Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz odkształcenie osiowe ε w pręcie (miedź), w mikroodkształceniach (µε = 10⁻⁶).

P = 45 kNd = 30 mmL = 2 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Pręt (materiał: stal, średnica 30 mm, E = 200 GPa, naprężenie dopuszczalne 150 MPa) znajduje się wewnątrz rury (materiał: miedź, średnica zewnętrzna 100 mm, średnica wewnętrzna 70 mm, E = 120 GPa, naprężenie dopuszczalne 100 MPa). Są razem ściskane między sztywnymi płytami. Wyznacz największe obciążenie P_max.

pręt: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MParura: Ø100/Ø70 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (mosiądz) o długości 1 m przenosi moment skręcający 1000 N·m. Kąt skręcenia między jego końcami nie może przekroczyć 1°. Wyznacz najmniejszą średnicę d, która spełnia ten warunek.

T = 1000 N·mL = 1 mG = 39 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Skręcanie wałówTrudny

Pełny wał (mosiądz) przenosi moc 15 kW przy 500 rpm. Naprężenie styczne nie może przekroczyć 40 MPa, a kąt skręcenia 0,25° na m długości. Wyznacz najmniejszą średnicę d, która spełnia oba warunki.

P = 15 kWN = 500 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi dwie siły skupione. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 5 mP₁ = 80 kN w 3 mP₂ = 50 kN w 3,5 m

M_max = kN·m

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości oraz siłę skupioną P. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 5 mP = 20 kN w 1 mw = 10 kN/m od 0 do 5 m

M_max = kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 220 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Symetryczny dwuteownik ma półki o szerokości 210 mm i grubości 22 mm, wysokość całkowitą 440 mm i środnik o grubości 14 mm. Przenosi moment zginający 80 kN·m względem osi x. Wyznacz wartość maksymalnego naprężenia od zginania σ_max w przekroju.

B = 210 mmH = 440 mmt_f = 22 mmt_w = 14 mmM = 80 kN·m

σ_max = MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = 120 MPa, σᵧ = −60 MPa i τₓᵧ = 50 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz kąt θ_s z przedziału od −90° do 90°, mierzony od osi x do normalnej płaszczyzny, na której naprężenie styczne osiąga maksymalną wartość dodatnią +R (naprężenie styczne dodatnie w tym samym sensie co τₓᵧ).

σ_x = 120 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_s = °

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

W pewnym punkcie obciążonej części występują σₓ = −80 MPa, σᵧ = 70 MPa i τₓᵧ = 30 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz naprężenie normalne σ_θ na płaszczyźnie, której normalna jest obrócona o 60° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem osi x.

σ_x = −80 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości. Wyznacz maksymalne ugięcie δ_max w środku rozpiętości.

w = 8 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w. Jej ugięcie nie może przekroczyć rozpiętość/360. Wyznacz najmniejszy moment bezwładności I_req, który spełnia ten warunek.

w = 12 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 20 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony u podstawy i przegubowo podparty u góry. Wyznacz jego smukłość i naprężenie krytyczne σ_cr ze wzoru Eulera.

L = 3 mE = 200 GPa (stal)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: ε = 544,1 µε

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 45·1000/706,9 = 63,66 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for miedź = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 63,66/117000 = 0,0005441 = 544,1 µε

Odpowiedź

ε = 544,1 µε

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: P_max = 466,5 kN

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Pola

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Łączna sztywność osiowa

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·4006 = 6,22 × 10⁸ N

Decydujące odkształcenie

ε = min(0,00075, 0,0008333) = 0,00075 (stal)

Największe obciążenie

P_max = 0,00075·6,22 × 10⁸ = 466527 N = 466,5 kN

Odpowiedź

P_max = 466,5 kN

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d = 62,2 mm

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Wymagany biegunowy moment bezwładności

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 1·π/180 = 0,01745 rad

J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·1000/(39000·0,01745) = 1,469 × 10⁶ mm⁴

Średnica

d = (32J/π)^1/4 = 62,2 mm

Odpowiedź

d = 62,2 mm

W praktyce zaokrągla się w górę do najbliższego wymiaru znormalizowanego.

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: d = 64,35 mm

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 15000/52,36 = 286,5 N·m

Średnica z warunku wytrzymałości

T = 286,5 N·m = 286479 N·mm

d_τ = ∛(16·286479/(π·40)) = 33,16 mm

Średnica z warunku sztywności

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·286479/(π·39000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 64,35 mm

Średnica decydująca

Oba warunki muszą być spełnione, więc decyduje większa średnica.

d = max(33,16, 64,35) = 64,35 mm

Odpowiedź

d = 64,35 mm

Tutaj decyduje sztywność.

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 141 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 80·3 + 50·3,5

R_B = 415/5 = 83 kN

ΣF_y = 0: R_A = 130 − 83 = 47 kN

Moment pod każdą siłą

Zostaw część na lewo od każdej siły.

pod P₁: M = R_A·3 = 47·3 = 141 kN·m

pod P₂: M = R_B·1,5 = 83·1,5 = 124,5 kN·m

Największa wartość

M_max = 141 kN·m (pod P₁)

Odpowiedź

M_max = 141 kN·m

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 42,05 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·1 + 10·5·2,5

R_B = 145/5 = 29 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 29 = 41 kN

Gdzie V = 0?

R_A − P − w·x₀ = 0 → x₀ = (41 − 20)/10 = 2,1 m

Moment maksymalny

M_max = R_A·x₀ − P·(x₀ − 1) − w·x₀²/2 = 42,05 kN·m

Odpowiedź

M_max = 42,05 kN·m

Występuje w x = 2,1 m od A.

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 26,15 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 220·15 = 3300 mm², y_f = 180 + 15/2 = 187,5 mm

środnik: A_w = 20·180 = 3600 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3300·187,5 + 3600·90)/6900 = 136,6 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 220·15³/12 + 3300·(187,5 − 136,6)² = 8,601 × 10⁶ mm⁴

środnik: 20·180³/12 + 3600·(90 − 136,6)² = 1,755 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,601 × 10⁶ + 1,755 × 10⁷ = 2,615 × 10⁷ mm⁴ = 26,15 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 26,15 × 10⁶ mm⁴

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_max = 36,94 MPa

Prostokąt zewnętrzny minus dwa boczne wycięcia

Oba wycięcia razem mają szerokość (B − t_w) i wysokość h_w = H − 2t_f oraz wspólną oś x.

h_w = 440 − 2·22 = 396 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (210·440³ − 196·396³)/12

I_x = 4,764 × 10⁸ mm⁴

Naprężenie od zginania

y = 220 mm

σ = M·y/I = 8 × 10⁷·220/4,764 × 10⁸ = 36,94 MPa

Odpowiedź

σ_max = 36,94 MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: θ_s = −30,47 °

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Kąt na kole

Na kole Mohra najwyższy punkt (+R) jest odległy o 90° od punktu głównego σ₁; na elemencie odpowiada to 45°.

cos 2θ_s = 50/103 = 0,4856, sin 2θ_s = −90/103 = −0,8742

2θ_s = atan2(−90, 50) = −60,95°

Kąt na elemencie

θ_s = −30,47°

sprawdzenie: θ_s − θ_p = −30,47 − 14,53 = −45°

Odpowiedź

θ_s = −30,47°

Kąty dodatnie mierzy się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: σ_θ = 58,48 MPa

Równanie transformacji

σ_θ = −5 + −75·−0,5 + 30·0,866 = 58,48 MPa

Odpowiedź

σ_θ = 58,48 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 2,381 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Ugięcie

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·4000⁴/(384·1,12 × 10¹³) = 2,381 mm

Odpowiedź

δ_max = 2,381 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: I_req = 138,1 × 10⁶ mm⁴

Warunek ugięcia

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Wymagany moment bezwładności

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·3000⁴/(384·11000·8,333) = 1,381 × 10⁸ mm⁴

I_req = 138,1 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_req = 138,1 × 10⁶ mm⁴

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 11,07 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/700² = 11074 N = 11,07 kN

Odpowiedź

P_cr = 11,07 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: σ_cr = 17,48 MPa

Najmniejszy moment bezwładności

Przekrój kołowy ma to samo I względem każdej osi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Promień bezwładności i smukłość

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/6,25 = 336

Naprężenie krytyczne

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/336² = 17,48 MPa

Odpowiedź

σ_cr = 17,48 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials