Wytrzymałość materiałów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 14 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Naprężenie i odkształcenie osiowe

Naprężenie normalne: σ = F/A
Odkształcenie: ε = ΔL/L
Prawo Hooke’a: σ = E·ε
Wydłużenie: ΔL = FL/(EA)
Odkształcenie termiczne: ε_T = α·ΔT

Skręcanie wałów

Naprężenie styczne: τ = T·r/J
Wał pełny: J = πd⁴/32
Wał drążony: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ)
Moc: P = T·ω = 2πnT/60

Metoda

Wyznacz biegunowy moment bezwładności: J = πd⁴/32 dla wału pełnego.
Naprężenie styczne na powierzchni: τ = T·r/J, gdzie r to promień zewnętrzny.
Kąt skręcenia: φ = TL/(GJ) w radianach.
Jeśli podana jest moc, najpierw wyznacz moment z P = T·ω, ω = 2πn/60.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Koło Mohra i transformacja naprężeń

Środek: C = (σ_x + σ_y)/2
Promień: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Naprężenia główne: σ_1,2 = C ± R
Kierunek główny: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Płaszczyzna ukośna: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metoda

Oblicz środek koła Mohra: C = (σx + σy)/2.
Oblicz promień: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.
Kąty na kole są dwa razy większe niż kąty na elemencie: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ugięcie belki

Siła skupiona w środku rozpiętości: δ = PL³/(48EI)
Obciążenie równomierne, belka swobodnie podparta: δ = 5wL⁴/(384EI)
Wspornik, siła na końcu: δ = PL³/(3EI)
Wspornik, obciążenie równomierne: δ = wL⁴/(8EI)
Superpozycja: δ = δ₁ + δ₂

Wyboczenie słupów

Siła krytyczna Eulera: P_cr = π²EI/(KL)²
Współczynnik długości wyboczeniowej: K = 1 przegub–przegub, 0,5 utwierdzenie–utwierdzenie, 0,7 utwierdzenie–przegub, 2 utwierdzenie–wolny koniec
Naprężenie krytyczne: σ_cr = P_cr/A
Smukłość: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Zadania do ćwiczenia

1.Naprężenie i odkształcenie osioweŚredni

Wyznacz wydłużenie δ pręta (aluminium) pod obciążeniem osiowym.

P = 10 kNd = 30 mmL = 2,5 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Naprężenie i odkształcenie osioweTrudny

Odcinek (materiał: stal, średnica 20 mm, długość 400 mm, E = 200 GPa) i odcinek (materiał: miedź, średnica 60 mm, długość 300 mm, E = 120 GPa) są połączone końcami i zamocowane między dwiema sztywnymi ścianami. W miejscu połączenia działa obciążenie osiowe 40 kN skierowane ku odcinkowi 2. Wyznacz wartość naprężenia σ₂ w odcinku 2.

odcinek 1: stal, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPaodcinek 2: miedź, Ø60 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.Skręcanie wałówŚredni

Pełny wał (aluminium) jest utwierdzony w ścianie i skręcany momentem T na swobodnym końcu. Wyznacz kąt skręcenia φ swobodnego końca w stopniach.

T = 500 N·md = 30 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Skręcanie wałówTrudny

Wał drążony przenosi 100 kW przy 1500 obr/min. Wyznacz maksymalne naprężenie styczne τ_max w wale.

P = 100 kWN = 1500 rpmd_o = 40 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Belka opiera się na podporze nieprzesuwnej w A i przesuwnej w B i wystaje poza B o 1,5 m aż do swobodnego końca C. Przenosi siłę skupioną P₁ między podporami i siłę skupioną P₂ w C. Wyznacz siłę tnącą V_x tuż na lewo od podpory B. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 7,5 mP₁ = 65 kN w 4 mP₂ = 10 kN w 7,5 mpodpory w x = 0 i x = 6 m

V_x = kN

6.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

15 kN @ 12 m20 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Ceownik leży otwartą stroną do góry: płaskownik podstawy o szerokości 240 mm z dwoma pionowymi ramionami, o całkowitej wysokości 190 mm. Podstawa i ramiona mają grubość 14 mm. Wyznacz wysokość ȳ środka ciężkości nad dolną krawędzią.

b = 240 mmh = 190 mmt = 14 mm

ȳ = mm

8.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 25 kN·m. Wyznacz wartość naprężenia od zginania σ_góra na górnej krawędzi.

b_f = 180 mmt_f = 30 mmt_w = 8 mmh_w = 260 mmM = 25 kN·m

σ_góra = MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeńŚredni

W punkcie σₓ = 100 MPa, σᵧ = 10 MPa i τₓᵧ = 20 MPa (rozciąganie dodatnie). Wyznacz kąt θ_s z przedziału od −90° do 90°, mierzony od osi x do normalnej płaszczyzny, na której naprężenie styczne osiąga maksymalną wartość dodatnią +R (naprężenie styczne dodatnie w tym samym sensie co τₓᵧ).

σ_x = 100 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_s = °

10.Koło Mohra i transformacja naprężeńTrudny

Cienkościenny zbiornik cylindryczny o średnicy wewnętrznej 600 mm i grubości ścianki 5 mm zawiera gaz pod nadciśnieniem 1,5 MPa. Wykonano go z blachy spawanej wzdłuż spoiny śrubowej nachylonej pod kątem 55° do osi walca. Wyznacz wartość naprężenia stycznego |τ_n| działającego wzdłuż spoiny.

D = 600 mmt = 5 mmp = 1,5 MPaα = 55°

|τ_n| = MPa

11.Ugięcie belkiŚredni

Wspornik przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości. Wyznacz ugięcie δ swobodnego końca.

w = 12 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (stal)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Ugięcie belkiTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w i siłę skupioną P w środku rozpiętości. Korzystając z superpozycji, wyznacz ugięcie w środku δ_max.

P = 16 kNw = 5 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (drewno konstrukcyjne)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Wyboczenie słupówŚredni

Słup o długości L z materiału (stal) jest utwierdzony na obu końcach. Korzystając ze wzoru Eulera, wyznacz jego siłę krytyczną P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (stal)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

14.Wyboczenie słupówTrudny

Pełny słup okrągły o długości L z materiału (aluminium) jest utwierdzony u podstawy i wolny u góry. Ma przenieść 65 kN przy współczynniku bezpieczeństwa 2,5 względem wyboczenia. Wyznacz najmniejszą średnicę d.

P = 65 kNn = 2,5L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Roztwory

1.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: δ = 0,5053 mm

Prawo Hooke’a: w zakresie sprężystym σ = E·ε. Łącząc to z σ = P/A i ε = δ/L, dostajemy δ = PL/(AE).

Naprężenie

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 10·1000/706,9 = 14,15 MPa

Odkształcenie (prawo Hooke’a)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 14,15/70000 = 0,0002021 = 202,1 µε

Wydłużenie

δ = ε·L = 0,0002021·2500 mm = 0,5053 mm

Odpowiedź

δ = 0,5053 mm

2.Naprężenie i odkształcenie osiowe

Odpowiedź: σ₂ = 12,42 MPa

Dwa materiały: przy połączeniu szeregowym (jeden za drugim) każdy odcinek przenosi tę samą siłę, a wydłużenia się dodają: δ = P·Σ L/(E·A). Przy połączeniu równoległym (obok siebie między sztywnymi płytami) obie części skracają się o tyle samo, więc ich odkształcenia są równe: sztywniejsza część przejmuje większy udział, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, a σ_i = E_i·ε. Pręt zamocowany między dwiema sztywnymi ścianami z obciążeniem w miejscu połączenia jest statycznie niewyznaczalny: dwa odcinki dzielą obciążenie proporcjonalnie do sztywności k = EA/L.

Sztywności

k₁ = 200000·314,2/400 = 157080 N/mm

k₂ = 120000·2827/300 = 1,131 × 10⁶ N/mm

Udział odcinka 2

F₂ = 40000·1,131 × 10⁶/1,288 × 10⁶ = 35122 N

Naprężenie

σ₂ = 35122/2827 = 12,42 MPa (ściskanie)

Odpowiedź

σ₂ = 12,42 MPa

3.Skręcanie wałów

Odpowiedź: φ = 11,08 °

Skręcanie wałów okrągłych: naprężenie styczne rośnie liniowo od zera w środku do τ_max = T·r/J na powierzchni, gdzie J = πd⁴/32 dla wału pełnego i J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 dla drążonego. Kąt skręcenia to φ = TL/(GJ) w radianach. Moc i moment skręcający wiąże P = T·ω.

Biegunowy moment bezwładności

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Kąt skręcenia

φ = TL/(GJ) = 500·1000·800/(26000·79522) = 0,1935 rad

φ = 0,1935·180/π = 11,08°

Odpowiedź

φ = 11,08°

4.Skręcanie wałów

Odpowiedź: τ_max = 74,11 MPa

Moment skręcający

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 100000/157,1 = 636,6 N·m

Biegunowy moment bezwładności

J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴

Maksymalne naprężenie styczne

τ_max = T·(d_o/2)/J = 636620·20/171806 = 74,11 MPa

Odpowiedź

τ_max = 74,11 MPa

5.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: V_x = −45,83 kN

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki. Siła na wsporniku też daje moment względem A.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 65·4 + 10·7,5

R_B = 335/6 = 55,83 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 55,83 = 19,17 kN

Przekrój tuż na lewo od B, zostaw lewą część

V_x = R_A − P₁ = 19,17 − 65 = −45,83 kN

Odpowiedź

V_x = −45,83 kN

6.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: E (x = 8 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 7,5 kN, R₂ = 27,5 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 15, M_C = −10, M_D = −35, M_E = −60 kN·m, M_F = −30, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt E: M_E = −60 kN·m

7.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: ȳ = 63,49 mm

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na prostokąty

Przyjmij podstawę na pełnej szerokości i dwa ramiona nad nią (wysokość h − t), aby nic nie liczyć dwa razy.

baza: A₁ = 240·14 = 3360 mm², y₁ = 7 mm

dwa ramiona: A₂ = 2·14·176 = 4928 mm², y₂ = 14 + 176/2 = 102 mm

Środek ciężkości

ȳ = (3360·7 + 4928·102)/8288 = 63,49 mm

Odpowiedź

ȳ = 63,49 mm

8.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_góra = 31,65 MPa

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 180·30 = 5400 mm², y_f = 260 + 30/2 = 275 mm

środnik: A_w = 8·260 = 2080 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5400·275 + 2080·130)/7480 = 234,7 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 180·30³/12 + 5400·(275 − 234,7)² = 9,184 × 10⁶ mm⁴

środnik: 8·260³/12 + 2080·(130 − 234,7)² = 3,451 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,184 × 10⁶ + 3,451 × 10⁷ = 4,369 × 10⁷ mm⁴

Naprężenie od zginania

Górna krawędź jest w odległości h − ȳ od osi.

y = 290 − 234,7 = 55,32 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·55,32/4,369 × 10⁷ = 31,65 MPa

Odpowiedź

σ_góra = 31,65 MPa

9.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: θ_s = −33,02 °

Transformacja płaskiego stanu naprężenia: na płaszczyźnie obróconej o kąt θ: σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Koło Mohra pokazuje wszystkie płaszczyzny naraz: jego środek leży w C = (σₓ + σᵧ)/2, a promień wynosi R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Naprężenia główne to C ± R, a największe naprężenie styczne w płaszczyźnie to R.

Kąt na kole

Na kole Mohra najwyższy punkt (+R) jest odległy o 90° od punktu głównego σ₁; na elemencie odpowiada to 45°.

cos 2θ_s = 20/49,24 = 0,4061, sin 2θ_s = −45/49,24 = −0,9138

2θ_s = atan2(−45, 20) = −66,04°

Kąt na elemencie

θ_s = −33,02°

sprawdzenie: θ_s − θ_p = −33,02 − 11,98 = −45°

Odpowiedź

θ_s = −33,02°

Kąty dodatnie mierzy się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

10.Koło Mohra i transformacja naprężeń

Odpowiedź: |τ_n| = 21,14 MPa

Naprężenia w ściance

r = 600/2 = 300 mm

σ_h = pr/t = 1,5·300/5 = 90 MPa

σ_a = pr/(2t) = 45 MPa

Transformacja na kierunek spoiny

Przyjmij oś x wzdłuż osi walca (σ_a), a oś y po obwodzie (σ_h). Normalna spoiny tworzy z osią kąt 90° − α.

|τ_n| = (90 − 45)·sin 55°·cos 55° = 21,14 MPa

Odpowiedź

|τ_n| = 21,14 MPa

11.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ = 2,105 mm

Ugięcie belek: ugięcia otrzymuje się, całkując dwukrotnie krzywiznę M/(EI). Typowe przypadki są stablicowane, na przykład PL³/(3EI) dla wspornika z siłą na końcu i 5wL⁴/(384EI) dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem równomiernym na całej rozpiętości. Ugięcia od różnych obciążeń się sumują (superpozycja).

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Ugięcie

δ = wL⁴/(8EI) = 12·2000⁴/(8·1,14 × 10¹³) = 2,105 mm

Odpowiedź

δ = 2,105 mm

12.Ugięcie belki

Odpowiedź: δ_max = 4,013 mm

Spójne jednostki

Licz w N i mm: P w N, w w N/mm (kN/m = N/mm), L w mm, E w N/mm² (GPa × 1000), I w mm⁴.

P = 16000 N, w = 5 N/mm, L = 2000 mm, EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Każde obciążenie osobno

δ_P = PL³/(48EI) = 16000·2000³/(48·9,24 × 10¹¹) = 2,886 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2000⁴/(384·9,24 × 10¹¹) = 1,127 mm

Dodaj

δ_max = 2,886 + 1,127 = 4,013 mm

Odpowiedź

δ_max = 4,013 mm

13.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: P_cr = 58,49 kN

Wyboczenie Eulera: smukły słup traci stateczność przy P_cr = π²EI/(KL)², gdzie KL to długość wyboczeniowa: K = 1 dla przegub–przegub, 2 dla utwierdzenie–wolny koniec, 0,7 dla utwierdzenie–przegub i 0,5 dla utwierdzenie–utwierdzenie. Wybocza się względem osi o najmniejszym I. Wzór dotyczy słupów smukłych, których naprężenie krytyczne jest mniejsze od granicy plastyczności.

Najmniejszy moment bezwładności

Prostokąt wybocza się względem słabszej osi, z mniejszym wymiarem do sześcianu.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Długość wyboczeniowa

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Siła krytyczna

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/1500² = 58487 N = 58,49 kN

Odpowiedź

P_cr = 58,49 kN

14.Wyboczenie słupów

Odpowiedź: d = 81,04 mm

Wymagana siła krytyczna

P_cr = n·P = 2,5·65000 = 162500 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Wyznacz średnicę

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·162500·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 81,04 mm

Odpowiedź

d = 81,04 mm

Sprawdzenie: smukłość KL/r wynosi 148,1, więc słup jest smukły i wzór Eulera obowiązuje.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials