 3360 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·247,5 + 3360·120)/6360 = 180,1 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 200·15³/12 + 3000·(247,5 − 180,1)² = 1,367 × 10⁷ mm⁴

środnik: 14·240³/12 + 3360·(120 − 180,1)² = 2,828 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,367 × 10⁷ + 2,828 × 10⁷ = 4,195 × 10⁷ mm⁴

Naprężenie od zginania

Dolna krawędź jest w odległości ȳ od osi.

y = 180,1 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·180,1/4,195 × 10⁷ = 107,4 MPa

Odpowiedź

σ_dół = 107,4 MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_max = 56,57 MPa

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Promień koła Mohra

τ_max = R = √(((0 − 80)/2)² + 40²) = 56,57 MPa

Odpowiedź

τ_max = 56,57 MPa

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: τ_θ = −38,48 MPa

Równanie transformacji

τ_θ = −25·0,5 + −30·0,866 = −38,48 MPa

Odpowiedź

τ_θ = −38,48 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: θ_A = 0,04329 rad

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja). Kąt obrotu θ = dv/dx to pierwsza całka z M/(EI); w spójnych jednostkach wychodzi w radianach.

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 4000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Kąt obrotu końca

θ_A = wL³/(24EI) = 15·4000³/(24·9,24 × 10¹¹) = 0,04329 rad

Odpowiedź

θ_A = 0,04329 rad

To 2,48°.

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 1,85 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 15000 N, w = 12 N/mm, L = 3000 mm, EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Każde obciążenie osobno

δ_P = PL³/(48EI) = 15000·3000³/(48·1,14 × 10¹³) = 0,7401 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·3000⁴/(384·1,14 × 10¹³) = 1,11 mm

Dodaj

δ_max = 0,7401 + 1,11 = 1,85 mm

Odpowiedź

δ_max = 1,85 mm

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 220,3 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/1400² = 220304 N = 220,3 kN

Odpowiedź

P_cr = 220,3 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 12,69 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/15 = 233,3

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/233,3² = 12,69 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 12,69 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials